MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mrccl Unicode version

Theorem mrccl 13764
Description: The Moore closure of a set is a closed set. (Contributed by Stefan O'Rear, 31-Jan-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
mrcfval.f  |-  F  =  (mrCls `  C )
Assertion
Ref Expression
mrccl  |-  ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  U  C_  X )  ->  ( F `  U )  e.  C )

Proof of Theorem mrccl
StepHypRef Expression
1 mrcfval.f . . . 4  |-  F  =  (mrCls `  C )
21mrcf 13762 . . 3  |-  ( C  e.  (Moore `  X
)  ->  F : ~P X --> C )
32adantr 452 . 2  |-  ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  U  C_  X )  ->  F : ~P X --> C )
4 mre1cl 13747 . . . 4  |-  ( C  e.  (Moore `  X
)  ->  X  e.  C )
5 elpw2g 4305 . . . 4  |-  ( X  e.  C  ->  ( U  e.  ~P X  <->  U 
C_  X ) )
64, 5syl 16 . . 3  |-  ( C  e.  (Moore `  X
)  ->  ( U  e.  ~P X  <->  U  C_  X
) )
76biimpar 472 . 2  |-  ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  U  C_  X )  ->  U  e.  ~P X )
83, 7ffvelrnd 5811 1  |-  ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  U  C_  X )  ->  ( F `  U )  e.  C )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717    C_ wss 3264   ~Pcpw 3743   -->wf 5391   ` cfv 5395  Moorecmre 13735  mrClscmrc 13736
This theorem is referenced by:  mrcsncl  13765  mrcidb  13768  mrcidm  13772  submrc  13781  isacs2  13806  mrelatlub  14540  mreclat  14541  gsumwspan  14719  cycsubg2cl  14906  odf1o1  15134  cntzspan  15388  gsumzsplit  15457  gsumzoppg  15467  gsumpt  15473  dmdprdd  15488  dprdfeq0  15508  dprdspan  15513  dprdres  15514  dprdz  15516  subgdmdprd  15520  subgdprd  15521  dprd2dlem1  15527  dprd2da  15528  dmdprdsplit2lem  15531  mrccss  16845  ismrcd2  26445  symggen  27081  proot1mul  27185
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-ral 2655  df-rex 2656  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-op 3767  df-uni 3959  df-int 3994  df-iun 4038  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-id 4440  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-fv 5403  df-mre 13739  df-mrc 13740
  Copyright terms: Public domain W3C validator