MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mrccl Unicode version

Theorem mrccl 13529
Description: The Moore closure of a set is a closed set. (Contributed by Stefan O'Rear, 31-Jan-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
mrcfval.f  |-  F  =  (mrCls `  C )
Assertion
Ref Expression
mrccl  |-  ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  U  C_  X )  ->  ( F `  U )  e.  C )

Proof of Theorem mrccl
StepHypRef Expression
1 mrcfval.f . . . 4  |-  F  =  (mrCls `  C )
21mrcf 13527 . . 3  |-  ( C  e.  (Moore `  X
)  ->  F : ~P X --> C )
32adantr 451 . 2  |-  ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  U  C_  X )  ->  F : ~P X --> C )
4 mre1cl 13512 . . . 4  |-  ( C  e.  (Moore `  X
)  ->  X  e.  C )
5 elpw2g 4190 . . . 4  |-  ( X  e.  C  ->  ( U  e.  ~P X  <->  U 
C_  X ) )
64, 5syl 15 . . 3  |-  ( C  e.  (Moore `  X
)  ->  ( U  e.  ~P X  <->  U  C_  X
) )
76biimpar 471 . 2  |-  ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  U  C_  X )  ->  U  e.  ~P X )
8 ffvelrn 5679 . 2  |-  ( ( F : ~P X --> C  /\  U  e.  ~P X )  ->  ( F `  U )  e.  C )
93, 7, 8syl2anc 642 1  |-  ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  U  C_  X )  ->  ( F `  U )  e.  C )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696    C_ wss 3165   ~Pcpw 3638   -->wf 5267   ` cfv 5271  Moorecmre 13500  mrClscmrc 13501
This theorem is referenced by:  mrcsncl  13530  mrcidb  13533  mrcidm  13537  submrc  13546  isacs2  13571  mrelatlub  14305  mreclat  14306  gsumwspan  14484  cycsubg2cl  14671  odf1o1  14899  cntzspan  15153  gsumzsplit  15222  gsumzoppg  15232  gsumpt  15238  dmdprdd  15253  dprdfeq0  15273  dprdspan  15278  dprdres  15279  dprdz  15281  subgdmdprd  15285  subgdprd  15286  dprd2dlem1  15292  dprd2da  15293  dmdprdsplit2lem  15296  mrccss  16610  ismrcd2  26877  symggen  27514  proot1mul  27618
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-fv 5279  df-mre 13504  df-mrc 13505
  Copyright terms: Public domain W3C validator