MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mrccl Unicode version

Theorem mrccl 13513
Description: The Moore closure of a set is a closed set. (Contributed by Stefan O'Rear, 31-Jan-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
mrcfval.f  |-  F  =  (mrCls `  C )
Assertion
Ref Expression
mrccl  |-  ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  U  C_  X )  ->  ( F `  U )  e.  C )

Proof of Theorem mrccl
StepHypRef Expression
1 mrcfval.f . . . 4  |-  F  =  (mrCls `  C )
21mrcf 13511 . . 3  |-  ( C  e.  (Moore `  X
)  ->  F : ~P X --> C )
32adantr 451 . 2  |-  ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  U  C_  X )  ->  F : ~P X --> C )
4 mre1cl 13496 . . . 4  |-  ( C  e.  (Moore `  X
)  ->  X  e.  C )
5 elpw2g 4174 . . . 4  |-  ( X  e.  C  ->  ( U  e.  ~P X  <->  U 
C_  X ) )
64, 5syl 15 . . 3  |-  ( C  e.  (Moore `  X
)  ->  ( U  e.  ~P X  <->  U  C_  X
) )
76biimpar 471 . 2  |-  ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  U  C_  X )  ->  U  e.  ~P X )
8 ffvelrn 5663 . 2  |-  ( ( F : ~P X --> C  /\  U  e.  ~P X )  ->  ( F `  U )  e.  C )
93, 7, 8syl2anc 642 1  |-  ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  U  C_  X )  ->  ( F `  U )  e.  C )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    C_ wss 3152   ~Pcpw 3625   -->wf 5251   ` cfv 5255  Moorecmre 13484  mrClscmrc 13485
This theorem is referenced by:  mrcsncl  13514  mrcidb  13517  mrcidm  13521  submrc  13530  isacs2  13555  mrelatlub  14289  mreclat  14290  gsumwspan  14468  cycsubg2cl  14655  odf1o1  14883  cntzspan  15137  gsumzsplit  15206  gsumzoppg  15216  gsumpt  15222  dmdprdd  15237  dprdfeq0  15257  dprdspan  15262  dprdres  15263  dprdz  15265  subgdmdprd  15269  subgdprd  15270  dprd2dlem1  15276  dprd2da  15277  dmdprdsplit2lem  15280  mrccss  16594  ismrcd2  26774  symggen  27411  proot1mul  27515
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-fv 5263  df-mre 13488  df-mrc 13489
  Copyright terms: Public domain W3C validator