MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mrccl Structured version   Unicode version

Theorem mrccl 13828
Description: The Moore closure of a set is a closed set. (Contributed by Stefan O'Rear, 31-Jan-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
mrcfval.f  |-  F  =  (mrCls `  C )
Assertion
Ref Expression
mrccl  |-  ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  U  C_  X )  ->  ( F `  U )  e.  C )

Proof of Theorem mrccl
StepHypRef Expression
1 mrcfval.f . . . 4  |-  F  =  (mrCls `  C )
21mrcf 13826 . . 3  |-  ( C  e.  (Moore `  X
)  ->  F : ~P X --> C )
32adantr 452 . 2  |-  ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  U  C_  X )  ->  F : ~P X --> C )
4 mre1cl 13811 . . . 4  |-  ( C  e.  (Moore `  X
)  ->  X  e.  C )
5 elpw2g 4355 . . . 4  |-  ( X  e.  C  ->  ( U  e.  ~P X  <->  U 
C_  X ) )
64, 5syl 16 . . 3  |-  ( C  e.  (Moore `  X
)  ->  ( U  e.  ~P X  <->  U  C_  X
) )
76biimpar 472 . 2  |-  ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  U  C_  X )  ->  U  e.  ~P X )
83, 7ffvelrnd 5863 1  |-  ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  U  C_  X )  ->  ( F `  U )  e.  C )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    C_ wss 3312   ~Pcpw 3791   -->wf 5442   ` cfv 5446  Moorecmre 13799  mrClscmrc 13800
This theorem is referenced by:  mrcsncl  13829  mrcidb  13832  mrcidm  13836  submrc  13845  isacs2  13870  mrelatlub  14604  mreclat  14605  gsumwspan  14783  cycsubg2cl  14970  odf1o1  15198  cntzspan  15452  gsumzsplit  15521  gsumzoppg  15531  gsumpt  15537  dmdprdd  15552  dprdfeq0  15572  dprdspan  15577  dprdres  15578  dprdz  15580  subgdmdprd  15584  subgdprd  15585  dprd2dlem1  15591  dprd2da  15592  dmdprdsplit2lem  15595  mrccss  16913  ismrcd2  26734  symggen  27369  proot1mul  27473
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-fv 5454  df-mre 13803  df-mrc 13804
  Copyright terms: Public domain W3C validator