MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mrccls Unicode version

Theorem mrccls 17033
Description: Moore closure generalizes closure in a topology. (Contributed by Stefan O'Rear, 31-Jan-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
mrccls.f  |-  F  =  (mrCls `  ( Clsd `  J ) )
Assertion
Ref Expression
mrccls  |-  ( J  e.  Top  ->  ( cls `  J )  =  F )

Proof of Theorem mrccls
Dummy variables  a 
b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2366 . . 3  |-  U. J  =  U. J
21clsfval 16979 . 2  |-  ( J  e.  Top  ->  ( cls `  J )  =  ( a  e.  ~P U. J  |->  |^| { b  e.  ( Clsd `  J
)  |  a  C_  b } ) )
31cldmre 17032 . . 3  |-  ( J  e.  Top  ->  ( Clsd `  J )  e.  (Moore `  U. J ) )
4 mrccls.f . . . 4  |-  F  =  (mrCls `  ( Clsd `  J ) )
54mrcfval 13720 . . 3  |-  ( (
Clsd `  J )  e.  (Moore `  U. J )  ->  F  =  ( a  e.  ~P U. J  |->  |^| { b  e.  ( Clsd `  J
)  |  a  C_  b } ) )
63, 5syl 15 . 2  |-  ( J  e.  Top  ->  F  =  ( a  e. 
~P U. J  |->  |^| { b  e.  ( Clsd `  J
)  |  a  C_  b } ) )
72, 6eqtr4d 2401 1  |-  ( J  e.  Top  ->  ( cls `  J )  =  F )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1647    e. wcel 1715   {crab 2632    C_ wss 3238   ~Pcpw 3714   U.cuni 3929   |^|cint 3964    e. cmpt 4179   ` cfv 5358  Moorecmre 13694  mrClscmrc 13695   Topctop 16848   Clsdccld 16970   clsccl 16972
This theorem is referenced by:  istopclsd  26366
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1551  ax-5 1562  ax-17 1621  ax-9 1659  ax-8 1680  ax-13 1717  ax-14 1719  ax-6 1734  ax-7 1739  ax-11 1751  ax-12 1937  ax-ext 2347  ax-rep 4233  ax-sep 4243  ax-nul 4251  ax-pow 4290  ax-pr 4316  ax-un 4615
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 937  df-tru 1324  df-ex 1547  df-nf 1550  df-sb 1654  df-eu 2221  df-mo 2222  df-clab 2353  df-cleq 2359  df-clel 2362  df-nfc 2491  df-ne 2531  df-ral 2633  df-rex 2634  df-reu 2635  df-rab 2637  df-v 2875  df-sbc 3078  df-csb 3168  df-dif 3241  df-un 3243  df-in 3245  df-ss 3252  df-nul 3544  df-if 3655  df-pw 3716  df-sn 3735  df-pr 3736  df-op 3738  df-uni 3930  df-int 3965  df-iun 4009  df-iin 4010  df-br 4126  df-opab 4180  df-mpt 4181  df-id 4412  df-xp 4798  df-rel 4799  df-cnv 4800  df-co 4801  df-dm 4802  df-rn 4803  df-res 4804  df-ima 4805  df-iota 5322  df-fun 5360  df-fn 5361  df-f 5362  df-f1 5363  df-fo 5364  df-f1o 5365  df-fv 5366  df-mre 13698  df-mrc 13699  df-top 16853  df-cld 16973  df-cls 16975
  Copyright terms: Public domain W3C validator