MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mrccls Unicode version

Theorem mrccls 17106
Description: Moore closure generalizes closure in a topology. (Contributed by Stefan O'Rear, 31-Jan-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
mrccls.f  |-  F  =  (mrCls `  ( Clsd `  J ) )
Assertion
Ref Expression
mrccls  |-  ( J  e.  Top  ->  ( cls `  J )  =  F )

Proof of Theorem mrccls
Dummy variables  a 
b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2412 . . 3  |-  U. J  =  U. J
21clsfval 17052 . 2  |-  ( J  e.  Top  ->  ( cls `  J )  =  ( a  e.  ~P U. J  |->  |^| { b  e.  ( Clsd `  J
)  |  a  C_  b } ) )
31cldmre 17105 . . 3  |-  ( J  e.  Top  ->  ( Clsd `  J )  e.  (Moore `  U. J ) )
4 mrccls.f . . . 4  |-  F  =  (mrCls `  ( Clsd `  J ) )
54mrcfval 13796 . . 3  |-  ( (
Clsd `  J )  e.  (Moore `  U. J )  ->  F  =  ( a  e.  ~P U. J  |->  |^| { b  e.  ( Clsd `  J
)  |  a  C_  b } ) )
63, 5syl 16 . 2  |-  ( J  e.  Top  ->  F  =  ( a  e. 
~P U. J  |->  |^| { b  e.  ( Clsd `  J
)  |  a  C_  b } ) )
72, 6eqtr4d 2447 1  |-  ( J  e.  Top  ->  ( cls `  J )  =  F )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1649    e. wcel 1721   {crab 2678    C_ wss 3288   ~Pcpw 3767   U.cuni 3983   |^|cint 4018    e. cmpt 4234   ` cfv 5421  Moorecmre 13770  mrClscmrc 13771   Topctop 16921   Clsdccld 17043   clsccl 17045
This theorem is referenced by:  istopclsd  26652
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-rep 4288  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-ral 2679  df-rex 2680  df-reu 2681  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-op 3791  df-uni 3984  df-int 4019  df-iun 4063  df-iin 4064  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-id 4466  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-mre 13774  df-mrc 13775  df-top 16926  df-cld 17046  df-cls 17048
  Copyright terms: Public domain W3C validator