Theorem mrccls 17106

Description: Moore closure generalizes closure in a topology. (Contributed by Stefan O'Rear, 31-Jan-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
mrccls.f	|- F = (mrCls ` ( Clsd ` J ) )

Assertion

Ref	Expression
mrccls	|- ( J e. Top -> ( cls ` J ) = F )

Proof of Theorem mrccls

Dummy variables a b are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2412	. . 3 |- U. J = U. J
2	1	clsfval 17052	. 2 |- ( J e. Top -> ( cls ` J ) = ( a e. ~P U. J |-> |^| { b e. ( Clsd ` J ) | a C_ b } ) )
3	1	cldmre 17105	. . 3 |- ( J e. Top -> ( Clsd ` J ) e. (Moore ` U. J ) )
4		mrccls.f	. . . 4 |- F = (mrCls ` ( Clsd ` J ) )
5	4	mrcfval 13796	. . 3 |- ( ( Clsd ` J ) e. (Moore ` U. J ) -> F = ( a e. ~P U. J |-> |^| { b e. ( Clsd ` J ) | a C_ b } ) )
6	3, 5	syl 16	. 2 |- ( J e. Top -> F = ( a e. ~P U. J |-> |^| { b e. ( Clsd ` J ) | a C_ b } ) )
7	2, 6	eqtr4d 2447	1 |- ( J e. Top -> ( cls ` J ) = F )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1649   e. wcel 1721   {crab 2678   C_ wss 3288   ~Pcpw 3767   U.cuni 3983   |^|cint 4018   e. cmpt 4234   ` cfv 5421  Moorecmre 13770  mrClscmrc 13771   Topctop 16921   Clsdccld 17043   clsccl 17045

This theorem is referenced by:  istopclsd  26652

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-rep 4288  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-ral 2679  df-rex 2680  df-reu 2681  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-op 3791  df-uni 3984  df-int 4019  df-iun 4063  df-iin 4064  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-id 4466  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-mre 13774  df-mrc 13775  df-top 16926  df-cld 17046  df-cls 17048