Theorem mrccls 17148

Description: Moore closure generalizes closure in a topology. (Contributed by Stefan O'Rear, 31-Jan-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
mrccls.f	|- F = (mrCls ` ( Clsd ` J ) )

Assertion

Ref	Expression
mrccls	|- ( J e. Top -> ( cls ` J ) = F )

Proof of Theorem mrccls

Dummy variables a b are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2438	. . 3 |- U. J = U. J
2	1	clsfval 17094	. 2 |- ( J e. Top -> ( cls ` J ) = ( a e. ~P U. J |-> |^| { b e. ( Clsd ` J ) | a C_ b } ) )
3	1	cldmre 17147	. . 3 |- ( J e. Top -> ( Clsd ` J ) e. (Moore ` U. J ) )
4		mrccls.f	. . . 4 |- F = (mrCls ` ( Clsd ` J ) )
5	4	mrcfval 13838	. . 3 |- ( ( Clsd ` J ) e. (Moore ` U. J ) -> F = ( a e. ~P U. J |-> |^| { b e. ( Clsd ` J ) | a C_ b } ) )
6	3, 5	syl 16	. 2 |- ( J e. Top -> F = ( a e. ~P U. J |-> |^| { b e. ( Clsd ` J ) | a C_ b } ) )
7	2, 6	eqtr4d 2473	1 |- ( J e. Top -> ( cls ` J ) = F )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1653   e. wcel 1726   {crab 2711   C_ wss 3322   ~Pcpw 3801   U.cuni 4017   |^|cint 4052   e. cmpt 4269   ` cfv 5457  Moorecmre 13812  mrClscmrc 13813   Topctop 16963   Clsdccld 17085   clsccl 17087

This theorem is referenced by:  istopclsd  26768

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704

This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-iin 4098  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-id 4501  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-mre 13816  df-mrc 13817  df-top 16968  df-cld 17088  df-cls 17090