MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mrccss Structured version   Unicode version

Theorem mrccss 16913
Description: The Moore closure corresponding to the system of closed subspaces is the double orthocomplement operation. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mrccss.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
mrccss.o  |-  ._|_  =  ( ocv `  W )
mrccss.c  |-  C  =  ( CSubSp `  W )
mrccss.f  |-  F  =  (mrCls `  C )
Assertion
Ref Expression
mrccss  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  S  C_  V )  ->  ( F `  S )  =  (  ._|_  `  (  ._|_  `  S ) ) )

Proof of Theorem mrccss
StepHypRef Expression
1 mrccss.v . . . . 5  |-  V  =  ( Base `  W
)
2 mrccss.c . . . . 5  |-  C  =  ( CSubSp `  W )
31, 2cssmre 16912 . . . 4  |-  ( W  e.  PreHil  ->  C  e.  (Moore `  V ) )
43adantr 452 . . 3  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  S  C_  V )  ->  C  e.  (Moore `  V )
)
5 mrccss.o . . . 4  |-  ._|_  =  ( ocv `  W )
61, 5ocvocv 16890 . . 3  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  S  C_  V )  ->  S  C_  (  ._|_  `  (  ._|_  `  S ) ) )
71, 5ocvss 16889 . . . . 5  |-  (  ._|_  `  S )  C_  V
87a1i 11 . . . 4  |-  ( S 
C_  V  ->  (  ._|_  `  S )  C_  V )
91, 2, 5ocvcss 16906 . . . 4  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  (  ._|_  `  S )  C_  V )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  S
) )  e.  C
)
108, 9sylan2 461 . . 3  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  S  C_  V )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  S
) )  e.  C
)
11 mrccss.f . . . 4  |-  F  =  (mrCls `  C )
1211mrcsscl 13837 . . 3  |-  ( ( C  e.  (Moore `  V )  /\  S  C_  (  ._|_  `  (  ._|_  `  S ) )  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  S ) )  e.  C )  ->  ( F `  S )  C_  (  ._|_  `  (  ._|_  `  S ) ) )
134, 6, 10, 12syl3anc 1184 . 2  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  S  C_  V )  ->  ( F `  S )  C_  (  ._|_  `  (  ._|_  `  S ) ) )
1411mrcssid 13834 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  (Moore `  V )  /\  S  C_  V )  ->  S  C_  ( F `  S
) )
153, 14sylan 458 . . . 4  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  S  C_  V )  ->  S  C_  ( F `  S
) )
165ocv2ss 16892 . . . 4  |-  ( S 
C_  ( F `  S )  ->  (  ._|_  `  ( F `  S ) )  C_  (  ._|_  `  S )
)
175ocv2ss 16892 . . . 4  |-  ( ( 
._|_  `  ( F `  S ) )  C_  (  ._|_  `  S )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  S ) )  C_  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( F `  S
) ) ) )
1815, 16, 173syl 19 . . 3  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  S  C_  V )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  S
) )  C_  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( F `  S )
) ) )
1911mrccl 13828 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  (Moore `  V )  /\  S  C_  V )  ->  ( F `  S )  e.  C )
203, 19sylan 458 . . . 4  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  S  C_  V )  ->  ( F `  S )  e.  C )
215, 2cssi 16903 . . . 4  |-  ( ( F `  S )  e.  C  ->  ( F `  S )  =  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( F `  S ) ) ) )
2220, 21syl 16 . . 3  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  S  C_  V )  ->  ( F `  S )  =  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( F `  S ) ) ) )
2318, 22sseqtr4d 3377 . 2  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  S  C_  V )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  S
) )  C_  ( F `  S )
)
2413, 23eqssd 3357 1  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  S  C_  V )  ->  ( F `  S )  =  (  ._|_  `  (  ._|_  `  S ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    C_ wss 3312   ` cfv 5446   Basecbs 13461  Moorecmre 13799  mrClscmrc 13800   PreHilcphl 16847   ocvcocv 16879   CSubSpccss 16880
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-tpos 6471  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-er 6897  df-map 7012  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-4 10052  df-5 10053  df-6 10054  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-sets 13467  df-plusg 13534  df-mulr 13535  df-sca 13537  df-vsca 13538  df-0g 13719  df-mre 13803  df-mrc 13804  df-mnd 14682  df-mhm 14730  df-grp 14804  df-ghm 14996  df-mgp 15641  df-rng 15655  df-ur 15657  df-oppr 15720  df-rnghom 15811  df-staf 15925  df-srng 15926  df-lmod 15944  df-lmhm 16090  df-lvec 16167  df-sra 16236  df-rgmod 16237  df-phl 16849  df-ocv 16882  df-css 16883
  Copyright terms: Public domain W3C validator