MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mrcssd Structured version   Unicode version

Theorem mrcssd 13849
Description: Moore closure preserves subset ordering. Deduction form of mrcss 13841. (Contributed by David Moews, 1-May-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
mrcssd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  (Moore `  X ) )
mrcssd.2  |-  N  =  (mrCls `  A )
mrcssd.3  |-  ( ph  ->  U  C_  V )
mrcssd.4  |-  ( ph  ->  V  C_  X )
Assertion
Ref Expression
mrcssd  |-  ( ph  ->  ( N `  U
)  C_  ( N `  V ) )

Proof of Theorem mrcssd
StepHypRef Expression
1 mrcssd.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  (Moore `  X ) )
2 mrcssd.3 . 2  |-  ( ph  ->  U  C_  V )
3 mrcssd.4 . 2  |-  ( ph  ->  V  C_  X )
4 mrcssd.2 . . 3  |-  N  =  (mrCls `  A )
54mrcss 13841 . 2  |-  ( ( A  e.  (Moore `  X )  /\  U  C_  V  /\  V  C_  X )  ->  ( N `  U )  C_  ( N `  V
) )
61, 2, 3, 5syl3anc 1184 1  |-  ( ph  ->  ( N `  U
)  C_  ( N `  V ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1652    e. wcel 1725    C_ wss 3320   ` cfv 5454  Moorecmre 13807  mrClscmrc 13808
This theorem is referenced by:  mressmrcd  13852  mrieqv2d  13864  mrissmrid  13866  mreexexlem2d  13870  isacs3lem  14592  isacs4lem  14594  acsfiindd  14603  acsmapd  14604  acsmap2d  14605  dprdres  15586  dprdss  15587  dprd2dlem1  15599  dprd2da  15600  dmdprdsplit2lem  15603
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-fv 5462  df-mre 13811  df-mrc 13812
  Copyright terms: Public domain W3C validator