MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mrcssd Unicode version

Theorem mrcssd 13542
Description: Moore closure preserves subset ordering. Deduction form of mrcss 13534. (Contributed by David Moews, 1-May-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
mrcssd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  (Moore `  X ) )
mrcssd.2  |-  N  =  (mrCls `  A )
mrcssd.3  |-  ( ph  ->  U  C_  V )
mrcssd.4  |-  ( ph  ->  V  C_  X )
Assertion
Ref Expression
mrcssd  |-  ( ph  ->  ( N `  U
)  C_  ( N `  V ) )

Proof of Theorem mrcssd
StepHypRef Expression
1 mrcssd.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  (Moore `  X ) )
2 mrcssd.3 . 2  |-  ( ph  ->  U  C_  V )
3 mrcssd.4 . 2  |-  ( ph  ->  V  C_  X )
4 mrcssd.2 . . 3  |-  N  =  (mrCls `  A )
54mrcss 13534 . 2  |-  ( ( A  e.  (Moore `  X )  /\  U  C_  V  /\  V  C_  X )  ->  ( N `  U )  C_  ( N `  V
) )
61, 2, 3, 5syl3anc 1182 1  |-  ( ph  ->  ( N `  U
)  C_  ( N `  V ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1632    e. wcel 1696    C_ wss 3165   ` cfv 5271  Moorecmre 13500  mrClscmrc 13501
This theorem is referenced by:  mressmrcd  13545  mrieqv2d  13557  mrissmrid  13559  mreexexlem2d  13563  acsfiindd  14296  acsmapd  14297  acsmap2d  14298
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-fv 5279  df-mre 13504  df-mrc 13505
  Copyright terms: Public domain W3C validator