MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mrcssid Unicode version

Theorem mrcssid 13797
Description: The closure of a set is a superset. (Contributed by Stefan O'Rear, 31-Jan-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
mrcfval.f  |-  F  =  (mrCls `  C )
Assertion
Ref Expression
mrcssid  |-  ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  U  C_  X )  ->  U  C_  ( F `  U
) )

Proof of Theorem mrcssid
Dummy variable  s is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssintub 4028 . 2  |-  U  C_  |^|
{ s  e.  C  |  U  C_  s }
2 mrcfval.f . . 3  |-  F  =  (mrCls `  C )
32mrcval 13790 . 2  |-  ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  U  C_  X )  ->  ( F `  U )  =  |^| { s  e.  C  |  U  C_  s } )
41, 3syl5sseqr 3357 1  |-  ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  U  C_  X )  ->  U  C_  ( F `  U
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   {crab 2670    C_ wss 3280   |^|cint 4010   ` cfv 5413  Moorecmre 13762  mrClscmrc 13763
This theorem is referenced by:  mrcidb2  13798  mrcuni  13801  mrcssidd  13805  mrelatlub  14567  gsumwspan  14746  mrccss  16876  ismrcd2  26643  ismrc  26645  mrefg2  26651  symggen  27279
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-fv 5421  df-mre 13766  df-mrc 13767
  Copyright terms: Public domain W3C validator