MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mrcssid Unicode version

Theorem mrcssid 13612
Description: The closure of a set is a superset. (Contributed by Stefan O'Rear, 31-Jan-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
mrcfval.f  |-  F  =  (mrCls `  C )
Assertion
Ref Expression
mrcssid  |-  ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  U  C_  X )  ->  U  C_  ( F `  U
) )

Proof of Theorem mrcssid
Dummy variable  s is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssintub 3959 . 2  |-  U  C_  |^|
{ s  e.  C  |  U  C_  s }
2 mrcfval.f . . 3  |-  F  =  (mrCls `  C )
32mrcval 13605 . 2  |-  ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  U  C_  X )  ->  ( F `  U )  =  |^| { s  e.  C  |  U  C_  s } )
41, 3syl5sseqr 3303 1  |-  ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  U  C_  X )  ->  U  C_  ( F `  U
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1642    e. wcel 1710   {crab 2623    C_ wss 3228   |^|cint 3941   ` cfv 5334  Moorecmre 13577  mrClscmrc 13578
This theorem is referenced by:  mrcidb2  13613  mrcuni  13616  mrcssidd  13620  submrc  13623  isacs2  13648  mrelatlub  14382  gsumwspan  14561  cycsubg2cl  14748  odf1o1  14976  gsumzsplit  15299  gsumzoppg  15309  gsumpt  15315  dprdfeq0  15350  dprdspan  15355  subgdmdprd  15362  subgdprd  15363  dprd2dlem1  15369  dprd2da  15370  dmdprdsplit2lem  15373  pgpfac1lem1  15402  pgpfac1lem3a  15404  pgpfac1lem3  15405  pgpfac1lem5  15407  pgpfaclem2  15410  mrccss  16694  ismrcd2  26097  ismrc  26099  mrefg2  26105  symggen  26734  proot1mul  26838
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-sep 4220  ax-nul 4228  ax-pow 4267  ax-pr 4293  ax-un 4591
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-ral 2624  df-rex 2625  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-op 3725  df-uni 3907  df-int 3942  df-iun 3986  df-br 4103  df-opab 4157  df-mpt 4158  df-id 4388  df-xp 4774  df-rel 4775  df-cnv 4776  df-co 4777  df-dm 4778  df-rn 4779  df-res 4780  df-ima 4781  df-iota 5298  df-fun 5336  df-fn 5337  df-f 5338  df-fv 5342  df-mre 13581  df-mrc 13582
  Copyright terms: Public domain W3C validator