MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mrcssidd Structured version   Unicode version

Theorem mrcssidd 13842
Description: A set is contained in its Moore closure. Deduction form of mrcssid 13834. (Contributed by David Moews, 1-May-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
mrcssidd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  (Moore `  X ) )
mrcssidd.2  |-  N  =  (mrCls `  A )
mrcssidd.3  |-  ( ph  ->  U  C_  X )
Assertion
Ref Expression
mrcssidd  |-  ( ph  ->  U  C_  ( N `  U ) )

Proof of Theorem mrcssidd
StepHypRef Expression
1 mrcssidd.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  (Moore `  X ) )
2 mrcssidd.3 . 2  |-  ( ph  ->  U  C_  X )
3 mrcssidd.2 . . 3  |-  N  =  (mrCls `  A )
43mrcssid 13834 . 2  |-  ( ( A  e.  (Moore `  X )  /\  U  C_  X )  ->  U  C_  ( N `  U
) )
51, 2, 4syl2anc 643 1  |-  ( ph  ->  U  C_  ( N `  U ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1652    e. wcel 1725    C_ wss 3312   ` cfv 5446  Moorecmre 13799  mrClscmrc 13800
This theorem is referenced by:  submrc  13845  mrieqvlemd  13846  mrieqv2d  13856  mreexmrid  13860  mreexexlem2d  13862  mreexexlem3d  13863  mreexfidimd  13867  isacs2  13870  acsmap2d  14597  cycsubg2cl  14970  odf1o1  15198  gsumzsplit  15521  gsumzoppg  15531  gsumpt  15537  dprdfeq0  15572  dprdspan  15577  subgdmdprd  15584  subgdprd  15585  dprd2dlem1  15591  dprd2da  15592  dmdprdsplit2lem  15595  pgpfac1lem1  15624  pgpfac1lem3a  15626  pgpfac1lem3  15627  pgpfac1lem5  15629  pgpfaclem2  15632  proot1mul  27483
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-fv 5454  df-mre 13803  df-mrc 13804
  Copyright terms: Public domain W3C validator