MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mrcssidd Unicode version

Theorem mrcssidd 13527
Description: A set is contained in its Moore closure. Deduction form of mrcssid 13519. (Contributed by David Moews, 1-May-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
mrcssidd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  (Moore `  X ) )
mrcssidd.2  |-  N  =  (mrCls `  A )
mrcssidd.3  |-  ( ph  ->  U  C_  X )
Assertion
Ref Expression
mrcssidd  |-  ( ph  ->  U  C_  ( N `  U ) )

Proof of Theorem mrcssidd
StepHypRef Expression
1 mrcssidd.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  (Moore `  X ) )
2 mrcssidd.3 . 2  |-  ( ph  ->  U  C_  X )
3 mrcssidd.2 . . 3  |-  N  =  (mrCls `  A )
43mrcssid 13519 . 2  |-  ( ( A  e.  (Moore `  X )  /\  U  C_  X )  ->  U  C_  ( N `  U
) )
51, 2, 4syl2anc 642 1  |-  ( ph  ->  U  C_  ( N `  U ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1623    e. wcel 1684    C_ wss 3152   ` cfv 5255  Moorecmre 13484  mrClscmrc 13485
This theorem is referenced by:  mrieqvlemd  13531  mrieqv2d  13541  mreexmrid  13545  mreexexlem2d  13547  mreexexlem3d  13548  mreexfidimd  13552  acsmap2d  14282
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-fv 5263  df-mre 13488  df-mrc 13489
  Copyright terms: Public domain W3C validator