Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mrcun Structured version   Unicode version

Theorem mrcun 13852
 Description: Idempotence of closure under a pair union. (Contributed by Stefan O'Rear, 31-Jan-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
mrcfval.f mrCls
Assertion
Ref Expression
mrcun Moore

Proof of Theorem mrcun
StepHypRef Expression
1 simp1 958 . . 3 Moore Moore
2 mre1cl 13824 . . . . . . 7 Moore
3 elpw2g 4366 . . . . . . 7
42, 3syl 16 . . . . . 6 Moore
54biimpar 473 . . . . 5 Moore
653adant3 978 . . . 4 Moore
7 elpw2g 4366 . . . . . . 7
82, 7syl 16 . . . . . 6 Moore
98biimpar 473 . . . . 5 Moore
1093adant2 977 . . . 4 Moore
11 prssi 3956 . . . 4
126, 10, 11syl2anc 644 . . 3 Moore
13 mrcfval.f . . . 4 mrCls
1413mrcuni 13851 . . 3 Moore
151, 12, 14syl2anc 644 . 2 Moore
16 uniprg 4032 . . . 4
176, 10, 16syl2anc 644 . . 3 Moore
1817fveq2d 5735 . 2 Moore
1913mrcf 13839 . . . . . . . 8 Moore
20 ffn 5594 . . . . . . . 8
2119, 20syl 16 . . . . . . 7 Moore
22213ad2ant1 979 . . . . . 6 Moore
23 fnimapr 5790 . . . . . 6
2422, 6, 10, 23syl3anc 1185 . . . . 5 Moore
2524unieqd 4028 . . . 4 Moore
26 fvex 5745 . . . . 5
27 fvex 5745 . . . . 5
2826, 27unipr 4031 . . . 4
2925, 28syl6eq 2486 . . 3 Moore
3029fveq2d 5735 . 2 Moore
3115, 18, 303eqtr3d 2478 1 Moore
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 178   w3a 937   wceq 1653   wcel 1726   cun 3320   wss 3322  cpw 3801  cpr 3817  cuni 4017  cima 4884   wfn 5452  wf 5453  cfv 5457  Moorecmre 13812  mrClscmrc 13813 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-id 4501  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-fv 5465  df-mre 13816  df-mrc 13817
 Copyright terms: Public domain W3C validator