Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mrcuni Unicode version

Theorem mrcuni 13539
 Description: Idempotence of closure under a general union. (Contributed by Stefan O'Rear, 31-Jan-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
mrcfval.f mrCls
Assertion
Ref Expression
mrcuni Moore

Proof of Theorem mrcuni
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 443 . . 3 Moore Moore
2 simpll 730 . . . . . . 7 Moore Moore
3 ssel2 3188 . . . . . . . . 9
4 elpwi 3646 . . . . . . . . 9
53, 4syl 15 . . . . . . . 8
65adantll 694 . . . . . . 7 Moore
7 mrcfval.f . . . . . . . 8 mrCls
87mrcssid 13535 . . . . . . 7 Moore
92, 6, 8syl2anc 642 . . . . . 6 Moore
107mrcf 13527 . . . . . . . . . . 11 Moore
11 ffun 5407 . . . . . . . . . . 11
1210, 11syl 15 . . . . . . . . . 10 Moore
1312adantr 451 . . . . . . . . 9 Moore
14 fdm 5409 . . . . . . . . . . . 12
1510, 14syl 15 . . . . . . . . . . 11 Moore
1615sseq2d 3219 . . . . . . . . . 10 Moore
1716biimpar 471 . . . . . . . . 9 Moore
18 funfvima2 5770 . . . . . . . . 9
1913, 17, 18syl2anc 642 . . . . . . . 8 Moore
2019imp 418 . . . . . . 7 Moore
21 elssuni 3871 . . . . . . 7
2220, 21syl 15 . . . . . 6 Moore
239, 22sstrd 3202 . . . . 5 Moore
2423ralrimiva 2639 . . . 4 Moore
25 unissb 3873 . . . 4
2624, 25sylibr 203 . . 3 Moore
277mrcssv 13532 . . . . . . 7 Moore
2827adantr 451 . . . . . 6 Moore
2928ralrimivw 2640 . . . . 5 Moore
30 ffn 5405 . . . . . . 7
3110, 30syl 15 . . . . . 6 Moore
32 sseq1 3212 . . . . . . 7
3332ralima 5774 . . . . . 6
3431, 33sylan 457 . . . . 5 Moore
3529, 34mpbird 223 . . . 4 Moore
36 unissb 3873 . . . 4
3735, 36sylibr 203 . . 3 Moore
387mrcss 13534 . . 3 Moore
391, 26, 37, 38syl3anc 1182 . 2 Moore
40 simpll 730 . . . . . . . 8 Moore Moore
41 elssuni 3871 . . . . . . . . 9
4241adantl 452 . . . . . . . 8 Moore
43 sspwuni 4003 . . . . . . . . . . 11
4443biimpi 186 . . . . . . . . . 10
4544adantl 452 . . . . . . . . 9 Moore
4645adantr 451 . . . . . . . 8 Moore
477mrcss 13534 . . . . . . . 8 Moore
4840, 42, 46, 47syl3anc 1182 . . . . . . 7 Moore
4948ralrimiva 2639 . . . . . 6 Moore
50 sseq1 3212 . . . . . . . 8
5150ralima 5774 . . . . . . 7
5231, 51sylan 457 . . . . . 6 Moore
5349, 52mpbird 223 . . . . 5 Moore
54 unissb 3873 . . . . 5
5553, 54sylibr 203 . . . 4 Moore
567mrcssv 13532 . . . . 5 Moore
5756adantr 451 . . . 4 Moore
587mrcss 13534 . . . 4 Moore
591, 55, 57, 58syl3anc 1182 . . 3 Moore
607mrcidm 13537 . . . 4 Moore
611, 45, 60syl2anc 642 . . 3 Moore
6259, 61sseqtrd 3227 . 2 Moore
6339, 62eqssd 3209 1 Moore
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 176   wa 358   wceq 1632   wcel 1696  wral 2556   wss 3165  cpw 3638  cuni 3843   cdm 4705  cima 4708   wfun 5265   wfn 5266  wf 5267  cfv 5271  Moorecmre 13500  mrClscmrc 13501 This theorem is referenced by:  mrcun  13540  isacs4lem  14287 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-fv 5279  df-mre 13504  df-mrc 13505
 Copyright terms: Public domain W3C validator