MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mreclatdemo Unicode version

Theorem mreclatdemo 16849
Description: The closed subspaces of a topology-bearing module form a complete lattice. Demonstration for mreclat 14306. (Contributed by Stefan O'Rear, 31-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
mreclatdemo  |-  ( W  e.  ( TopSp  i^i  LMod )  ->  (toInc `  (
( LSubSp `  W )  i^i  ( Clsd `  ( TopOpen
`  W ) ) ) )  e.  CLat )

Proof of Theorem mreclatdemo
StepHypRef Expression
1 fvex 5555 . . . . 5  |-  ( TopOpen `  W )  e.  _V
21uniex 4532 . . . 4  |-  U. ( TopOpen
`  W )  e. 
_V
3 mremre 13522 . . . 4  |-  ( U. ( TopOpen `  W )  e.  _V  ->  (Moore `  U. ( TopOpen `  W )
)  e.  (Moore `  ~P U. ( TopOpen `  W
) ) )
42, 3mp1i 11 . . 3  |-  ( W  e.  ( TopSp  i^i  LMod )  ->  (Moore `  U. ( TopOpen `  W )
)  e.  (Moore `  ~P U. ( TopOpen `  W
) ) )
5 inss2 3403 . . . . . 6  |-  ( TopSp  i^i 
LMod )  C_  LMod
65sseli 3189 . . . . 5  |-  ( W  e.  ( TopSp  i^i  LMod )  ->  W  e.  LMod )
7 eqid 2296 . . . . . 6  |-  ( Base `  W )  =  (
Base `  W )
8 eqid 2296 . . . . . 6  |-  ( LSubSp `  W )  =  (
LSubSp `  W )
97, 8lssmre 15739 . . . . 5  |-  ( W  e.  LMod  ->  ( LSubSp `  W )  e.  (Moore `  ( Base `  W
) ) )
106, 9syl 15 . . . 4  |-  ( W  e.  ( TopSp  i^i  LMod )  ->  ( LSubSp `  W
)  e.  (Moore `  ( Base `  W )
) )
11 inss1 3402 . . . . . 6  |-  ( TopSp  i^i 
LMod )  C_  TopSp
1211sseli 3189 . . . . 5  |-  ( W  e.  ( TopSp  i^i  LMod )  ->  W  e.  TopSp )
13 eqid 2296 . . . . . . 7  |-  ( TopOpen `  W )  =  (
TopOpen `  W )
147, 13tpsuni 16692 . . . . . 6  |-  ( W  e.  TopSp  ->  ( Base `  W )  =  U. ( TopOpen `  W )
)
1514fveq2d 5545 . . . . 5  |-  ( W  e.  TopSp  ->  (Moore `  ( Base `  W ) )  =  (Moore `  U. ( TopOpen `  W )
) )
1612, 15syl 15 . . . 4  |-  ( W  e.  ( TopSp  i^i  LMod )  ->  (Moore `  ( Base `  W ) )  =  (Moore `  U. ( TopOpen `  W )
) )
1710, 16eleqtrd 2372 . . 3  |-  ( W  e.  ( TopSp  i^i  LMod )  ->  ( LSubSp `  W
)  e.  (Moore `  U. ( TopOpen `  W )
) )
1813tpstop 16693 . . . 4  |-  ( W  e.  TopSp  ->  ( TopOpen `  W )  e.  Top )
19 eqid 2296 . . . . 5  |-  U. ( TopOpen
`  W )  = 
U. ( TopOpen `  W
)
2019cldmre 16831 . . . 4  |-  ( (
TopOpen `  W )  e. 
Top  ->  ( Clsd `  ( TopOpen
`  W ) )  e.  (Moore `  U. ( TopOpen `  W )
) )
2112, 18, 203syl 18 . . 3  |-  ( W  e.  ( TopSp  i^i  LMod )  ->  ( Clsd `  ( TopOpen
`  W ) )  e.  (Moore `  U. ( TopOpen `  W )
) )
22 mreincl 13517 . . 3  |-  ( ( (Moore `  U. ( TopOpen `  W ) )  e.  (Moore `  ~P U. ( TopOpen
`  W ) )  /\  ( LSubSp `  W
)  e.  (Moore `  U. ( TopOpen `  W )
)  /\  ( Clsd `  ( TopOpen `  W )
)  e.  (Moore `  U. ( TopOpen `  W )
) )  ->  (
( LSubSp `  W )  i^i  ( Clsd `  ( TopOpen
`  W ) ) )  e.  (Moore `  U. ( TopOpen `  W )
) )
234, 17, 21, 22syl3anc 1182 . 2  |-  ( W  e.  ( TopSp  i^i  LMod )  ->  ( ( LSubSp `  W )  i^i  ( Clsd `  ( TopOpen `  W
) ) )  e.  (Moore `  U. ( TopOpen `  W ) ) )
24 eqid 2296 . . 3  |-  (toInc `  ( ( LSubSp `  W
)  i^i  ( Clsd `  ( TopOpen `  W )
) ) )  =  (toInc `  ( ( LSubSp `
 W )  i^i  ( Clsd `  ( TopOpen
`  W ) ) ) )
2524mreclat 14306 . 2  |-  ( ( ( LSubSp `  W )  i^i  ( Clsd `  ( TopOpen
`  W ) ) )  e.  (Moore `  U. ( TopOpen `  W )
)  ->  (toInc `  (
( LSubSp `  W )  i^i  ( Clsd `  ( TopOpen
`  W ) ) ) )  e.  CLat )
2623, 25syl 15 1  |-  ( W  e.  ( TopSp  i^i  LMod )  ->  (toInc `  (
( LSubSp `  W )  i^i  ( Clsd `  ( TopOpen
`  W ) ) ) )  e.  CLat )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1632    e. wcel 1696   _Vcvv 2801    i^i cin 3164   ~Pcpw 3638   U.cuni 3843   ` cfv 5271   Basecbs 13164   TopOpenctopn 13342  Moorecmre 13500   CLatccla 14229  toInccipo 14270   LModclmod 15643   LSubSpclss 15705   Topctop 16647   TopSpctps 16650   Clsdccld 16769
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-fz 10799  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-plusg 13237  df-tset 13243  df-ple 13244  df-ocomp 13245  df-0g 13420  df-mre 13504  df-mrc 13505  df-poset 14096  df-lub 14124  df-glb 14125  df-clat 14230  df-odu 14249  df-ipo 14271  df-mnd 14383  df-grp 14505  df-minusg 14506  df-sbg 14507  df-mgp 15342  df-rng 15356  df-ur 15358  df-lmod 15645  df-lss 15706  df-top 16652  df-topon 16655  df-topsp 16656  df-cld 16772
  Copyright terms: Public domain W3C validator