MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mreclatdemo Structured version   Unicode version

Theorem mreclatdemo 17152
Description: The closed subspaces of a topology-bearing module form a complete lattice. Demonstration for mreclat 14605. (Contributed by Stefan O'Rear, 31-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
mreclatdemo  |-  ( W  e.  ( TopSp  i^i  LMod )  ->  (toInc `  (
( LSubSp `  W )  i^i  ( Clsd `  ( TopOpen
`  W ) ) ) )  e.  CLat )

Proof of Theorem mreclatdemo
StepHypRef Expression
1 fvex 5734 . . . . 5  |-  ( TopOpen `  W )  e.  _V
21uniex 4697 . . . 4  |-  U. ( TopOpen
`  W )  e. 
_V
3 mremre 13821 . . . 4  |-  ( U. ( TopOpen `  W )  e.  _V  ->  (Moore `  U. ( TopOpen `  W )
)  e.  (Moore `  ~P U. ( TopOpen `  W
) ) )
42, 3mp1i 12 . . 3  |-  ( W  e.  ( TopSp  i^i  LMod )  ->  (Moore `  U. ( TopOpen `  W )
)  e.  (Moore `  ~P U. ( TopOpen `  W
) ) )
5 inss2 3554 . . . . . 6  |-  ( TopSp  i^i 
LMod )  C_  LMod
65sseli 3336 . . . . 5  |-  ( W  e.  ( TopSp  i^i  LMod )  ->  W  e.  LMod )
7 eqid 2435 . . . . . 6  |-  ( Base `  W )  =  (
Base `  W )
8 eqid 2435 . . . . . 6  |-  ( LSubSp `  W )  =  (
LSubSp `  W )
97, 8lssmre 16034 . . . . 5  |-  ( W  e.  LMod  ->  ( LSubSp `  W )  e.  (Moore `  ( Base `  W
) ) )
106, 9syl 16 . . . 4  |-  ( W  e.  ( TopSp  i^i  LMod )  ->  ( LSubSp `  W
)  e.  (Moore `  ( Base `  W )
) )
11 inss1 3553 . . . . . 6  |-  ( TopSp  i^i 
LMod )  C_  TopSp
1211sseli 3336 . . . . 5  |-  ( W  e.  ( TopSp  i^i  LMod )  ->  W  e.  TopSp )
13 eqid 2435 . . . . . . 7  |-  ( TopOpen `  W )  =  (
TopOpen `  W )
147, 13tpsuni 16995 . . . . . 6  |-  ( W  e.  TopSp  ->  ( Base `  W )  =  U. ( TopOpen `  W )
)
1514fveq2d 5724 . . . . 5  |-  ( W  e.  TopSp  ->  (Moore `  ( Base `  W ) )  =  (Moore `  U. ( TopOpen `  W )
) )
1612, 15syl 16 . . . 4  |-  ( W  e.  ( TopSp  i^i  LMod )  ->  (Moore `  ( Base `  W ) )  =  (Moore `  U. ( TopOpen `  W )
) )
1710, 16eleqtrd 2511 . . 3  |-  ( W  e.  ( TopSp  i^i  LMod )  ->  ( LSubSp `  W
)  e.  (Moore `  U. ( TopOpen `  W )
) )
1813tpstop 16996 . . . 4  |-  ( W  e.  TopSp  ->  ( TopOpen `  W )  e.  Top )
19 eqid 2435 . . . . 5  |-  U. ( TopOpen
`  W )  = 
U. ( TopOpen `  W
)
2019cldmre 17134 . . . 4  |-  ( (
TopOpen `  W )  e. 
Top  ->  ( Clsd `  ( TopOpen
`  W ) )  e.  (Moore `  U. ( TopOpen `  W )
) )
2112, 18, 203syl 19 . . 3  |-  ( W  e.  ( TopSp  i^i  LMod )  ->  ( Clsd `  ( TopOpen
`  W ) )  e.  (Moore `  U. ( TopOpen `  W )
) )
22 mreincl 13816 . . 3  |-  ( ( (Moore `  U. ( TopOpen `  W ) )  e.  (Moore `  ~P U. ( TopOpen
`  W ) )  /\  ( LSubSp `  W
)  e.  (Moore `  U. ( TopOpen `  W )
)  /\  ( Clsd `  ( TopOpen `  W )
)  e.  (Moore `  U. ( TopOpen `  W )
) )  ->  (
( LSubSp `  W )  i^i  ( Clsd `  ( TopOpen
`  W ) ) )  e.  (Moore `  U. ( TopOpen `  W )
) )
234, 17, 21, 22syl3anc 1184 . 2  |-  ( W  e.  ( TopSp  i^i  LMod )  ->  ( ( LSubSp `  W )  i^i  ( Clsd `  ( TopOpen `  W
) ) )  e.  (Moore `  U. ( TopOpen `  W ) ) )
24 eqid 2435 . . 3  |-  (toInc `  ( ( LSubSp `  W
)  i^i  ( Clsd `  ( TopOpen `  W )
) ) )  =  (toInc `  ( ( LSubSp `
 W )  i^i  ( Clsd `  ( TopOpen
`  W ) ) ) )
2524mreclat 14605 . 2  |-  ( ( ( LSubSp `  W )  i^i  ( Clsd `  ( TopOpen
`  W ) ) )  e.  (Moore `  U. ( TopOpen `  W )
)  ->  (toInc `  (
( LSubSp `  W )  i^i  ( Clsd `  ( TopOpen
`  W ) ) ) )  e.  CLat )
2623, 25syl 16 1  |-  ( W  e.  ( TopSp  i^i  LMod )  ->  (toInc `  (
( LSubSp `  W )  i^i  ( Clsd `  ( TopOpen
`  W ) ) ) )  e.  CLat )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1652    e. wcel 1725   _Vcvv 2948    i^i cin 3311   ~Pcpw 3791   U.cuni 4007   ` cfv 5446   Basecbs 13461   TopOpenctopn 13641  Moorecmre 13799   CLatccla 14528  toInccipo 14569   LModclmod 15942   LSubSpclss 16000   Topctop 16950   TopSpctps 16953   Clsdccld 17072
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-iin 4088  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-4 10052  df-5 10053  df-6 10054  df-7 10055  df-8 10056  df-9 10057  df-10 10058  df-n0 10214  df-z 10275  df-dec 10375  df-uz 10481  df-fz 11036  df-struct 13463  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-sets 13467  df-plusg 13534  df-tset 13540  df-ple 13541  df-ocomp 13542  df-0g 13719  df-mre 13803  df-mrc 13804  df-poset 14395  df-lub 14423  df-glb 14424  df-clat 14529  df-odu 14548  df-ipo 14570  df-mnd 14682  df-grp 14804  df-minusg 14805  df-sbg 14806  df-mgp 15641  df-rng 15655  df-ur 15657  df-lmod 15944  df-lss 16001  df-top 16955  df-topon 16958  df-topsp 16959  df-cld 17075
  Copyright terms: Public domain W3C validator