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Theorem mreexd 13754
Description: In a Moore system, the closure operator is said to have the exchange property if, for all elements  y and  z of the base set and subsets  S of the base set such that  z is in the closure of  ( S  u.  { y } ) but not in the closure of  S,  y is in the closure of  ( S  u.  { z } ) (Definition 3.1.9 in [FaureFrolicher] p. 57 to 58.) This theorem allows us to construct substitution instances of this definition. (Contributed by David Moews, 1-May-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
mreexd.1  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
mreexd.2  |-  ( ph  ->  A. s  e.  ~P  X A. y  e.  X  A. z  e.  (
( N `  (
s  u.  { y } ) )  \ 
( N `  s
) ) y  e.  ( N `  (
s  u.  { z } ) ) )
mreexd.3  |-  ( ph  ->  S  C_  X )
mreexd.4  |-  ( ph  ->  Y  e.  X )
mreexd.5  |-  ( ph  ->  Z  e.  ( N `
 ( S  u.  { Y } ) ) )
mreexd.6  |-  ( ph  ->  -.  Z  e.  ( N `  S ) )
Assertion
Ref Expression
mreexd  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( N `
 ( S  u.  { Z } ) ) )
Distinct variable groups:    X, s,
y    S, s, z, y    ph, s, y, z    Y, s, y, z    Z, s, y, z    N, s, y, z
Allowed substitution hints:    V( y, z, s)    X( z)

Proof of Theorem mreexd
StepHypRef Expression
1 mreexd.2 . 2  |-  ( ph  ->  A. s  e.  ~P  X A. y  e.  X  A. z  e.  (
( N `  (
s  u.  { y } ) )  \ 
( N `  s
) ) y  e.  ( N `  (
s  u.  { z } ) ) )
2 mreexd.3 . . . 4  |-  ( ph  ->  S  C_  X )
3 mreexd.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
4 elpw2g 4276 . . . . 5  |-  ( X  e.  V  ->  ( S  e.  ~P X  <->  S 
C_  X ) )
53, 4syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( S  e.  ~P X 
<->  S  C_  X )
)
62, 5mpbird 223 . . 3  |-  ( ph  ->  S  e.  ~P X
)
7 mreexd.4 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  e.  X )
87adantr 451 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  s  =  S )  ->  Y  e.  X )
9 mreexd.5 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Z  e.  ( N `
 ( S  u.  { Y } ) ) )
109ad2antrr 706 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  s  =  S )  /\  y  =  Y )  ->  Z  e.  ( N `  ( S  u.  { Y } ) ) )
11 simplr 731 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  s  =  S )  /\  y  =  Y )  ->  s  =  S )
12 simpr 447 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  s  =  S )  /\  y  =  Y )  ->  y  =  Y )
1312sneqd 3742 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  s  =  S )  /\  y  =  Y )  ->  { y }  =  { Y } )
1411, 13uneq12d 3418 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  s  =  S )  /\  y  =  Y )  ->  (
s  u.  { y } )  =  ( S  u.  { Y } ) )
1514fveq2d 5636 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  s  =  S )  /\  y  =  Y )  ->  ( N `  ( s  u.  { y } ) )  =  ( N `
 ( S  u.  { Y } ) ) )
1610, 15eleqtrrd 2443 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  s  =  S )  /\  y  =  Y )  ->  Z  e.  ( N `  (
s  u.  { y } ) ) )
17 mreexd.6 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  -.  Z  e.  ( N `  S ) )
1817ad2antrr 706 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  s  =  S )  /\  y  =  Y )  ->  -.  Z  e.  ( N `  S ) )
1911fveq2d 5636 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  s  =  S )  /\  y  =  Y )  ->  ( N `  s )  =  ( N `  S ) )
2018, 19neleqtrrd 2462 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  s  =  S )  /\  y  =  Y )  ->  -.  Z  e.  ( N `  s ) )
2116, 20eldifd 3249 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  s  =  S )  /\  y  =  Y )  ->  Z  e.  ( ( N `  ( s  u.  {
y } ) ) 
\  ( N `  s ) ) )
22 simplr 731 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  s  =  S )  /\  y  =  Y
)  /\  z  =  Z )  ->  y  =  Y )
23 simpllr 735 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  s  =  S )  /\  y  =  Y
)  /\  z  =  Z )  ->  s  =  S )
24 simpr 447 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  s  =  S )  /\  y  =  Y
)  /\  z  =  Z )  ->  z  =  Z )
2524sneqd 3742 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  s  =  S )  /\  y  =  Y
)  /\  z  =  Z )  ->  { z }  =  { Z } )
2623, 25uneq12d 3418 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  s  =  S )  /\  y  =  Y
)  /\  z  =  Z )  ->  (
s  u.  { z } )  =  ( S  u.  { Z } ) )
2726fveq2d 5636 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  s  =  S )  /\  y  =  Y
)  /\  z  =  Z )  ->  ( N `  ( s  u.  { z } ) )  =  ( N `
 ( S  u.  { Z } ) ) )
2822, 27eleq12d 2434 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  s  =  S )  /\  y  =  Y
)  /\  z  =  Z )  ->  (
y  e.  ( N `
 ( s  u. 
{ z } ) )  <->  Y  e.  ( N `  ( S  u.  { Z } ) ) ) )
2921, 28rspcdv 2972 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  s  =  S )  /\  y  =  Y )  ->  ( A. z  e.  (
( N `  (
s  u.  { y } ) )  \ 
( N `  s
) ) y  e.  ( N `  (
s  u.  { z } ) )  ->  Y  e.  ( N `  ( S  u.  { Z } ) ) ) )
308, 29rspcimdv 2970 . . 3  |-  ( (
ph  /\  s  =  S )  ->  ( A. y  e.  X  A. z  e.  (
( N `  (
s  u.  { y } ) )  \ 
( N `  s
) ) y  e.  ( N `  (
s  u.  { z } ) )  ->  Y  e.  ( N `  ( S  u.  { Z } ) ) ) )
316, 30rspcimdv 2970 . 2  |-  ( ph  ->  ( A. s  e. 
~P  X A. y  e.  X  A. z  e.  ( ( N `  ( s  u.  {
y } ) ) 
\  ( N `  s ) ) y  e.  ( N `  ( s  u.  {
z } ) )  ->  Y  e.  ( N `  ( S  u.  { Z }
) ) ) )
321, 31mpd 14 1  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( N `
 ( S  u.  { Z } ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1647    e. wcel 1715   A.wral 2628    \ cdif 3235    u. cun 3236    C_ wss 3238   ~Pcpw 3714   {csn 3729   ` cfv 5358
This theorem is referenced by:  mreexmrid  13755
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1551  ax-5 1562  ax-17 1621  ax-9 1659  ax-8 1680  ax-6 1734  ax-7 1739  ax-11 1751  ax-12 1937  ax-ext 2347  ax-sep 4243
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 937  df-tru 1324  df-ex 1547  df-nf 1550  df-sb 1654  df-clab 2353  df-cleq 2359  df-clel 2362  df-nfc 2491  df-ral 2633  df-rex 2634  df-rab 2637  df-v 2875  df-dif 3241  df-un 3243  df-in 3245  df-ss 3252  df-nul 3544  df-if 3655  df-pw 3716  df-sn 3735  df-pr 3736  df-op 3738  df-uni 3930  df-br 4126  df-iota 5322  df-fv 5366
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