Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mreexdomd Structured version   Unicode version

Theorem mreexdomd 13875
 Description: In a Moore system whose closure operator has the exchange property, if is independent and contained in the closure of , and either or is finite, then dominates . This is an immediate consequence of mreexexd 13874. (Contributed by David Moews, 1-May-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
mreexdomd.1 Moore
mreexdomd.2 mrCls
mreexdomd.3 mrInd
mreexdomd.4
mreexdomd.5
mreexdomd.6
mreexdomd.7
mreexdomd.8
Assertion
Ref Expression
mreexdomd
Distinct variable groups:   ,,,   ,,,   ,,,   ,,,
Allowed substitution hints:   (,,)   (,,)   (,,)

Proof of Theorem mreexdomd
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mreexdomd.1 . . 3 Moore
2 mreexdomd.2 . . 3 mrCls
3 mreexdomd.3 . . 3 mrInd
4 mreexdomd.4 . . 3
5 mreexdomd.8 . . . . 5
63, 1, 5mrissd 13862 . . . 4
7 dif0 3699 . . . 4
86, 7syl6sseqr 3396 . . 3
9 mreexdomd.6 . . . 4
109, 7syl6sseqr 3396 . . 3
11 mreexdomd.5 . . . 4
12 un0 3653 . . . . 5
1312fveq2i 5732 . . . 4
1411, 13syl6sseqr 3396 . . 3
15 un0 3653 . . . 4
1615, 5syl5eqel 2521 . . 3
17 mreexdomd.7 . . 3
181, 2, 3, 4, 8, 10, 14, 16, 17mreexexd 13874 . 2
19 simprrl 742 . . 3
20 simprl 734 . . . . 5
2120elpwid 3809 . . . 4
221elfvexd 5760 . . . . . . 7
2322, 9ssexd 4351 . . . . . 6
24 ssdomg 7154 . . . . . 6
2523, 24syl 16 . . . . 5
2625adantr 453 . . . 4
2721, 26mpd 15 . . 3
28 endomtr 7166 . . 3
2919, 27, 28syl2anc 644 . 2
3018, 29rexlimddv 2835 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wo 359   wa 360   wceq 1653   wcel 1726  wral 2706  cvv 2957   cdif 3318   cun 3319   wss 3321  c0 3629  cpw 3800  csn 3815   class class class wbr 4213  cfv 5455   cen 7107   cdom 7108  cfn 7110  Moorecmre 13808  mrClscmrc 13809  mrIndcmri 13810 This theorem is referenced by:  mreexfidimd  13876 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418  ax-rep 4321  ax-sep 4331  ax-nul 4339  ax-pow 4378  ax-pr 4404  ax-un 4702  ax-ac2 8344 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-ral 2711  df-rex 2712  df-reu 2713  df-rmo 2714  df-rab 2715  df-v 2959  df-sbc 3163  df-csb 3253  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-pss 3337  df-nul 3630  df-if 3741  df-pw 3802  df-sn 3821  df-pr 3822  df-tp 3823  df-op 3824  df-uni 4017  df-int 4052  df-iun 4096  df-br 4214  df-opab 4268  df-mpt 4269  df-tr 4304  df-eprel 4495  df-id 4499  df-po 4504  df-so 4505  df-fr 4542  df-se 4543  df-we 4544  df-ord 4585  df-on 4586  df-lim 4587  df-suc 4588  df-om 4847  df-xp 4885  df-rel 4886  df-cnv 4887  df-co 4888  df-dm 4889  df-rn 4890  df-res 4891  df-ima 4892  df-iota 5419  df-fun 5457  df-fn 5458  df-f 5459  df-f1 5460  df-fo 5461  df-f1o 5462  df-fv 5463  df-isom 5464  df-riota 6550  df-recs 6634  df-1o 6725  df-er 6906  df-en 7111  df-dom 7112  df-sdom 7113  df-fin 7114  df-card 7827  df-ac 7998  df-mre 13812  df-mrc 13813  df-mri 13814
 Copyright terms: Public domain W3C validator