Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mreexexd Structured version   Unicode version

Theorem mreexexd 13865
 Description: Exchange-type theorem. In a Moore system whose closure operator has the exchange property, if and are disjoint from , is independent, is contained in the closure of , and either or is finite, then there is a subset of equinumerous to such that is independent. This implies the case of Proposition 4.2.1 in [FaureFrolicher] p. 86 where either or is finite. The theorem is proven by induction using mreexexlem3d 13863 for the base case and mreexexlem4d 13864 for the induction step. (Contributed by David Moews, 1-May-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
mreexexlem2d.1 Moore
mreexexlem2d.2 mrCls
mreexexlem2d.3 mrInd
mreexexlem2d.4
mreexexlem2d.5
mreexexlem2d.6
mreexexlem2d.7
mreexexlem2d.8
mreexexd.9
Assertion
Ref Expression
mreexexd
Distinct variable groups:   ,   ,   ,,,   ,,,   ,,,   ,,,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   (,,,)   (,,)   (,,)   (,,)   ()   ()

Proof of Theorem mreexexd
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mreexexlem2d.1 . . 3 Moore
21elfvexd 5751 . 2
3 mreexexlem2d.5 . 2
4 mreexexlem2d.6 . 2
5 mreexexlem2d.7 . 2
6 mreexexlem2d.8 . 2
7 cardon 7823 . . . . 5
87onordi 4678 . . . 4
9 cardon 7823 . . . . 5
109onordi 4678 . . . 4
11 ordtri2or3 4671 . . . 4
128, 10, 11mp2an 654 . . 3
133difss2d 3469 . . . . . . . 8
142, 13ssexd 4342 . . . . . . 7
1514cardidd 8416 . . . . . 6
1615ensymd 7150 . . . . 5
17 breq2 4208 . . . . 5
1816, 17syl5ibcom 212 . . . 4
194difss2d 3469 . . . . . . . 8
202, 19ssexd 4342 . . . . . . 7
2120cardidd 8416 . . . . . 6
2221ensymd 7150 . . . . 5
23 breq2 4208 . . . . 5
2422, 23syl5ibcom 212 . . . 4
2518, 24orim12d 812 . . 3
2612, 25mpi 17 . 2
27 mreexexd.9 . . . . 5
28 ficardom 7840 . . . . . 6
29 ficardom 7840 . . . . . 6
3028, 29orim12i 503 . . . . 5
3127, 30syl 16 . . . 4
32 ordom 4846 . . . . 5
33 ordelinel 4672 . . . . 5
348, 10, 32, 33mp3an 1279 . . . 4
3531, 34sylibr 204 . . 3
36 breq2 4208 . . . . . . . . . 10
37 breq2 4208 . . . . . . . . . 10
3836, 37orbi12d 691 . . . . . . . . 9
39383anbi1d 1258 . . . . . . . 8
4039imbi1d 309 . . . . . . 7
41402ralbidv 2739 . . . . . 6
4241albidv 1635 . . . . 5
4342imbi2d 308 . . . 4
44 breq2 4208 . . . . . . . . . 10
45 breq2 4208 . . . . . . . . . 10
4644, 45orbi12d 691 . . . . . . . . 9
47463anbi1d 1258 . . . . . . . 8
4847imbi1d 309 . . . . . . 7
49482ralbidv 2739 . . . . . 6
5049albidv 1635 . . . . 5
5150imbi2d 308 . . . 4
52 breq2 4208 . . . . . . . . . 10
53 breq2 4208 . . . . . . . . . 10
5452, 53orbi12d 691 . . . . . . . . 9
55543anbi1d 1258 . . . . . . . 8
5655imbi1d 309 . . . . . . 7
57562ralbidv 2739 . . . . . 6
5857albidv 1635 . . . . 5
5958imbi2d 308 . . . 4
60 breq2 4208 . . . . . . . . . 10
61 breq2 4208 . . . . . . . . . 10
6260, 61orbi12d 691 . . . . . . . . 9
63623anbi1d 1258 . . . . . . . 8
6463imbi1d 309 . . . . . . 7
65642ralbidv 2739 . . . . . 6
6665albidv 1635 . . . . 5
6766imbi2d 308 . . . 4
681ad2antrr 707 . . . . . . . 8 Moore
69 mreexexlem2d.2 . . . . . . . 8 mrCls
70 mreexexlem2d.3 . . . . . . . 8 mrInd
71 mreexexlem2d.4 . . . . . . . . 9
7271ad2antrr 707 . . . . . . . 8
73 simplrl 737 . . . . . . . . 9
7473elpwid 3800 . . . . . . . 8
75 simplrr 738 . . . . . . . . 9
7675elpwid 3800 . . . . . . . 8
77 simpr2 964 . . . . . . . 8
78 simpr3 965 . . . . . . . 8
79 simpr1 963 . . . . . . . . 9
80 en0 7162 . . . . . . . . . 10
81 en0 7162 . . . . . . . . . 10
8280, 81orbi12i 508 . . . . . . . . 9
8379, 82sylib 189 . . . . . . . 8
8468, 69, 70, 72, 74, 76, 77, 78, 83mreexexlem3d 13863 . . . . . . 7
8584ex 424 . . . . . 6
8685ralrimivva 2790 . . . . 5
8786alrimiv 1641 . . . 4
88 nfv 1629 . . . . . . . . 9
89 nfv 1629 . . . . . . . . 9
90 nfa1 1806 . . . . . . . . 9
9188, 89, 90nf3an 1849 . . . . . . . 8
92 nfv 1629 . . . . . . . . . 10
93 nfv 1629 . . . . . . . . . 10
94 nfra1 2748 . . . . . . . . . . 11
9594nfal 1864 . . . . . . . . . 10
9692, 93, 95nf3an 1849 . . . . . . . . 9
97 nfv 1629 . . . . . . . . . . . . 13
98 nfv 1629 . . . . . . . . . . . . 13
99 nfra2 2752 . . . . . . . . . . . . . 14
10099nfal 1864 . . . . . . . . . . . . 13
10197, 98, 100nf3an 1849 . . . . . . . . . . . 12
102 nfv 1629 . . . . . . . . . . . 12
103101, 102nfan 1846 . . . . . . . . . . 11
10413ad2ant1 978 . . . . . . . . . . . . . . 15 Moore
105104ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . 14 Moore
106713ad2ant1 978 . . . . . . . . . . . . . . 15
107106ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . 14
108 simplrl 737 . . . . . . . . . . . . . . 15
109108elpwid 3800 . . . . . . . . . . . . . 14
110 simplrr 738 . . . . . . . . . . . . . . 15
111110elpwid 3800 . . . . . . . . . . . . . 14
112 simpr2 964 . . . . . . . . . . . . . 14
113 simpr3 965 . . . . . . . . . . . . . 14
114 simpll2 997 . . . . . . . . . . . . . 14
115 simpll3 998 . . . . . . . . . . . . . 14
116 simpr1 963 . . . . . . . . . . . . . 14
117105, 69, 70, 107, 109, 111, 112, 113, 114, 115, 116mreexexlem4d 13864 . . . . . . . . . . . . 13
118117ex 424 . . . . . . . . . . . 12
119118expr 599 . . . . . . . . . . 11
120103, 119ralrimi 2779 . . . . . . . . . 10
121120ex 424 . . . . . . . . 9
12296, 121ralrimi 2779 . . . . . . . 8
12391, 122alrimi 1781 . . . . . . 7
1241233exp 1152 . . . . . 6
125124com12 29 . . . . 5
126125a2d 24 . . . 4
12743, 51, 59, 67, 87, 126finds 4863 . . 3
12835, 127mpcom 34 . 2
1292, 3, 4, 5, 6, 26, 128mreexexlemd 13861 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wo 358   wa 359   w3a 936  wal 1549   wceq 1652   wcel 1725  wral 2697  wrex 2698  cvv 2948   cdif 3309   cun 3310   cin 3311   wss 3312  c0 3620  cpw 3791  csn 3806   class class class wbr 4204   word 4572   csuc 4575  com 4837  cfv 5446   cen 7098  cfn 7101  ccrd 7814  Moorecmre 13799  mrClscmrc 13800  mrIndcmri 13801 This theorem is referenced by:  mreexdomd  13866 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-ac2 8335 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-riota 6541  df-recs 6625  df-1o 6716  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-card 7818  df-ac 7989  df-mre 13803  df-mrc 13804  df-mri 13805
 Copyright terms: Public domain W3C validator