MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mreexexd Unicode version

Theorem mreexexd 13793
Description: Exchange-type theorem. In a Moore system whose closure operator has the exchange property, if  F and  G are disjoint from  H,  ( F  u.  H ) is independent,  F is contained in the closure of  ( G  u.  H ), and either  F or  G is finite, then there is a subset  q of  G equinumerous to  F such that  ( q  u.  H ) is independent. This implies the case of Proposition 4.2.1 in [FaureFrolicher] p. 86 where either  ( A  \  B ) or  ( B  \  A ) is finite. The theorem is proven by induction using mreexexlem3d 13791 for the base case and mreexexlem4d 13792 for the induction step. (Contributed by David Moews, 1-May-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
mreexexlem2d.1  |-  ( ph  ->  A  e.  (Moore `  X ) )
mreexexlem2d.2  |-  N  =  (mrCls `  A )
mreexexlem2d.3  |-  I  =  (mrInd `  A )
mreexexlem2d.4  |-  ( ph  ->  A. s  e.  ~P  X A. y  e.  X  A. z  e.  (
( N `  (
s  u.  { y } ) )  \ 
( N `  s
) ) y  e.  ( N `  (
s  u.  { z } ) ) )
mreexexlem2d.5  |-  ( ph  ->  F  C_  ( X  \  H ) )
mreexexlem2d.6  |-  ( ph  ->  G  C_  ( X  \  H ) )
mreexexlem2d.7  |-  ( ph  ->  F  C_  ( N `  ( G  u.  H
) ) )
mreexexlem2d.8  |-  ( ph  ->  ( F  u.  H
)  e.  I )
mreexexd.9  |-  ( ph  ->  ( F  e.  Fin  \/  G  e.  Fin )
)
Assertion
Ref Expression
mreexexd  |-  ( ph  ->  E. q  e.  ~P  G ( F  ~~  q  /\  ( q  u.  H )  e.  I
) )
Distinct variable groups:    F, q    G, q    X, s, y, z    ph, s, y, z    I,
s, y, z    N, s, y, z    ph, q    I, q    H, q
Allowed substitution hints:    A( y, z, s, q)    F( y, z, s)    G( y, z, s)    H( y, z, s)    N( q)    X( q)

Proof of Theorem mreexexd
Dummy variables  f 
g  h  l  k  i are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mreexexlem2d.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  (Moore `  X ) )
21elfvexd 5692 . 2  |-  ( ph  ->  X  e.  _V )
3 mreexexlem2d.5 . 2  |-  ( ph  ->  F  C_  ( X  \  H ) )
4 mreexexlem2d.6 . 2  |-  ( ph  ->  G  C_  ( X  \  H ) )
5 mreexexlem2d.7 . 2  |-  ( ph  ->  F  C_  ( N `  ( G  u.  H
) ) )
6 mreexexlem2d.8 . 2  |-  ( ph  ->  ( F  u.  H
)  e.  I )
7 cardon 7757 . . . . 5  |-  ( card `  F )  e.  On
87onordi 4619 . . . 4  |-  Ord  ( card `  F )
9 cardon 7757 . . . . 5  |-  ( card `  G )  e.  On
109onordi 4619 . . . 4  |-  Ord  ( card `  G )
11 ordtri2or3 4612 . . . 4  |-  ( ( Ord  ( card `  F
)  /\  Ord  ( card `  G ) )  -> 
( ( card `  F
)  =  ( (
card `  F )  i^i  ( card `  G
) )  \/  ( card `  G )  =  ( ( card `  F
)  i^i  ( card `  G ) ) ) )
128, 10, 11mp2an 654 . . 3  |-  ( (
card `  F )  =  ( ( card `  F )  i^i  ( card `  G ) )  \/  ( card `  G
)  =  ( (
card `  F )  i^i  ( card `  G
) ) )
133difss2d 3413 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F  C_  X )
142, 13ssexd 4284 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F  e.  _V )
1514cardidd 8350 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( card `  F
)  ~~  F )
1615ensymd 7087 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F  ~~  ( card `  F ) )
17 breq2 4150 . . . . 5  |-  ( (
card `  F )  =  ( ( card `  F )  i^i  ( card `  G ) )  ->  ( F  ~~  ( card `  F )  <->  F 
~~  ( ( card `  F )  i^i  ( card `  G ) ) ) )
1816, 17syl5ibcom 212 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( card `  F
)  =  ( (
card `  F )  i^i  ( card `  G
) )  ->  F  ~~  ( ( card `  F
)  i^i  ( card `  G ) ) ) )
194difss2d 3413 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  G  C_  X )
202, 19ssexd 4284 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  G  e.  _V )
2120cardidd 8350 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( card `  G
)  ~~  G )
2221ensymd 7087 . . . . 5  |-  ( ph  ->  G  ~~  ( card `  G ) )
23 breq2 4150 . . . . 5  |-  ( (
card `  G )  =  ( ( card `  F )  i^i  ( card `  G ) )  ->  ( G  ~~  ( card `  G )  <->  G 
~~  ( ( card `  F )  i^i  ( card `  G ) ) ) )
2422, 23syl5ibcom 212 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( card `  G
)  =  ( (
card `  F )  i^i  ( card `  G
) )  ->  G  ~~  ( ( card `  F
)  i^i  ( card `  G ) ) ) )
2518, 24orim12d 812 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( card `  F )  =  ( ( card `  F
)  i^i  ( card `  G ) )  \/  ( card `  G
)  =  ( (
card `  F )  i^i  ( card `  G
) ) )  -> 
( F  ~~  (
( card `  F )  i^i  ( card `  G
) )  \/  G  ~~  ( ( card `  F
)  i^i  ( card `  G ) ) ) ) )
2612, 25mpi 17 . 2  |-  ( ph  ->  ( F  ~~  (
( card `  F )  i^i  ( card `  G
) )  \/  G  ~~  ( ( card `  F
)  i^i  ( card `  G ) ) ) )
27 mreexexd.9 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F  e.  Fin  \/  G  e.  Fin )
)
28 ficardom 7774 . . . . . 6  |-  ( F  e.  Fin  ->  ( card `  F )  e. 
om )
29 ficardom 7774 . . . . . 6  |-  ( G  e.  Fin  ->  ( card `  G )  e. 
om )
3028, 29orim12i 503 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  Fin  \/  G  e.  Fin )  ->  ( ( card `  F
)  e.  om  \/  ( card `  G )  e.  om ) )
3127, 30syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( card `  F
)  e.  om  \/  ( card `  G )  e.  om ) )
32 ordom 4787 . . . . 5  |-  Ord  om
33 ordelinel 4613 . . . . 5  |-  ( ( Ord  ( card `  F
)  /\  Ord  ( card `  G )  /\  Ord  om )  ->  ( (
( card `  F )  i^i  ( card `  G
) )  e.  om  <->  ( ( card `  F
)  e.  om  \/  ( card `  G )  e.  om ) ) )
348, 10, 32, 33mp3an 1279 . . . 4  |-  ( ( ( card `  F
)  i^i  ( card `  G ) )  e. 
om 
<->  ( ( card `  F
)  e.  om  \/  ( card `  G )  e.  om ) )
3531, 34sylibr 204 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( card `  F
)  i^i  ( card `  G ) )  e. 
om )
36 breq2 4150 . . . . . . . . . 10  |-  ( l  =  (/)  ->  ( f 
~~  l  <->  f  ~~  (/) ) )
37 breq2 4150 . . . . . . . . . 10  |-  ( l  =  (/)  ->  ( g 
~~  l  <->  g  ~~  (/) ) )
3836, 37orbi12d 691 . . . . . . . . 9  |-  ( l  =  (/)  ->  ( ( f  ~~  l  \/  g  ~~  l )  <-> 
( f  ~~  (/)  \/  g  ~~  (/) ) ) )
39383anbi1d 1258 . . . . . . . 8  |-  ( l  =  (/)  ->  ( ( ( f  ~~  l  \/  g  ~~  l )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h
)  e.  I )  <-> 
( ( f  ~~  (/) 
\/  g  ~~  (/) )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h
) )  /\  (
f  u.  h )  e.  I ) ) )
4039imbi1d 309 . . . . . . 7  |-  ( l  =  (/)  ->  ( ( ( ( f  ~~  l  \/  g  ~~  l )  /\  f  C_  ( N `  (
g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h )  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f 
~~  i  /\  (
i  u.  h )  e.  I ) )  <-> 
( ( ( f 
~~  (/)  \/  g  ~~  (/) )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h )  e.  I
)  ->  E. i  e.  ~P  g ( f 
~~  i  /\  (
i  u.  h )  e.  I ) ) ) )
41402ralbidv 2684 . . . . . 6  |-  ( l  =  (/)  ->  ( A. f  e.  ~P  ( X  \  h ) A. g  e.  ~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  l  \/  g  ~~  l )  /\  f  C_  ( N `  (
g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h )  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f 
~~  i  /\  (
i  u.  h )  e.  I ) )  <->  A. f  e.  ~P  ( X  \  h
) A. g  e. 
~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  (/)  \/  g  ~~  (/) )  /\  f  C_  ( N `  (
g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h )  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f 
~~  i  /\  (
i  u.  h )  e.  I ) ) ) )
4241albidv 1632 . . . . 5  |-  ( l  =  (/)  ->  ( A. h A. f  e.  ~P  ( X  \  h
) A. g  e. 
~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  l  \/  g  ~~  l )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h
)  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f  ~~  i  /\  ( i  u.  h )  e.  I
) )  <->  A. h A. f  e.  ~P  ( X  \  h
) A. g  e. 
~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  (/)  \/  g  ~~  (/) )  /\  f  C_  ( N `  (
g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h )  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f 
~~  i  /\  (
i  u.  h )  e.  I ) ) ) )
4342imbi2d 308 . . . 4  |-  ( l  =  (/)  ->  ( (
ph  ->  A. h A. f  e.  ~P  ( X  \  h ) A. g  e.  ~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  l  \/  g  ~~  l )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h
)  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f  ~~  i  /\  ( i  u.  h )  e.  I
) ) )  <->  ( ph  ->  A. h A. f  e.  ~P  ( X  \  h ) A. g  e.  ~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  (/)  \/  g  ~~  (/) )  /\  f  C_  ( N `  (
g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h )  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f 
~~  i  /\  (
i  u.  h )  e.  I ) ) ) ) )
44 breq2 4150 . . . . . . . . . 10  |-  ( l  =  k  ->  (
f  ~~  l  <->  f  ~~  k ) )
45 breq2 4150 . . . . . . . . . 10  |-  ( l  =  k  ->  (
g  ~~  l  <->  g  ~~  k ) )
4644, 45orbi12d 691 . . . . . . . . 9  |-  ( l  =  k  ->  (
( f  ~~  l  \/  g  ~~  l )  <-> 
( f  ~~  k  \/  g  ~~  k ) ) )
47463anbi1d 1258 . . . . . . . 8  |-  ( l  =  k  ->  (
( ( f  ~~  l  \/  g  ~~  l )  /\  f  C_  ( N `  (
g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h )  e.  I )  <->  ( (
f  ~~  k  \/  g  ~~  k )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h
) )  /\  (
f  u.  h )  e.  I ) ) )
4847imbi1d 309 . . . . . . 7  |-  ( l  =  k  ->  (
( ( ( f 
~~  l  \/  g  ~~  l )  /\  f  C_  ( N `  (
g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h )  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f 
~~  i  /\  (
i  u.  h )  e.  I ) )  <-> 
( ( ( f 
~~  k  \/  g  ~~  k )  /\  f  C_  ( N `  (
g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h )  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f 
~~  i  /\  (
i  u.  h )  e.  I ) ) ) )
49482ralbidv 2684 . . . . . 6  |-  ( l  =  k  ->  ( A. f  e.  ~P  ( X  \  h
) A. g  e. 
~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  l  \/  g  ~~  l )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h
)  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f  ~~  i  /\  ( i  u.  h )  e.  I
) )  <->  A. f  e.  ~P  ( X  \  h ) A. g  e.  ~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  k  \/  g  ~~  k )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h
)  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f  ~~  i  /\  ( i  u.  h )  e.  I
) ) ) )
5049albidv 1632 . . . . 5  |-  ( l  =  k  ->  ( A. h A. f  e. 
~P  ( X  \  h ) A. g  e.  ~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  l  \/  g  ~~  l )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h
)  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f  ~~  i  /\  ( i  u.  h )  e.  I
) )  <->  A. h A. f  e.  ~P  ( X  \  h
) A. g  e. 
~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  k  \/  g  ~~  k )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h
)  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f  ~~  i  /\  ( i  u.  h )  e.  I
) ) ) )
5150imbi2d 308 . . . 4  |-  ( l  =  k  ->  (
( ph  ->  A. h A. f  e.  ~P  ( X  \  h
) A. g  e. 
~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  l  \/  g  ~~  l )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h
)  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f  ~~  i  /\  ( i  u.  h )  e.  I
) ) )  <->  ( ph  ->  A. h A. f  e.  ~P  ( X  \  h ) A. g  e.  ~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  k  \/  g  ~~  k )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h
)  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f  ~~  i  /\  ( i  u.  h )  e.  I
) ) ) ) )
52 breq2 4150 . . . . . . . . . 10  |-  ( l  =  suc  k  -> 
( f  ~~  l  <->  f 
~~  suc  k )
)
53 breq2 4150 . . . . . . . . . 10  |-  ( l  =  suc  k  -> 
( g  ~~  l  <->  g 
~~  suc  k )
)
5452, 53orbi12d 691 . . . . . . . . 9  |-  ( l  =  suc  k  -> 
( ( f  ~~  l  \/  g  ~~  l )  <->  ( f  ~~  suc  k  \/  g  ~~  suc  k ) ) )
55543anbi1d 1258 . . . . . . . 8  |-  ( l  =  suc  k  -> 
( ( ( f 
~~  l  \/  g  ~~  l )  /\  f  C_  ( N `  (
g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h )  e.  I )  <->  ( (
f  ~~  suc  k  \/  g  ~~  suc  k
)  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h )  e.  I
) ) )
5655imbi1d 309 . . . . . . 7  |-  ( l  =  suc  k  -> 
( ( ( ( f  ~~  l  \/  g  ~~  l )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h
)  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f  ~~  i  /\  ( i  u.  h )  e.  I
) )  <->  ( (
( f  ~~  suc  k  \/  g  ~~  suc  k )  /\  f  C_  ( N `  (
g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h )  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f 
~~  i  /\  (
i  u.  h )  e.  I ) ) ) )
57562ralbidv 2684 . . . . . 6  |-  ( l  =  suc  k  -> 
( A. f  e. 
~P  ( X  \  h ) A. g  e.  ~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  l  \/  g  ~~  l )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h
)  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f  ~~  i  /\  ( i  u.  h )  e.  I
) )  <->  A. f  e.  ~P  ( X  \  h ) A. g  e.  ~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  suc  k  \/  g  ~~  suc  k )  /\  f  C_  ( N `  (
g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h )  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f 
~~  i  /\  (
i  u.  h )  e.  I ) ) ) )
5857albidv 1632 . . . . 5  |-  ( l  =  suc  k  -> 
( A. h A. f  e.  ~P  ( X  \  h ) A. g  e.  ~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  l  \/  g  ~~  l )  /\  f  C_  ( N `  (
g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h )  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f 
~~  i  /\  (
i  u.  h )  e.  I ) )  <->  A. h A. f  e. 
~P  ( X  \  h ) A. g  e.  ~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  suc  k  \/  g  ~~  suc  k )  /\  f  C_  ( N `  (
g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h )  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f 
~~  i  /\  (
i  u.  h )  e.  I ) ) ) )
5958imbi2d 308 . . . 4  |-  ( l  =  suc  k  -> 
( ( ph  ->  A. h A. f  e. 
~P  ( X  \  h ) A. g  e.  ~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  l  \/  g  ~~  l )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h
)  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f  ~~  i  /\  ( i  u.  h )  e.  I
) ) )  <->  ( ph  ->  A. h A. f  e.  ~P  ( X  \  h ) A. g  e.  ~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  suc  k  \/  g  ~~  suc  k )  /\  f  C_  ( N `  (
g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h )  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f 
~~  i  /\  (
i  u.  h )  e.  I ) ) ) ) )
60 breq2 4150 . . . . . . . . . 10  |-  ( l  =  ( ( card `  F )  i^i  ( card `  G ) )  ->  ( f  ~~  l 
<->  f  ~~  ( (
card `  F )  i^i  ( card `  G
) ) ) )
61 breq2 4150 . . . . . . . . . 10  |-  ( l  =  ( ( card `  F )  i^i  ( card `  G ) )  ->  ( g  ~~  l 
<->  g  ~~  ( (
card `  F )  i^i  ( card `  G
) ) ) )
6260, 61orbi12d 691 . . . . . . . . 9  |-  ( l  =  ( ( card `  F )  i^i  ( card `  G ) )  ->  ( ( f 
~~  l  \/  g  ~~  l )  <->  ( f  ~~  ( ( card `  F
)  i^i  ( card `  G ) )  \/  g  ~~  ( (
card `  F )  i^i  ( card `  G
) ) ) ) )
63623anbi1d 1258 . . . . . . . 8  |-  ( l  =  ( ( card `  F )  i^i  ( card `  G ) )  ->  ( ( ( f  ~~  l  \/  g  ~~  l )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h
)  e.  I )  <-> 
( ( f  ~~  ( ( card `  F
)  i^i  ( card `  G ) )  \/  g  ~~  ( (
card `  F )  i^i  ( card `  G
) ) )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h
) )  /\  (
f  u.  h )  e.  I ) ) )
6463imbi1d 309 . . . . . . 7  |-  ( l  =  ( ( card `  F )  i^i  ( card `  G ) )  ->  ( ( ( ( f  ~~  l  \/  g  ~~  l )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h
)  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f  ~~  i  /\  ( i  u.  h )  e.  I
) )  <->  ( (
( f  ~~  (
( card `  F )  i^i  ( card `  G
) )  \/  g  ~~  ( ( card `  F
)  i^i  ( card `  G ) ) )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h
)  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f  ~~  i  /\  ( i  u.  h )  e.  I
) ) ) )
65642ralbidv 2684 . . . . . 6  |-  ( l  =  ( ( card `  F )  i^i  ( card `  G ) )  ->  ( A. f  e.  ~P  ( X  \  h ) A. g  e.  ~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  l  \/  g  ~~  l )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h
)  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f  ~~  i  /\  ( i  u.  h )  e.  I
) )  <->  A. f  e.  ~P  ( X  \  h ) A. g  e.  ~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  (
( card `  F )  i^i  ( card `  G
) )  \/  g  ~~  ( ( card `  F
)  i^i  ( card `  G ) ) )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h
)  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f  ~~  i  /\  ( i  u.  h )  e.  I
) ) ) )
6665albidv 1632 . . . . 5  |-  ( l  =  ( ( card `  F )  i^i  ( card `  G ) )  ->  ( A. h A. f  e.  ~P  ( X  \  h
) A. g  e. 
~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  l  \/  g  ~~  l )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h
)  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f  ~~  i  /\  ( i  u.  h )  e.  I
) )  <->  A. h A. f  e.  ~P  ( X  \  h
) A. g  e. 
~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  (
( card `  F )  i^i  ( card `  G
) )  \/  g  ~~  ( ( card `  F
)  i^i  ( card `  G ) ) )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h
)  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f  ~~  i  /\  ( i  u.  h )  e.  I
) ) ) )
6766imbi2d 308 . . . 4  |-  ( l  =  ( ( card `  F )  i^i  ( card `  G ) )  ->  ( ( ph  ->  A. h A. f  e.  ~P  ( X  \  h ) A. g  e.  ~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  l  \/  g  ~~  l )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h
)  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f  ~~  i  /\  ( i  u.  h )  e.  I
) ) )  <->  ( ph  ->  A. h A. f  e.  ~P  ( X  \  h ) A. g  e.  ~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  (
( card `  F )  i^i  ( card `  G
) )  \/  g  ~~  ( ( card `  F
)  i^i  ( card `  G ) ) )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h
)  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f  ~~  i  /\  ( i  u.  h )  e.  I
) ) ) ) )
681ad2antrr 707 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  ~P ( X  \  h )  /\  g  e.  ~P ( X  \  h ) ) )  /\  ( ( f  ~~  (/)  \/  g  ~~  (/) )  /\  f  C_  ( N `  (
g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h )  e.  I ) )  ->  A  e.  (Moore `  X
) )
69 mreexexlem2d.2 . . . . . . . 8  |-  N  =  (mrCls `  A )
70 mreexexlem2d.3 . . . . . . . 8  |-  I  =  (mrInd `  A )
71 mreexexlem2d.4 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. s  e.  ~P  X A. y  e.  X  A. z  e.  (
( N `  (
s  u.  { y } ) )  \ 
( N `  s
) ) y  e.  ( N `  (
s  u.  { z } ) ) )
7271ad2antrr 707 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  ~P ( X  \  h )  /\  g  e.  ~P ( X  \  h ) ) )  /\  ( ( f  ~~  (/)  \/  g  ~~  (/) )  /\  f  C_  ( N `  (
g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h )  e.  I ) )  ->  A. s  e.  ~P  X A. y  e.  X  A. z  e.  (
( N `  (
s  u.  { y } ) )  \ 
( N `  s
) ) y  e.  ( N `  (
s  u.  { z } ) ) )
73 simplrl 737 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  ~P ( X  \  h )  /\  g  e.  ~P ( X  \  h ) ) )  /\  ( ( f  ~~  (/)  \/  g  ~~  (/) )  /\  f  C_  ( N `  (
g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h )  e.  I ) )  -> 
f  e.  ~P ( X  \  h ) )
7473elpwid 3744 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  ~P ( X  \  h )  /\  g  e.  ~P ( X  \  h ) ) )  /\  ( ( f  ~~  (/)  \/  g  ~~  (/) )  /\  f  C_  ( N `  (
g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h )  e.  I ) )  -> 
f  C_  ( X  \  h ) )
75 simplrr 738 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  ~P ( X  \  h )  /\  g  e.  ~P ( X  \  h ) ) )  /\  ( ( f  ~~  (/)  \/  g  ~~  (/) )  /\  f  C_  ( N `  (
g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h )  e.  I ) )  -> 
g  e.  ~P ( X  \  h ) )
7675elpwid 3744 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  ~P ( X  \  h )  /\  g  e.  ~P ( X  \  h ) ) )  /\  ( ( f  ~~  (/)  \/  g  ~~  (/) )  /\  f  C_  ( N `  (
g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h )  e.  I ) )  -> 
g  C_  ( X  \  h ) )
77 simpr2 964 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  ~P ( X  \  h )  /\  g  e.  ~P ( X  \  h ) ) )  /\  ( ( f  ~~  (/)  \/  g  ~~  (/) )  /\  f  C_  ( N `  (
g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h )  e.  I ) )  -> 
f  C_  ( N `  ( g  u.  h
) ) )
78 simpr3 965 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  ~P ( X  \  h )  /\  g  e.  ~P ( X  \  h ) ) )  /\  ( ( f  ~~  (/)  \/  g  ~~  (/) )  /\  f  C_  ( N `  (
g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h )  e.  I ) )  -> 
( f  u.  h
)  e.  I )
79 simpr1 963 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  ~P ( X  \  h )  /\  g  e.  ~P ( X  \  h ) ) )  /\  ( ( f  ~~  (/)  \/  g  ~~  (/) )  /\  f  C_  ( N `  (
g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h )  e.  I ) )  -> 
( f  ~~  (/)  \/  g  ~~  (/) ) )
80 en0 7099 . . . . . . . . . 10  |-  ( f 
~~  (/)  <->  f  =  (/) )
81 en0 7099 . . . . . . . . . 10  |-  ( g 
~~  (/)  <->  g  =  (/) )
8280, 81orbi12i 508 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f  ~~  (/)  \/  g  ~~  (/) )  <->  ( f  =  (/)  \/  g  =  (/) ) )
8379, 82sylib 189 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  ~P ( X  \  h )  /\  g  e.  ~P ( X  \  h ) ) )  /\  ( ( f  ~~  (/)  \/  g  ~~  (/) )  /\  f  C_  ( N `  (
g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h )  e.  I ) )  -> 
( f  =  (/)  \/  g  =  (/) ) )
8468, 69, 70, 72, 74, 76, 77, 78, 83mreexexlem3d 13791 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  ~P ( X  \  h )  /\  g  e.  ~P ( X  \  h ) ) )  /\  ( ( f  ~~  (/)  \/  g  ~~  (/) )  /\  f  C_  ( N `  (
g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h )  e.  I ) )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f  ~~  i  /\  ( i  u.  h )  e.  I
) )
8584ex 424 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  ~P ( X  \  h )  /\  g  e.  ~P ( X  \  h ) ) )  ->  ( ( ( f  ~~  (/)  \/  g  ~~  (/) )  /\  f  C_  ( N `  (
g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h )  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f 
~~  i  /\  (
i  u.  h )  e.  I ) ) )
8685ralrimivva 2734 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. f  e.  ~P  ( X  \  h
) A. g  e. 
~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  (/)  \/  g  ~~  (/) )  /\  f  C_  ( N `  (
g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h )  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f 
~~  i  /\  (
i  u.  h )  e.  I ) ) )
8786alrimiv 1638 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. h A. f  e.  ~P  ( X  \  h ) A. g  e.  ~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  (/)  \/  g  ~~  (/) )  /\  f  C_  ( N `  (
g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h )  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f 
~~  i  /\  (
i  u.  h )  e.  I ) ) )
88 nfv 1626 . . . . . . . . 9  |-  F/ h ph
89 nfv 1626 . . . . . . . . 9  |-  F/ h  k  e.  om
90 nfa1 1796 . . . . . . . . 9  |-  F/ h A. h A. f  e. 
~P  ( X  \  h ) A. g  e.  ~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  k  \/  g  ~~  k )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h
)  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f  ~~  i  /\  ( i  u.  h )  e.  I
) )
9188, 89, 90nf3an 1839 . . . . . . . 8  |-  F/ h
( ph  /\  k  e.  om  /\  A. h A. f  e.  ~P  ( X  \  h
) A. g  e. 
~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  k  \/  g  ~~  k )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h
)  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f  ~~  i  /\  ( i  u.  h )  e.  I
) ) )
92 nfv 1626 . . . . . . . . . 10  |-  F/ f
ph
93 nfv 1626 . . . . . . . . . 10  |-  F/ f  k  e.  om
94 nfra1 2692 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ f A. f  e.  ~P  ( X  \  h
) A. g  e. 
~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  k  \/  g  ~~  k )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h
)  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f  ~~  i  /\  ( i  u.  h )  e.  I
) )
9594nfal 1854 . . . . . . . . . 10  |-  F/ f A. h A. f  e.  ~P  ( X  \  h ) A. g  e.  ~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  k  \/  g  ~~  k )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h
)  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f  ~~  i  /\  ( i  u.  h )  e.  I
) )
9692, 93, 95nf3an 1839 . . . . . . . . 9  |-  F/ f ( ph  /\  k  e.  om  /\  A. h A. f  e.  ~P  ( X  \  h
) A. g  e. 
~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  k  \/  g  ~~  k )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h
)  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f  ~~  i  /\  ( i  u.  h )  e.  I
) ) )
97 nfv 1626 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ g
ph
98 nfv 1626 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ g  k  e.  om
99 nfra2 2696 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ g A. f  e.  ~P  ( X  \  h
) A. g  e. 
~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  k  \/  g  ~~  k )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h
)  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f  ~~  i  /\  ( i  u.  h )  e.  I
) )
10099nfal 1854 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ g A. h A. f  e.  ~P  ( X  \  h ) A. g  e.  ~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  k  \/  g  ~~  k )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h
)  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f  ~~  i  /\  ( i  u.  h )  e.  I
) )
10197, 98, 100nf3an 1839 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ g ( ph  /\  k  e.  om  /\  A. h A. f  e.  ~P  ( X  \  h
) A. g  e. 
~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  k  \/  g  ~~  k )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h
)  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f  ~~  i  /\  ( i  u.  h )  e.  I
) ) )
102 nfv 1626 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ g  f  e.  ~P ( X  \  h )
103101, 102nfan 1836 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ g ( ( ph  /\  k  e.  om  /\  A. h A. f  e.  ~P  ( X  \  h
) A. g  e. 
~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  k  \/  g  ~~  k )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h
)  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f  ~~  i  /\  ( i  u.  h )  e.  I
) ) )  /\  f  e.  ~P ( X  \  h ) )
10413ad2ant1 978 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  om 
/\  A. h A. f  e.  ~P  ( X  \  h ) A. g  e.  ~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  k  \/  g  ~~  k )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h
)  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f  ~~  i  /\  ( i  u.  h )  e.  I
) ) )  ->  A  e.  (Moore `  X
) )
105104ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  om  /\  A. h A. f  e.  ~P  ( X  \  h
) A. g  e. 
~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  k  \/  g  ~~  k )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h
)  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f  ~~  i  /\  ( i  u.  h )  e.  I
) ) )  /\  ( f  e.  ~P ( X  \  h
)  /\  g  e.  ~P ( X  \  h
) ) )  /\  ( ( f  ~~  suc  k  \/  g  ~~  suc  k )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h
) )  /\  (
f  u.  h )  e.  I ) )  ->  A  e.  (Moore `  X ) )
106713ad2ant1 978 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  om 
/\  A. h A. f  e.  ~P  ( X  \  h ) A. g  e.  ~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  k  \/  g  ~~  k )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h
)  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f  ~~  i  /\  ( i  u.  h )  e.  I
) ) )  ->  A. s  e.  ~P  X A. y  e.  X  A. z  e.  (
( N `  (
s  u.  { y } ) )  \ 
( N `  s
) ) y  e.  ( N `  (
s  u.  { z } ) ) )
107106ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  om  /\  A. h A. f  e.  ~P  ( X  \  h
) A. g  e. 
~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  k  \/  g  ~~  k )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h
)  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f  ~~  i  /\  ( i  u.  h )  e.  I
) ) )  /\  ( f  e.  ~P ( X  \  h
)  /\  g  e.  ~P ( X  \  h
) ) )  /\  ( ( f  ~~  suc  k  \/  g  ~~  suc  k )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h
) )  /\  (
f  u.  h )  e.  I ) )  ->  A. s  e.  ~P  X A. y  e.  X  A. z  e.  (
( N `  (
s  u.  { y } ) )  \ 
( N `  s
) ) y  e.  ( N `  (
s  u.  { z } ) ) )
108 simplrl 737 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  om  /\  A. h A. f  e.  ~P  ( X  \  h
) A. g  e. 
~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  k  \/  g  ~~  k )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h
)  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f  ~~  i  /\  ( i  u.  h )  e.  I
) ) )  /\  ( f  e.  ~P ( X  \  h
)  /\  g  e.  ~P ( X  \  h
) ) )  /\  ( ( f  ~~  suc  k  \/  g  ~~  suc  k )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h
) )  /\  (
f  u.  h )  e.  I ) )  ->  f  e.  ~P ( X  \  h
) )
109108elpwid 3744 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  om  /\  A. h A. f  e.  ~P  ( X  \  h
) A. g  e. 
~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  k  \/  g  ~~  k )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h
)  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f  ~~  i  /\  ( i  u.  h )  e.  I
) ) )  /\  ( f  e.  ~P ( X  \  h
)  /\  g  e.  ~P ( X  \  h
) ) )  /\  ( ( f  ~~  suc  k  \/  g  ~~  suc  k )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h
) )  /\  (
f  u.  h )  e.  I ) )  ->  f  C_  ( X  \  h ) )
110 simplrr 738 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  om  /\  A. h A. f  e.  ~P  ( X  \  h
) A. g  e. 
~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  k  \/  g  ~~  k )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h
)  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f  ~~  i  /\  ( i  u.  h )  e.  I
) ) )  /\  ( f  e.  ~P ( X  \  h
)  /\  g  e.  ~P ( X  \  h
) ) )  /\  ( ( f  ~~  suc  k  \/  g  ~~  suc  k )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h
) )  /\  (
f  u.  h )  e.  I ) )  ->  g  e.  ~P ( X  \  h
) )
111110elpwid 3744 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  om  /\  A. h A. f  e.  ~P  ( X  \  h
) A. g  e. 
~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  k  \/  g  ~~  k )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h
)  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f  ~~  i  /\  ( i  u.  h )  e.  I
) ) )  /\  ( f  e.  ~P ( X  \  h
)  /\  g  e.  ~P ( X  \  h
) ) )  /\  ( ( f  ~~  suc  k  \/  g  ~~  suc  k )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h
) )  /\  (
f  u.  h )  e.  I ) )  ->  g  C_  ( X  \  h ) )
112 simpr2 964 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  om  /\  A. h A. f  e.  ~P  ( X  \  h
) A. g  e. 
~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  k  \/  g  ~~  k )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h
)  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f  ~~  i  /\  ( i  u.  h )  e.  I
) ) )  /\  ( f  e.  ~P ( X  \  h
)  /\  g  e.  ~P ( X  \  h
) ) )  /\  ( ( f  ~~  suc  k  \/  g  ~~  suc  k )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h
) )  /\  (
f  u.  h )  e.  I ) )  ->  f  C_  ( N `  ( g  u.  h ) ) )
113 simpr3 965 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  om  /\  A. h A. f  e.  ~P  ( X  \  h
) A. g  e. 
~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  k  \/  g  ~~  k )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h
)  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f  ~~  i  /\  ( i  u.  h )  e.  I
) ) )  /\  ( f  e.  ~P ( X  \  h
)  /\  g  e.  ~P ( X  \  h
) ) )  /\  ( ( f  ~~  suc  k  \/  g  ~~  suc  k )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h
) )  /\  (
f  u.  h )  e.  I ) )  ->  ( f  u.  h )  e.  I
)
114 simpll2 997 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  om  /\  A. h A. f  e.  ~P  ( X  \  h
) A. g  e. 
~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  k  \/  g  ~~  k )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h
)  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f  ~~  i  /\  ( i  u.  h )  e.  I
) ) )  /\  ( f  e.  ~P ( X  \  h
)  /\  g  e.  ~P ( X  \  h
) ) )  /\  ( ( f  ~~  suc  k  \/  g  ~~  suc  k )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h
) )  /\  (
f  u.  h )  e.  I ) )  ->  k  e.  om )
115 simpll3 998 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  om  /\  A. h A. f  e.  ~P  ( X  \  h
) A. g  e. 
~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  k  \/  g  ~~  k )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h
)  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f  ~~  i  /\  ( i  u.  h )  e.  I
) ) )  /\  ( f  e.  ~P ( X  \  h
)  /\  g  e.  ~P ( X  \  h
) ) )  /\  ( ( f  ~~  suc  k  \/  g  ~~  suc  k )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h
) )  /\  (
f  u.  h )  e.  I ) )  ->  A. h A. f  e.  ~P  ( X  \  h ) A. g  e.  ~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  k  \/  g  ~~  k )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h
)  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f  ~~  i  /\  ( i  u.  h )  e.  I
) ) )
116 simpr1 963 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  om  /\  A. h A. f  e.  ~P  ( X  \  h
) A. g  e. 
~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  k  \/  g  ~~  k )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h
)  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f  ~~  i  /\  ( i  u.  h )  e.  I
) ) )  /\  ( f  e.  ~P ( X  \  h
)  /\  g  e.  ~P ( X  \  h
) ) )  /\  ( ( f  ~~  suc  k  \/  g  ~~  suc  k )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h
) )  /\  (
f  u.  h )  e.  I ) )  ->  ( f  ~~  suc  k  \/  g  ~~  suc  k ) )
117105, 69, 70, 107, 109, 111, 112, 113, 114, 115, 116mreexexlem4d 13792 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  om  /\  A. h A. f  e.  ~P  ( X  \  h
) A. g  e. 
~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  k  \/  g  ~~  k )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h
)  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f  ~~  i  /\  ( i  u.  h )  e.  I
) ) )  /\  ( f  e.  ~P ( X  \  h
)  /\  g  e.  ~P ( X  \  h
) ) )  /\  ( ( f  ~~  suc  k  \/  g  ~~  suc  k )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h
) )  /\  (
f  u.  h )  e.  I ) )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f  ~~  i  /\  ( i  u.  h )  e.  I
) )
118117ex 424 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  om  /\  A. h A. f  e.  ~P  ( X  \  h
) A. g  e. 
~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  k  \/  g  ~~  k )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h
)  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f  ~~  i  /\  ( i  u.  h )  e.  I
) ) )  /\  ( f  e.  ~P ( X  \  h
)  /\  g  e.  ~P ( X  \  h
) ) )  -> 
( ( ( f 
~~  suc  k  \/  g  ~~  suc  k )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h
)  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f  ~~  i  /\  ( i  u.  h )  e.  I
) ) )
119118expr 599 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  om  /\  A. h A. f  e.  ~P  ( X  \  h
) A. g  e. 
~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  k  \/  g  ~~  k )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h
)  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f  ~~  i  /\  ( i  u.  h )  e.  I
) ) )  /\  f  e.  ~P ( X  \  h ) )  ->  ( g  e. 
~P ( X  \  h )  ->  (
( ( f  ~~  suc  k  \/  g  ~~  suc  k )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h
) )  /\  (
f  u.  h )  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f  ~~  i  /\  ( i  u.  h )  e.  I
) ) ) )
120103, 119ralrimi 2723 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  om  /\  A. h A. f  e.  ~P  ( X  \  h
) A. g  e. 
~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  k  \/  g  ~~  k )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h
)  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f  ~~  i  /\  ( i  u.  h )  e.  I
) ) )  /\  f  e.  ~P ( X  \  h ) )  ->  A. g  e.  ~P  ( X  \  h
) ( ( ( f  ~~  suc  k  \/  g  ~~  suc  k
)  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h )  e.  I
)  ->  E. i  e.  ~P  g ( f 
~~  i  /\  (
i  u.  h )  e.  I ) ) )
121120ex 424 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  om 
/\  A. h A. f  e.  ~P  ( X  \  h ) A. g  e.  ~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  k  \/  g  ~~  k )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h
)  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f  ~~  i  /\  ( i  u.  h )  e.  I
) ) )  -> 
( f  e.  ~P ( X  \  h
)  ->  A. g  e.  ~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  suc  k  \/  g  ~~  suc  k )  /\  f  C_  ( N `  (
g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h )  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f 
~~  i  /\  (
i  u.  h )  e.  I ) ) ) )
12296, 121ralrimi 2723 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  om 
/\  A. h A. f  e.  ~P  ( X  \  h ) A. g  e.  ~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  k  \/  g  ~~  k )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h
)  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f  ~~  i  /\  ( i  u.  h )  e.  I
) ) )  ->  A. f  e.  ~P  ( X  \  h
) A. g  e. 
~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  suc  k  \/  g  ~~  suc  k )  /\  f  C_  ( N `  (
g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h )  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f 
~~  i  /\  (
i  u.  h )  e.  I ) ) )
12391, 122alrimi 1773 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  om 
/\  A. h A. f  e.  ~P  ( X  \  h ) A. g  e.  ~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  k  \/  g  ~~  k )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h
)  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f  ~~  i  /\  ( i  u.  h )  e.  I
) ) )  ->  A. h A. f  e. 
~P  ( X  \  h ) A. g  e.  ~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  suc  k  \/  g  ~~  suc  k )  /\  f  C_  ( N `  (
g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h )  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f 
~~  i  /\  (
i  u.  h )  e.  I ) ) )
1241233exp 1152 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( k  e.  om  ->  ( A. h A. f  e.  ~P  ( X  \  h ) A. g  e.  ~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  k  \/  g  ~~  k )  /\  f  C_  ( N `  (
g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h )  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f 
~~  i  /\  (
i  u.  h )  e.  I ) )  ->  A. h A. f  e.  ~P  ( X  \  h ) A. g  e.  ~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  suc  k  \/  g  ~~  suc  k )  /\  f  C_  ( N `  (
g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h )  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f 
~~  i  /\  (
i  u.  h )  e.  I ) ) ) ) )
125124com12 29 . . . . 5  |-  ( k  e.  om  ->  ( ph  ->  ( A. h A. f  e.  ~P  ( X  \  h
) A. g  e. 
~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  k  \/  g  ~~  k )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h
)  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f  ~~  i  /\  ( i  u.  h )  e.  I
) )  ->  A. h A. f  e.  ~P  ( X  \  h
) A. g  e. 
~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  suc  k  \/  g  ~~  suc  k )  /\  f  C_  ( N `  (
g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h )  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f 
~~  i  /\  (
i  u.  h )  e.  I ) ) ) ) )
126125a2d 24 . . . 4  |-  ( k  e.  om  ->  (
( ph  ->  A. h A. f  e.  ~P  ( X  \  h
) A. g  e. 
~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  k  \/  g  ~~  k )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h
)  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f  ~~  i  /\  ( i  u.  h )  e.  I
) ) )  -> 
( ph  ->  A. h A. f  e.  ~P  ( X  \  h
) A. g  e. 
~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  suc  k  \/  g  ~~  suc  k )  /\  f  C_  ( N `  (
g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h )  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f 
~~  i  /\  (
i  u.  h )  e.  I ) ) ) ) )
12743, 51, 59, 67, 87, 126finds 4804 . . 3  |-  ( ( ( card `  F
)  i^i  ( card `  G ) )  e. 
om  ->  ( ph  ->  A. h A. f  e. 
~P  ( X  \  h ) A. g  e.  ~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  (
( card `  F )  i^i  ( card `  G
) )  \/  g  ~~  ( ( card `  F
)  i^i  ( card `  G ) ) )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h
)  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f  ~~  i  /\  ( i  u.  h )  e.  I
) ) ) )
12835, 127mpcom 34 . 2  |-  ( ph  ->  A. h A. f  e.  ~P  ( X  \  h ) A. g  e.  ~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  (
( card `  F )  i^i  ( card `  G
) )  \/  g  ~~  ( ( card `  F
)  i^i  ( card `  G ) ) )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h
)  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f  ~~  i  /\  ( i  u.  h )  e.  I
) ) )
1292, 3, 4, 5, 6, 26, 128mreexexlemd 13789 1  |-  ( ph  ->  E. q  e.  ~P  G ( F  ~~  q  /\  ( q  u.  H )  e.  I
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    /\ w3a 936   A.wal 1546    = wceq 1649    e. wcel 1717   A.wral 2642   E.wrex 2643   _Vcvv 2892    \ cdif 3253    u. cun 3254    i^i cin 3255    C_ wss 3256   (/)c0 3564   ~Pcpw 3735   {csn 3750   class class class wbr 4146   Ord word 4514   suc csuc 4517   omcom 4778   ` cfv 5387    ~~ cen 7035   Fincfn 7038   cardccrd 7748  Moorecmre 13727  mrClscmrc 13728  mrIndcmri 13729
This theorem is referenced by:  mreexdomd  13794
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2361  ax-rep 4254  ax-sep 4264  ax-nul 4272  ax-pow 4311  ax-pr 4337  ax-un 4634  ax-ac2 8269
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2235  df-mo 2236  df-clab 2367  df-cleq 2373  df-clel 2376  df-nfc 2505  df-ne 2545  df-ral 2647  df-rex 2648  df-reu 2649  df-rmo 2650  df-rab 2651  df-v 2894  df-sbc 3098  df-csb 3188  df-dif 3259  df-un 3261  df-in 3263  df-ss 3270  df-pss 3272  df-nul 3565  df-if 3676  df-pw 3737  df-sn 3756  df-pr 3757  df-tp 3758  df-op 3759  df-uni 3951  df-int 3986  df-iun 4030  df-br 4147  df-opab 4201  df-mpt 4202  df-tr 4237  df-eprel 4428  df-id 4432  df-po 4437  df-so 4438  df-fr 4475  df-se 4476  df-we 4477  df-ord 4518  df-on 4519  df-lim 4520  df-suc 4521  df-om 4779  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5351  df-fun 5389  df-fn 5390  df-f 5391  df-f1 5392  df-fo 5393  df-f1o 5394  df-fv 5395  df-isom 5396  df-riota 6478  df-recs 6562  df-1o 6653  df-er 6834  df-en 7039  df-dom 7040  df-sdom 7041  df-fin 7042  df-card 7752  df-ac 7923  df-mre 13731  df-mrc 13732  df-mri 13733
  Copyright terms: Public domain W3C validator