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Theorem mreexexlem2d 13563
Description: Used in mreexexlem4d 13565 to prove the induction step in mreexexd 13566. See the proof of Proposition 4.2.1 in [FaureFrolicher] p. 86 to 87. (Contributed by David Moews, 1-May-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
mreexexlem2d.1  |-  ( ph  ->  A  e.  (Moore `  X ) )
mreexexlem2d.2  |-  N  =  (mrCls `  A )
mreexexlem2d.3  |-  I  =  (mrInd `  A )
mreexexlem2d.4  |-  ( ph  ->  A. s  e.  ~P  X A. y  e.  X  A. z  e.  (
( N `  (
s  u.  { y } ) )  \ 
( N `  s
) ) y  e.  ( N `  (
s  u.  { z } ) ) )
mreexexlem2d.5  |-  ( ph  ->  F  C_  ( X  \  H ) )
mreexexlem2d.6  |-  ( ph  ->  G  C_  ( X  \  H ) )
mreexexlem2d.7  |-  ( ph  ->  F  C_  ( N `  ( G  u.  H
) ) )
mreexexlem2d.8  |-  ( ph  ->  ( F  u.  H
)  e.  I )
mreexexlem2d.9  |-  ( ph  ->  Y  e.  F )
Assertion
Ref Expression
mreexexlem2d  |-  ( ph  ->  E. g  e.  G  ( -.  g  e.  ( F  \  { Y } )  /\  (
( F  \  { Y } )  u.  ( H  u.  { g } ) )  e.  I ) )
Distinct variable groups:    F, s,
g, y, z    G, s, g, y, z    H, s, g, y, z    ph, s,
g, y, z    Y, s, g, y, z    N, s, g, y, z    X, s, y
Allowed substitution hints:    A( y, z, g, s)    I( y, z, g, s)    X( z, g)

Proof of Theorem mreexexlem2d
StepHypRef Expression
1 mreexexlem2d.7 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F  C_  ( N `  ( G  u.  H
) ) )
21adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  G  C_  ( N `  ( ( F  u.  H )  \  { Y } ) ) )  ->  F  C_  ( N `  ( G  u.  H )
) )
3 mreexexlem2d.1 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A  e.  (Moore `  X ) )
43adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  G  C_  ( N `  ( ( F  u.  H )  \  { Y } ) ) )  ->  A  e.  (Moore `  X )
)
5 mreexexlem2d.2 . . . . . . . . 9  |-  N  =  (mrCls `  A )
6 simpr 447 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  G  C_  ( N `  ( ( F  u.  H )  \  { Y } ) ) )  ->  G  C_  ( N `  (
( F  u.  H
)  \  { Y } ) ) )
7 ssun2 3352 . . . . . . . . . . . . 13  |-  H  C_  ( ( F  \  { Y } )  u.  H )
8 difundir 3435 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F  u.  H ) 
\  { Y }
)  =  ( ( F  \  { Y } )  u.  ( H  \  { Y }
) )
9 mreexexlem2d.9 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  Y  e.  F )
10 incom 3374 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( F  i^i  H )  =  ( H  i^i  F
)
11 mreexexlem2d.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  F  C_  ( X  \  H ) )
12 ssdifin0 3548 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( F 
C_  ( X  \  H )  ->  ( F  i^i  H )  =  (/) )
1311, 12syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( F  i^i  H
)  =  (/) )
1410, 13syl5eqr 2342 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( H  i^i  F
)  =  (/) )
15 minel 3523 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( Y  e.  F  /\  ( H  i^i  F )  =  (/) )  ->  -.  Y  e.  H )
169, 14, 15syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  -.  Y  e.  H
)
17 difsnb 3773 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -.  Y  e.  H  <->  ( H  \  { Y } )  =  H )
1816, 17sylib 188 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( H  \  { Y } )  =  H )
1918uneq2d 3342 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( F  \  { Y } )  u.  ( H  \  { Y } ) )  =  ( ( F  \  { Y } )  u.  H ) )
208, 19syl5eq 2340 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( F  u.  H )  \  { Y } )  =  ( ( F  \  { Y } )  u.  H
) )
217, 20syl5sseqr 3240 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  H  C_  ( ( F  u.  H )  \  { Y } ) )
22 mreexexlem2d.3 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  I  =  (mrInd `  A )
23 mreexexlem2d.8 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( F  u.  H
)  e.  I )
2422, 3, 23mrissd 13554 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( F  u.  H
)  C_  X )
2524ssdifssd 3327 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( F  u.  H )  \  { Y } )  C_  X
)
263, 5, 25mrcssidd 13543 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( F  u.  H )  \  { Y } )  C_  ( N `  ( ( F  u.  H )  \  { Y } ) ) )
2721, 26sstrd 3202 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  H  C_  ( N `  ( ( F  u.  H )  \  { Y } ) ) )
2827adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  G  C_  ( N `  ( ( F  u.  H )  \  { Y } ) ) )  ->  H  C_  ( N `  (
( F  u.  H
)  \  { Y } ) ) )
296, 28unssd 3364 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  G  C_  ( N `  ( ( F  u.  H )  \  { Y } ) ) )  ->  ( G  u.  H )  C_  ( N `  (
( F  u.  H
)  \  { Y } ) ) )
304, 5mrcssvd 13541 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  G  C_  ( N `  ( ( F  u.  H )  \  { Y } ) ) )  ->  ( N `  ( ( F  u.  H )  \  { Y } ) )  C_  X )
314, 5, 29, 30mrcssd 13542 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  G  C_  ( N `  ( ( F  u.  H )  \  { Y } ) ) )  ->  ( N `  ( G  u.  H ) )  C_  ( N `  ( N `
 ( ( F  u.  H )  \  { Y } ) ) ) )
3225adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  G  C_  ( N `  ( ( F  u.  H )  \  { Y } ) ) )  ->  (
( F  u.  H
)  \  { Y } )  C_  X
)
334, 5, 32mrcidmd 13544 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  G  C_  ( N `  ( ( F  u.  H )  \  { Y } ) ) )  ->  ( N `  ( N `  ( ( F  u.  H )  \  { Y } ) ) )  =  ( N `  ( ( F  u.  H )  \  { Y } ) ) )
3431, 33sseqtrd 3227 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  G  C_  ( N `  ( ( F  u.  H )  \  { Y } ) ) )  ->  ( N `  ( G  u.  H ) )  C_  ( N `  ( ( F  u.  H ) 
\  { Y }
) ) )
352, 34sstrd 3202 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  G  C_  ( N `  ( ( F  u.  H )  \  { Y } ) ) )  ->  F  C_  ( N `  (
( F  u.  H
)  \  { Y } ) ) )
369adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  G  C_  ( N `  ( ( F  u.  H )  \  { Y } ) ) )  ->  Y  e.  F )
3735, 36sseldd 3194 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  G  C_  ( N `  ( ( F  u.  H )  \  { Y } ) ) )  ->  Y  e.  ( N `  (
( F  u.  H
)  \  { Y } ) ) )
3823adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  G  C_  ( N `  ( ( F  u.  H )  \  { Y } ) ) )  ->  ( F  u.  H )  e.  I )
39 ssun1 3351 . . . . . . 7  |-  F  C_  ( F  u.  H
)
4039, 36sseldi 3191 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  G  C_  ( N `  ( ( F  u.  H )  \  { Y } ) ) )  ->  Y  e.  ( F  u.  H
) )
415, 22, 4, 38, 40ismri2dad 13555 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  G  C_  ( N `  ( ( F  u.  H )  \  { Y } ) ) )  ->  -.  Y  e.  ( N `  ( ( F  u.  H )  \  { Y } ) ) )
4237, 41pm2.65da 559 . . . 4  |-  ( ph  ->  -.  G  C_  ( N `  ( ( F  u.  H )  \  { Y } ) ) )
43 nss 3249 . . . 4  |-  ( -.  G  C_  ( N `  ( ( F  u.  H )  \  { Y } ) )  <->  E. g
( g  e.  G  /\  -.  g  e.  ( N `  ( ( F  u.  H ) 
\  { Y }
) ) ) )
4442, 43sylib 188 . . 3  |-  ( ph  ->  E. g ( g  e.  G  /\  -.  g  e.  ( N `  ( ( F  u.  H )  \  { Y } ) ) ) )
45 simprl 732 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( g  e.  G  /\  -.  g  e.  ( N `  (
( F  u.  H
)  \  { Y } ) ) ) )  ->  g  e.  G )
46 ssun1 3351 . . . . . . . . . 10  |-  ( F 
\  { Y }
)  C_  ( ( F  \  { Y }
)  u.  H )
4746, 20syl5sseqr 3240 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( F  \  { Y } )  C_  (
( F  u.  H
)  \  { Y } ) )
4847, 26sstrd 3202 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( F  \  { Y } )  C_  ( N `  ( ( F  u.  H )  \  { Y } ) ) )
4948adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( g  e.  G  /\  -.  g  e.  ( N `  (
( F  u.  H
)  \  { Y } ) ) ) )  ->  ( F  \  { Y } ) 
C_  ( N `  ( ( F  u.  H )  \  { Y } ) ) )
50 simprr 733 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( g  e.  G  /\  -.  g  e.  ( N `  (
( F  u.  H
)  \  { Y } ) ) ) )  ->  -.  g  e.  ( N `  (
( F  u.  H
)  \  { Y } ) ) )
5149, 50ssneldd 3196 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( g  e.  G  /\  -.  g  e.  ( N `  (
( F  u.  H
)  \  { Y } ) ) ) )  ->  -.  g  e.  ( F  \  { Y } ) )
52 unass 3345 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  \  { Y } )  u.  H
)  u.  { g } )  =  ( ( F  \  { Y } )  u.  ( H  u.  { g } ) )
533adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( g  e.  G  /\  -.  g  e.  ( N `  (
( F  u.  H
)  \  { Y } ) ) ) )  ->  A  e.  (Moore `  X ) )
54 mreexexlem2d.4 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. s  e.  ~P  X A. y  e.  X  A. z  e.  (
( N `  (
s  u.  { y } ) )  \ 
( N `  s
) ) y  e.  ( N `  (
s  u.  { z } ) ) )
5554adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( g  e.  G  /\  -.  g  e.  ( N `  (
( F  u.  H
)  \  { Y } ) ) ) )  ->  A. s  e.  ~P  X A. y  e.  X  A. z  e.  ( ( N `  ( s  u.  {
y } ) ) 
\  ( N `  s ) ) y  e.  ( N `  ( s  u.  {
z } ) ) )
5623adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( g  e.  G  /\  -.  g  e.  ( N `  (
( F  u.  H
)  \  { Y } ) ) ) )  ->  ( F  u.  H )  e.  I
)
57 difss 3316 . . . . . . . . . 10  |-  ( F 
\  { Y }
)  C_  F
58 unss1 3357 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  \  { Y } )  C_  F  ->  ( ( F  \  { Y } )  u.  H )  C_  ( F  u.  H )
)
5957, 58mp1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( g  e.  G  /\  -.  g  e.  ( N `  (
( F  u.  H
)  \  { Y } ) ) ) )  ->  ( ( F  \  { Y }
)  u.  H ) 
C_  ( F  u.  H ) )
6053, 5, 22, 56, 59mrissmrid 13559 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( g  e.  G  /\  -.  g  e.  ( N `  (
( F  u.  H
)  \  { Y } ) ) ) )  ->  ( ( F  \  { Y }
)  u.  H )  e.  I )
61 mreexexlem2d.6 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  G  C_  ( X  \  H ) )
6261adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( g  e.  G  /\  -.  g  e.  ( N `  (
( F  u.  H
)  \  { Y } ) ) ) )  ->  G  C_  ( X  \  H ) )
6362difss2d 3319 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( g  e.  G  /\  -.  g  e.  ( N `  (
( F  u.  H
)  \  { Y } ) ) ) )  ->  G  C_  X
)
6463, 45sseldd 3194 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( g  e.  G  /\  -.  g  e.  ( N `  (
( F  u.  H
)  \  { Y } ) ) ) )  ->  g  e.  X )
6520adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( g  e.  G  /\  -.  g  e.  ( N `  (
( F  u.  H
)  \  { Y } ) ) ) )  ->  ( ( F  u.  H )  \  { Y } )  =  ( ( F 
\  { Y }
)  u.  H ) )
6665fveq2d 5545 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( g  e.  G  /\  -.  g  e.  ( N `  (
( F  u.  H
)  \  { Y } ) ) ) )  ->  ( N `  ( ( F  u.  H )  \  { Y } ) )  =  ( N `  (
( F  \  { Y } )  u.  H
) ) )
6750, 66neleqtrd 2391 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( g  e.  G  /\  -.  g  e.  ( N `  (
( F  u.  H
)  \  { Y } ) ) ) )  ->  -.  g  e.  ( N `  (
( F  \  { Y } )  u.  H
) ) )
6853, 5, 22, 55, 60, 64, 67mreexmrid 13561 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( g  e.  G  /\  -.  g  e.  ( N `  (
( F  u.  H
)  \  { Y } ) ) ) )  ->  ( (
( F  \  { Y } )  u.  H
)  u.  { g } )  e.  I
)
6952, 68syl5eqelr 2381 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( g  e.  G  /\  -.  g  e.  ( N `  (
( F  u.  H
)  \  { Y } ) ) ) )  ->  ( ( F  \  { Y }
)  u.  ( H  u.  { g } ) )  e.  I
)
7045, 51, 69jca32 521 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( g  e.  G  /\  -.  g  e.  ( N `  (
( F  u.  H
)  \  { Y } ) ) ) )  ->  ( g  e.  G  /\  ( -.  g  e.  ( F  \  { Y }
)  /\  ( ( F  \  { Y }
)  u.  ( H  u.  { g } ) )  e.  I
) ) )
7170ex 423 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( g  e.  G  /\  -.  g  e.  ( N `  (
( F  u.  H
)  \  { Y } ) ) )  ->  ( g  e.  G  /\  ( -.  g  e.  ( F 
\  { Y }
)  /\  ( ( F  \  { Y }
)  u.  ( H  u.  { g } ) )  e.  I
) ) ) )
7271eximdv 1612 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. g ( g  e.  G  /\  -.  g  e.  ( N `  ( ( F  u.  H )  \  { Y } ) ) )  ->  E. g
( g  e.  G  /\  ( -.  g  e.  ( F  \  { Y } )  /\  (
( F  \  { Y } )  u.  ( H  u.  { g } ) )  e.  I ) ) ) )
7344, 72mpd 14 . 2  |-  ( ph  ->  E. g ( g  e.  G  /\  ( -.  g  e.  ( F  \  { Y }
)  /\  ( ( F  \  { Y }
)  u.  ( H  u.  { g } ) )  e.  I
) ) )
74 df-rex 2562 . 2  |-  ( E. g  e.  G  ( -.  g  e.  ( F  \  { Y } )  /\  (
( F  \  { Y } )  u.  ( H  u.  { g } ) )  e.  I )  <->  E. g
( g  e.  G  /\  ( -.  g  e.  ( F  \  { Y } )  /\  (
( F  \  { Y } )  u.  ( H  u.  { g } ) )  e.  I ) ) )
7573, 74sylibr 203 1  |-  ( ph  ->  E. g  e.  G  ( -.  g  e.  ( F  \  { Y } )  /\  (
( F  \  { Y } )  u.  ( H  u.  { g } ) )  e.  I ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 358   E.wex 1531    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   E.wrex 2557    \ cdif 3162    u. cun 3163    i^i cin 3164    C_ wss 3165   (/)c0 3468   ~Pcpw 3638   {csn 3653   ` cfv 5271  Moorecmre 13500  mrClscmrc 13501  mrIndcmri 13502
This theorem is referenced by:  mreexexlem4d  13565
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-fv 5279  df-mre 13504  df-mrc 13505  df-mri 13506
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