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Theorem mreexexlem4d 13549
Description: Induction step of the induction in mreexexd 13550. (Contributed by David Moews, 1-May-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
mreexexlem2d.1  |-  ( ph  ->  A  e.  (Moore `  X ) )
mreexexlem2d.2  |-  N  =  (mrCls `  A )
mreexexlem2d.3  |-  I  =  (mrInd `  A )
mreexexlem2d.4  |-  ( ph  ->  A. s  e.  ~P  X A. y  e.  X  A. z  e.  (
( N `  (
s  u.  { y } ) )  \ 
( N `  s
) ) y  e.  ( N `  (
s  u.  { z } ) ) )
mreexexlem2d.5  |-  ( ph  ->  F  C_  ( X  \  H ) )
mreexexlem2d.6  |-  ( ph  ->  G  C_  ( X  \  H ) )
mreexexlem2d.7  |-  ( ph  ->  F  C_  ( N `  ( G  u.  H
) ) )
mreexexlem2d.8  |-  ( ph  ->  ( F  u.  H
)  e.  I )
mreexexlem4d.9  |-  ( ph  ->  L  e.  om )
mreexexlem4d.A  |-  ( ph  ->  A. h A. f  e.  ~P  ( X  \  h ) A. g  e.  ~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  L  \/  g  ~~  L )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h
)  e.  I )  ->  E. j  e.  ~P  g ( f  ~~  j  /\  ( j  u.  h )  e.  I
) ) )
mreexexlem4d.B  |-  ( ph  ->  ( F  ~~  suc  L  \/  G  ~~  suc  L ) )
Assertion
Ref Expression
mreexexlem4d  |-  ( ph  ->  E. j  e.  ~P  G ( F  ~~  j  /\  ( j  u.  H )  e.  I
) )
Distinct variable groups:    f, g, h, X    f, I, j, g, h    f, L, g, h    f, N, g, h    y, s, z, N    F, s,
y, z    G, s,
y, z    H, s,
y, z    ph, s, y, z    j, F    j, G    j, H    X, s,
y
Allowed substitution hints:    ph( f, g, h, j)    A( y, z, f, g, h, j, s)    F( f, g, h)    G( f,
g, h)    H( f,
g, h)    I( y,
z, s)    L( y,
z, j, s)    N( j)    X( z, j)

Proof of Theorem mreexexlem4d
Dummy variables  i 
q  r are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mreexexlem2d.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  (Moore `  X ) )
21adantr 451 . . 3  |-  ( (
ph  /\  F  =  (/) )  ->  A  e.  (Moore `  X ) )
3 mreexexlem2d.2 . . 3  |-  N  =  (mrCls `  A )
4 mreexexlem2d.3 . . 3  |-  I  =  (mrInd `  A )
5 mreexexlem2d.4 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. s  e.  ~P  X A. y  e.  X  A. z  e.  (
( N `  (
s  u.  { y } ) )  \ 
( N `  s
) ) y  e.  ( N `  (
s  u.  { z } ) ) )
65adantr 451 . . 3  |-  ( (
ph  /\  F  =  (/) )  ->  A. s  e.  ~P  X A. y  e.  X  A. z  e.  ( ( N `  ( s  u.  {
y } ) ) 
\  ( N `  s ) ) y  e.  ( N `  ( s  u.  {
z } ) ) )
7 mreexexlem2d.5 . . . 4  |-  ( ph  ->  F  C_  ( X  \  H ) )
87adantr 451 . . 3  |-  ( (
ph  /\  F  =  (/) )  ->  F  C_  ( X  \  H ) )
9 mreexexlem2d.6 . . . 4  |-  ( ph  ->  G  C_  ( X  \  H ) )
109adantr 451 . . 3  |-  ( (
ph  /\  F  =  (/) )  ->  G  C_  ( X  \  H ) )
11 mreexexlem2d.7 . . . 4  |-  ( ph  ->  F  C_  ( N `  ( G  u.  H
) ) )
1211adantr 451 . . 3  |-  ( (
ph  /\  F  =  (/) )  ->  F  C_  ( N `  ( G  u.  H ) ) )
13 mreexexlem2d.8 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F  u.  H
)  e.  I )
1413adantr 451 . . 3  |-  ( (
ph  /\  F  =  (/) )  ->  ( F  u.  H )  e.  I
)
15 simpr 447 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  F  =  (/) )  ->  F  =  (/) )
1615orcd 381 . . 3  |-  ( (
ph  /\  F  =  (/) )  ->  ( F  =  (/)  \/  G  =  (/) ) )
172, 3, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16mreexexlem3d 13548 . 2  |-  ( (
ph  /\  F  =  (/) )  ->  E. j  e.  ~P  G ( F 
~~  j  /\  (
j  u.  H )  e.  I ) )
18 n0 3464 . . . . 5  |-  ( F  =/=  (/)  <->  E. r  r  e.  F )
1918biimpi 186 . . . 4  |-  ( F  =/=  (/)  ->  E. r 
r  e.  F )
2019adantl 452 . . 3  |-  ( (
ph  /\  F  =/=  (/) )  ->  E. r 
r  e.  F )
211adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  r  e.  F )  ->  A  e.  (Moore `  X )
)
225adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  r  e.  F )  ->  A. s  e.  ~P  X A. y  e.  X  A. z  e.  ( ( N `  ( s  u.  {
y } ) ) 
\  ( N `  s ) ) y  e.  ( N `  ( s  u.  {
z } ) ) )
237adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  r  e.  F )  ->  F  C_  ( X  \  H
) )
249adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  r  e.  F )  ->  G  C_  ( X  \  H
) )
2511adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  r  e.  F )  ->  F  C_  ( N `  ( G  u.  H )
) )
2613adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  r  e.  F )  ->  ( F  u.  H )  e.  I )
27 simpr 447 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  r  e.  F )  ->  r  e.  F )
2821, 3, 4, 22, 23, 24, 25, 26, 27mreexexlem2d 13547 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  r  e.  F )  ->  E. q  e.  G  ( -.  q  e.  ( F  \  { r } )  /\  ( ( F 
\  { r } )  u.  ( H  u.  { q } ) )  e.  I
) )
29 3anass 938 . . . . . 6  |-  ( ( q  e.  G  /\  -.  q  e.  ( F  \  { r } )  /\  ( ( F  \  { r } )  u.  ( H  u.  { q } ) )  e.  I )  <->  ( q  e.  G  /\  ( -.  q  e.  ( F  \  { r } )  /\  ( ( F  \  { r } )  u.  ( H  u.  { q } ) )  e.  I ) ) )
301ad2antrr 706 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  F )  /\  (
q  e.  G  /\  -.  q  e.  ( F  \  { r } )  /\  ( ( F  \  { r } )  u.  ( H  u.  { q } ) )  e.  I ) )  ->  A  e.  (Moore `  X
) )
3130elfvexd 5556 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  F )  /\  (
q  e.  G  /\  -.  q  e.  ( F  \  { r } )  /\  ( ( F  \  { r } )  u.  ( H  u.  { q } ) )  e.  I ) )  ->  X  e.  _V )
32 simpr2 962 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  F )  /\  (
q  e.  G  /\  -.  q  e.  ( F  \  { r } )  /\  ( ( F  \  { r } )  u.  ( H  u.  { q } ) )  e.  I ) )  ->  -.  q  e.  ( F  \  { r } ) )
33 difsneq 3757 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  q  e.  ( F 
\  { r } )  <->  ( ( F 
\  { r } )  \  { q } )  =  ( F  \  { r } ) )
3432, 33sylib 188 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  F )  /\  (
q  e.  G  /\  -.  q  e.  ( F  \  { r } )  /\  ( ( F  \  { r } )  u.  ( H  u.  { q } ) )  e.  I ) )  -> 
( ( F  \  { r } ) 
\  { q } )  =  ( F 
\  { r } ) )
357ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  F )  /\  (
q  e.  G  /\  -.  q  e.  ( F  \  { r } )  /\  ( ( F  \  { r } )  u.  ( H  u.  { q } ) )  e.  I ) )  ->  F  C_  ( X  \  H ) )
3635ssdifssd 3314 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  F )  /\  (
q  e.  G  /\  -.  q  e.  ( F  \  { r } )  /\  ( ( F  \  { r } )  u.  ( H  u.  { q } ) )  e.  I ) )  -> 
( F  \  {
r } )  C_  ( X  \  H ) )
3736ssdifd 3312 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  F )  /\  (
q  e.  G  /\  -.  q  e.  ( F  \  { r } )  /\  ( ( F  \  { r } )  u.  ( H  u.  { q } ) )  e.  I ) )  -> 
( ( F  \  { r } ) 
\  { q } )  C_  ( ( X  \  H )  \  { q } ) )
3834, 37eqsstr3d 3213 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  F )  /\  (
q  e.  G  /\  -.  q  e.  ( F  \  { r } )  /\  ( ( F  \  { r } )  u.  ( H  u.  { q } ) )  e.  I ) )  -> 
( F  \  {
r } )  C_  ( ( X  \  H )  \  {
q } ) )
39 difun1 3428 . . . . . . . . 9  |-  ( X 
\  ( H  u.  { q } ) )  =  ( ( X 
\  H )  \  { q } )
4038, 39syl6sseqr 3225 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  F )  /\  (
q  e.  G  /\  -.  q  e.  ( F  \  { r } )  /\  ( ( F  \  { r } )  u.  ( H  u.  { q } ) )  e.  I ) )  -> 
( F  \  {
r } )  C_  ( X  \  ( H  u.  { q } ) ) )
419ad2antrr 706 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  F )  /\  (
q  e.  G  /\  -.  q  e.  ( F  \  { r } )  /\  ( ( F  \  { r } )  u.  ( H  u.  { q } ) )  e.  I ) )  ->  G  C_  ( X  \  H ) )
4241ssdifd 3312 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  F )  /\  (
q  e.  G  /\  -.  q  e.  ( F  \  { r } )  /\  ( ( F  \  { r } )  u.  ( H  u.  { q } ) )  e.  I ) )  -> 
( G  \  {
q } )  C_  ( ( X  \  H )  \  {
q } ) )
4342, 39syl6sseqr 3225 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  F )  /\  (
q  e.  G  /\  -.  q  e.  ( F  \  { r } )  /\  ( ( F  \  { r } )  u.  ( H  u.  { q } ) )  e.  I ) )  -> 
( G  \  {
q } )  C_  ( X  \  ( H  u.  { q } ) ) )
4411ad2antrr 706 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  F )  /\  (
q  e.  G  /\  -.  q  e.  ( F  \  { r } )  /\  ( ( F  \  { r } )  u.  ( H  u.  { q } ) )  e.  I ) )  ->  F  C_  ( N `  ( G  u.  H
) ) )
45 simpr1 961 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  F )  /\  (
q  e.  G  /\  -.  q  e.  ( F  \  { r } )  /\  ( ( F  \  { r } )  u.  ( H  u.  { q } ) )  e.  I ) )  -> 
q  e.  G )
46 uncom 3319 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( H  u.  { q } )  =  ( { q }  u.  H
)
4746uneq2i 3326 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  \  { q } )  u.  ( H  u.  { q } ) )  =  ( ( G  \  { q } )  u.  ( { q }  u.  H ) )
48 unass 3332 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( G  \  {
q } )  u. 
{ q } )  u.  H )  =  ( ( G  \  { q } )  u.  ( { q }  u.  H ) )
49 difsnid 3761 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( q  e.  G  ->  (
( G  \  {
q } )  u. 
{ q } )  =  G )
5049uneq1d 3328 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( q  e.  G  ->  (
( ( G  \  { q } )  u.  { q } )  u.  H )  =  ( G  u.  H ) )
5148, 50syl5eqr 2329 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( q  e.  G  ->  (
( G  \  {
q } )  u.  ( { q }  u.  H ) )  =  ( G  u.  H ) )
5247, 51syl5eq 2327 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( q  e.  G  ->  (
( G  \  {
q } )  u.  ( H  u.  {
q } ) )  =  ( G  u.  H ) )
5345, 52syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  F )  /\  (
q  e.  G  /\  -.  q  e.  ( F  \  { r } )  /\  ( ( F  \  { r } )  u.  ( H  u.  { q } ) )  e.  I ) )  -> 
( ( G  \  { q } )  u.  ( H  u.  { q } ) )  =  ( G  u.  H ) )
5453fveq2d 5529 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  F )  /\  (
q  e.  G  /\  -.  q  e.  ( F  \  { r } )  /\  ( ( F  \  { r } )  u.  ( H  u.  { q } ) )  e.  I ) )  -> 
( N `  (
( G  \  {
q } )  u.  ( H  u.  {
q } ) ) )  =  ( N `
 ( G  u.  H ) ) )
5544, 54sseqtr4d 3215 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  F )  /\  (
q  e.  G  /\  -.  q  e.  ( F  \  { r } )  /\  ( ( F  \  { r } )  u.  ( H  u.  { q } ) )  e.  I ) )  ->  F  C_  ( N `  ( ( G  \  { q } )  u.  ( H  u.  { q } ) ) ) )
5655ssdifssd 3314 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  F )  /\  (
q  e.  G  /\  -.  q  e.  ( F  \  { r } )  /\  ( ( F  \  { r } )  u.  ( H  u.  { q } ) )  e.  I ) )  -> 
( F  \  {
r } )  C_  ( N `  ( ( G  \  { q } )  u.  ( H  u.  { q } ) ) ) )
57 simpr3 963 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  F )  /\  (
q  e.  G  /\  -.  q  e.  ( F  \  { r } )  /\  ( ( F  \  { r } )  u.  ( H  u.  { q } ) )  e.  I ) )  -> 
( ( F  \  { r } )  u.  ( H  u.  { q } ) )  e.  I )
58 mreexexlem4d.B . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( F  ~~  suc  L  \/  G  ~~  suc  L ) )
5958ad2antrr 706 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  F )  /\  (
q  e.  G  /\  -.  q  e.  ( F  \  { r } )  /\  ( ( F  \  { r } )  u.  ( H  u.  { q } ) )  e.  I ) )  -> 
( F  ~~  suc  L  \/  G  ~~  suc  L ) )
60 mreexexlem4d.9 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  L  e.  om )
6160ad2antrr 706 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  F )  /\  (
q  e.  G  /\  -.  q  e.  ( F  \  { r } )  /\  ( ( F  \  { r } )  u.  ( H  u.  { q } ) )  e.  I ) )  ->  L  e.  om )
62 simplr 731 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  F )  /\  (
q  e.  G  /\  -.  q  e.  ( F  \  { r } )  /\  ( ( F  \  { r } )  u.  ( H  u.  { q } ) )  e.  I ) )  -> 
r  e.  F )
63 3anan12 947 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( L  e.  om  /\  F  ~~  suc  L  /\  r  e.  F )  <->  ( F  ~~  suc  L  /\  ( L  e.  om  /\  r  e.  F ) ) )
64 dif1en 7091 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( L  e.  om  /\  F  ~~  suc  L  /\  r  e.  F )  ->  ( F  \  {
r } )  ~~  L )
6563, 64sylbir 204 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F  ~~  suc  L  /\  ( L  e.  om  /\  r  e.  F ) )  ->  ( F  \  { r } ) 
~~  L )
6665expcom 424 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( L  e.  om  /\  r  e.  F )  ->  ( F  ~~  suc  L  ->  ( F  \  { r } ) 
~~  L ) )
6761, 62, 66syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  F )  /\  (
q  e.  G  /\  -.  q  e.  ( F  \  { r } )  /\  ( ( F  \  { r } )  u.  ( H  u.  { q } ) )  e.  I ) )  -> 
( F  ~~  suc  L  ->  ( F  \  { r } ) 
~~  L ) )
68 3anan12 947 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( L  e.  om  /\  G  ~~  suc  L  /\  q  e.  G )  <->  ( G  ~~  suc  L  /\  ( L  e.  om  /\  q  e.  G ) ) )
69 dif1en 7091 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( L  e.  om  /\  G  ~~  suc  L  /\  q  e.  G )  ->  ( G  \  {
q } )  ~~  L )
7068, 69sylbir 204 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  ~~  suc  L  /\  ( L  e.  om  /\  q  e.  G ) )  ->  ( G  \  { q } ) 
~~  L )
7170expcom 424 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( L  e.  om  /\  q  e.  G )  ->  ( G  ~~  suc  L  ->  ( G  \  { q } ) 
~~  L ) )
7261, 45, 71syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  F )  /\  (
q  e.  G  /\  -.  q  e.  ( F  \  { r } )  /\  ( ( F  \  { r } )  u.  ( H  u.  { q } ) )  e.  I ) )  -> 
( G  ~~  suc  L  ->  ( G  \  { q } ) 
~~  L ) )
7367, 72orim12d 811 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  F )  /\  (
q  e.  G  /\  -.  q  e.  ( F  \  { r } )  /\  ( ( F  \  { r } )  u.  ( H  u.  { q } ) )  e.  I ) )  -> 
( ( F  ~~  suc  L  \/  G  ~~  suc  L )  ->  (
( F  \  {
r } )  ~~  L  \/  ( G  \  { q } ) 
~~  L ) ) )
7459, 73mpd 14 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  F )  /\  (
q  e.  G  /\  -.  q  e.  ( F  \  { r } )  /\  ( ( F  \  { r } )  u.  ( H  u.  { q } ) )  e.  I ) )  -> 
( ( F  \  { r } ) 
~~  L  \/  ( G  \  { q } )  ~~  L ) )
75 mreexexlem4d.A . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. h A. f  e.  ~P  ( X  \  h ) A. g  e.  ~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  L  \/  g  ~~  L )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h
)  e.  I )  ->  E. j  e.  ~P  g ( f  ~~  j  /\  ( j  u.  h )  e.  I
) ) )
7675ad2antrr 706 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  F )  /\  (
q  e.  G  /\  -.  q  e.  ( F  \  { r } )  /\  ( ( F  \  { r } )  u.  ( H  u.  { q } ) )  e.  I ) )  ->  A. h A. f  e. 
~P  ( X  \  h ) A. g  e.  ~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  L  \/  g  ~~  L )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h
)  e.  I )  ->  E. j  e.  ~P  g ( f  ~~  j  /\  ( j  u.  h )  e.  I
) ) )
7731, 40, 43, 56, 57, 74, 76mreexexlemd 13546 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  F )  /\  (
q  e.  G  /\  -.  q  e.  ( F  \  { r } )  /\  ( ( F  \  { r } )  u.  ( H  u.  { q } ) )  e.  I ) )  ->  E. i  e.  ~P  ( G  \  { q } ) ( ( F  \  { r } )  ~~  i  /\  ( i  u.  ( H  u.  { q } ) )  e.  I ) )
78 simprl 732 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  F )  /\  ( q  e.  G  /\  -.  q  e.  ( F  \  { r } )  /\  (
( F  \  {
r } )  u.  ( H  u.  {
q } ) )  e.  I ) )  /\  ( i  e. 
~P ( G  \  { q } )  /\  ( ( F 
\  { r } )  ~~  i  /\  ( i  u.  ( H  u.  { q } ) )  e.  I ) ) )  ->  i  e.  ~P ( G  \  { q } ) )
7978elpwid 3634 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  F )  /\  ( q  e.  G  /\  -.  q  e.  ( F  \  { r } )  /\  (
( F  \  {
r } )  u.  ( H  u.  {
q } ) )  e.  I ) )  /\  ( i  e. 
~P ( G  \  { q } )  /\  ( ( F 
\  { r } )  ~~  i  /\  ( i  u.  ( H  u.  { q } ) )  e.  I ) ) )  ->  i  C_  ( G  \  { q } ) )
8079difss2d 3306 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  F )  /\  ( q  e.  G  /\  -.  q  e.  ( F  \  { r } )  /\  (
( F  \  {
r } )  u.  ( H  u.  {
q } ) )  e.  I ) )  /\  ( i  e. 
~P ( G  \  { q } )  /\  ( ( F 
\  { r } )  ~~  i  /\  ( i  u.  ( H  u.  { q } ) )  e.  I ) ) )  ->  i  C_  G
)
81 simplr1 997 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  F )  /\  ( q  e.  G  /\  -.  q  e.  ( F  \  { r } )  /\  (
( F  \  {
r } )  u.  ( H  u.  {
q } ) )  e.  I ) )  /\  ( i  e. 
~P ( G  \  { q } )  /\  ( ( F 
\  { r } )  ~~  i  /\  ( i  u.  ( H  u.  { q } ) )  e.  I ) ) )  ->  q  e.  G
)
8281snssd 3760 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  F )  /\  ( q  e.  G  /\  -.  q  e.  ( F  \  { r } )  /\  (
( F  \  {
r } )  u.  ( H  u.  {
q } ) )  e.  I ) )  /\  ( i  e. 
~P ( G  \  { q } )  /\  ( ( F 
\  { r } )  ~~  i  /\  ( i  u.  ( H  u.  { q } ) )  e.  I ) ) )  ->  { q } 
C_  G )
8380, 82unssd 3351 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  F )  /\  ( q  e.  G  /\  -.  q  e.  ( F  \  { r } )  /\  (
( F  \  {
r } )  u.  ( H  u.  {
q } ) )  e.  I ) )  /\  ( i  e. 
~P ( G  \  { q } )  /\  ( ( F 
\  { r } )  ~~  i  /\  ( i  u.  ( H  u.  { q } ) )  e.  I ) ) )  ->  ( i  u. 
{ q } ) 
C_  G )
8431adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  F )  /\  ( q  e.  G  /\  -.  q  e.  ( F  \  { r } )  /\  (
( F  \  {
r } )  u.  ( H  u.  {
q } ) )  e.  I ) )  /\  ( i  e. 
~P ( G  \  { q } )  /\  ( ( F 
\  { r } )  ~~  i  /\  ( i  u.  ( H  u.  { q } ) )  e.  I ) ) )  ->  X  e.  _V )
859ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  F )  /\  ( q  e.  G  /\  -.  q  e.  ( F  \  { r } )  /\  (
( F  \  {
r } )  u.  ( H  u.  {
q } ) )  e.  I ) )  /\  ( i  e. 
~P ( G  \  { q } )  /\  ( ( F 
\  { r } )  ~~  i  /\  ( i  u.  ( H  u.  { q } ) )  e.  I ) ) )  ->  G  C_  ( X  \  H ) )
8685difss2d 3306 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  F )  /\  ( q  e.  G  /\  -.  q  e.  ( F  \  { r } )  /\  (
( F  \  {
r } )  u.  ( H  u.  {
q } ) )  e.  I ) )  /\  ( i  e. 
~P ( G  \  { q } )  /\  ( ( F 
\  { r } )  ~~  i  /\  ( i  u.  ( H  u.  { q } ) )  e.  I ) ) )  ->  G  C_  X
)
8784, 86ssexd 4161 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  F )  /\  ( q  e.  G  /\  -.  q  e.  ( F  \  { r } )  /\  (
( F  \  {
r } )  u.  ( H  u.  {
q } ) )  e.  I ) )  /\  ( i  e. 
~P ( G  \  { q } )  /\  ( ( F 
\  { r } )  ~~  i  /\  ( i  u.  ( H  u.  { q } ) )  e.  I ) ) )  ->  G  e.  _V )
88 elpw2g 4174 . . . . . . . . . 10  |-  ( G  e.  _V  ->  (
( i  u.  {
q } )  e. 
~P G  <->  ( i  u.  { q } ) 
C_  G ) )
8987, 88syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  F )  /\  ( q  e.  G  /\  -.  q  e.  ( F  \  { r } )  /\  (
( F  \  {
r } )  u.  ( H  u.  {
q } ) )  e.  I ) )  /\  ( i  e. 
~P ( G  \  { q } )  /\  ( ( F 
\  { r } )  ~~  i  /\  ( i  u.  ( H  u.  { q } ) )  e.  I ) ) )  ->  ( ( i  u.  { q } )  e.  ~P G  <->  ( i  u.  { q } )  C_  G
) )
9083, 89mpbird 223 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  F )  /\  ( q  e.  G  /\  -.  q  e.  ( F  \  { r } )  /\  (
( F  \  {
r } )  u.  ( H  u.  {
q } ) )  e.  I ) )  /\  ( i  e. 
~P ( G  \  { q } )  /\  ( ( F 
\  { r } )  ~~  i  /\  ( i  u.  ( H  u.  { q } ) )  e.  I ) ) )  ->  ( i  u. 
{ q } )  e.  ~P G )
91 difsnid 3761 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  e.  F  ->  (
( F  \  {
r } )  u. 
{ r } )  =  F )
9291ad3antlr 711 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  F )  /\  ( q  e.  G  /\  -.  q  e.  ( F  \  { r } )  /\  (
( F  \  {
r } )  u.  ( H  u.  {
q } ) )  e.  I ) )  /\  ( i  e. 
~P ( G  \  { q } )  /\  ( ( F 
\  { r } )  ~~  i  /\  ( i  u.  ( H  u.  { q } ) )  e.  I ) ) )  ->  ( ( F 
\  { r } )  u.  { r } )  =  F )
93 simprrl 740 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  F )  /\  ( q  e.  G  /\  -.  q  e.  ( F  \  { r } )  /\  (
( F  \  {
r } )  u.  ( H  u.  {
q } ) )  e.  I ) )  /\  ( i  e. 
~P ( G  \  { q } )  /\  ( ( F 
\  { r } )  ~~  i  /\  ( i  u.  ( H  u.  { q } ) )  e.  I ) ) )  ->  ( F  \  { r } ) 
~~  i )
94 vex 2791 . . . . . . . . . . . 12  |-  r  e. 
_V
95 vex 2791 . . . . . . . . . . . 12  |-  q  e. 
_V
96 en2sn 6940 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( r  e.  _V  /\  q  e.  _V )  ->  { r }  ~~  { q } )
9794, 95, 96mp2an 653 . . . . . . . . . . 11  |-  { r }  ~~  { q }
9897a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  F )  /\  ( q  e.  G  /\  -.  q  e.  ( F  \  { r } )  /\  (
( F  \  {
r } )  u.  ( H  u.  {
q } ) )  e.  I ) )  /\  ( i  e. 
~P ( G  \  { q } )  /\  ( ( F 
\  { r } )  ~~  i  /\  ( i  u.  ( H  u.  { q } ) )  e.  I ) ) )  ->  { r } 
~~  { q } )
99 incom 3361 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F  \  { r } )  i^i  {
r } )  =  ( { r }  i^i  ( F  \  { r } ) )
100 disjdif 3526 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( { r }  i^i  ( F  \  { r } ) )  =  (/)
10199, 100eqtri 2303 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  \  { r } )  i^i  {
r } )  =  (/)
102101a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  F )  /\  ( q  e.  G  /\  -.  q  e.  ( F  \  { r } )  /\  (
( F  \  {
r } )  u.  ( H  u.  {
q } ) )  e.  I ) )  /\  ( i  e. 
~P ( G  \  { q } )  /\  ( ( F 
\  { r } )  ~~  i  /\  ( i  u.  ( H  u.  { q } ) )  e.  I ) ) )  ->  ( ( F 
\  { r } )  i^i  { r } )  =  (/) )
103 ssdifin0 3535 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i 
C_  ( G  \  { q } )  ->  ( i  i^i 
{ q } )  =  (/) )
10479, 103syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  F )  /\  ( q  e.  G  /\  -.  q  e.  ( F  \  { r } )  /\  (
( F  \  {
r } )  u.  ( H  u.  {
q } ) )  e.  I ) )  /\  ( i  e. 
~P ( G  \  { q } )  /\  ( ( F 
\  { r } )  ~~  i  /\  ( i  u.  ( H  u.  { q } ) )  e.  I ) ) )  ->  ( i  i^i 
{ q } )  =  (/) )
105 unen 6943 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( F  \  { r } ) 
~~  i  /\  {
r }  ~~  {
q } )  /\  ( ( ( F 
\  { r } )  i^i  { r } )  =  (/)  /\  ( i  i^i  {
q } )  =  (/) ) )  ->  (
( F  \  {
r } )  u. 
{ r } ) 
~~  ( i  u. 
{ q } ) )
10693, 98, 102, 104, 105syl22anc 1183 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  F )  /\  ( q  e.  G  /\  -.  q  e.  ( F  \  { r } )  /\  (
( F  \  {
r } )  u.  ( H  u.  {
q } ) )  e.  I ) )  /\  ( i  e. 
~P ( G  \  { q } )  /\  ( ( F 
\  { r } )  ~~  i  /\  ( i  u.  ( H  u.  { q } ) )  e.  I ) ) )  ->  ( ( F 
\  { r } )  u.  { r } )  ~~  (
i  u.  { q } ) )
10792, 106eqbrtrrd 4045 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  F )  /\  ( q  e.  G  /\  -.  q  e.  ( F  \  { r } )  /\  (
( F  \  {
r } )  u.  ( H  u.  {
q } ) )  e.  I ) )  /\  ( i  e. 
~P ( G  \  { q } )  /\  ( ( F 
\  { r } )  ~~  i  /\  ( i  u.  ( H  u.  { q } ) )  e.  I ) ) )  ->  F  ~~  (
i  u.  { q } ) )
108 unass 3332 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( i  u.  { q } )  u.  H
)  =  ( i  u.  ( { q }  u.  H ) )
109 uncom 3319 . . . . . . . . . . 11  |-  ( { q }  u.  H
)  =  ( H  u.  { q } )
110109uneq2i 3326 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  u.  ( { q }  u.  H ) )  =  ( i  u.  ( H  u.  { q } ) )
111108, 110eqtr2i 2304 . . . . . . . . 9  |-  ( i  u.  ( H  u.  { q } ) )  =  ( ( i  u.  { q } )  u.  H )
112 simprrr 741 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  F )  /\  ( q  e.  G  /\  -.  q  e.  ( F  \  { r } )  /\  (
( F  \  {
r } )  u.  ( H  u.  {
q } ) )  e.  I ) )  /\  ( i  e. 
~P ( G  \  { q } )  /\  ( ( F 
\  { r } )  ~~  i  /\  ( i  u.  ( H  u.  { q } ) )  e.  I ) ) )  ->  ( i  u.  ( H  u.  {
q } ) )  e.  I )
113111, 112syl5eqelr 2368 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  F )  /\  ( q  e.  G  /\  -.  q  e.  ( F  \  { r } )  /\  (
( F  \  {
r } )  u.  ( H  u.  {
q } ) )  e.  I ) )  /\  ( i  e. 
~P ( G  \  { q } )  /\  ( ( F 
\  { r } )  ~~  i  /\  ( i  u.  ( H  u.  { q } ) )  e.  I ) ) )  ->  ( ( i  u.  { q } )  u.  H )  e.  I )
114 breq2 4027 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  =  ( i  u. 
{ q } )  ->  ( F  ~~  j 
<->  F  ~~  ( i  u.  { q } ) ) )
115 uneq1 3322 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  =  ( i  u. 
{ q } )  ->  ( j  u.  H )  =  ( ( i  u.  {
q } )  u.  H ) )
116115eleq1d 2349 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  =  ( i  u. 
{ q } )  ->  ( ( j  u.  H )  e.  I  <->  ( ( i  u.  { q } )  u.  H )  e.  I ) )
117114, 116anbi12d 691 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  ( i  u. 
{ q } )  ->  ( ( F 
~~  j  /\  (
j  u.  H )  e.  I )  <->  ( F  ~~  ( i  u.  {
q } )  /\  ( ( i  u. 
{ q } )  u.  H )  e.  I ) ) )
118117rspcev 2884 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( i  u.  {
q } )  e. 
~P G  /\  ( F  ~~  ( i  u. 
{ q } )  /\  ( ( i  u.  { q } )  u.  H )  e.  I ) )  ->  E. j  e.  ~P  G ( F  ~~  j  /\  ( j  u.  H )  e.  I
) )
11990, 107, 113, 118syl12anc 1180 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  F )  /\  ( q  e.  G  /\  -.  q  e.  ( F  \  { r } )  /\  (
( F  \  {
r } )  u.  ( H  u.  {
q } ) )  e.  I ) )  /\  ( i  e. 
~P ( G  \  { q } )  /\  ( ( F 
\  { r } )  ~~  i  /\  ( i  u.  ( H  u.  { q } ) )  e.  I ) ) )  ->  E. j  e.  ~P  G ( F  ~~  j  /\  ( j  u.  H )  e.  I
) )
12077, 119rexlimddv 2671 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  F )  /\  (
q  e.  G  /\  -.  q  e.  ( F  \  { r } )  /\  ( ( F  \  { r } )  u.  ( H  u.  { q } ) )  e.  I ) )  ->  E. j  e.  ~P  G ( F  ~~  j  /\  ( j  u.  H )  e.  I
) )
12129, 120sylan2br 462 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  F )  /\  (
q  e.  G  /\  ( -.  q  e.  ( F  \  { r } )  /\  (
( F  \  {
r } )  u.  ( H  u.  {
q } ) )  e.  I ) ) )  ->  E. j  e.  ~P  G ( F 
~~  j  /\  (
j  u.  H )  e.  I ) )
12228, 121rexlimddv 2671 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  r  e.  F )  ->  E. j  e.  ~P  G ( F 
~~  j  /\  (
j  u.  H )  e.  I ) )
123122adantlr 695 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  F  =/=  (/) )  /\  r  e.  F )  ->  E. j  e.  ~P  G ( F 
~~  j  /\  (
j  u.  H )  e.  I ) )
12420, 123exlimddv 1665 . 2  |-  ( (
ph  /\  F  =/=  (/) )  ->  E. j  e.  ~P  G ( F 
~~  j  /\  (
j  u.  H )  e.  I ) )
12517, 124pm2.61dane 2524 1  |-  ( ph  ->  E. j  e.  ~P  G ( F  ~~  j  /\  ( j  u.  H )  e.  I
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    /\ w3a 934   A.wal 1527   E.wex 1528    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543   E.wrex 2544   _Vcvv 2788    \ cdif 3149    u. cun 3150    i^i cin 3151    C_ wss 3152   (/)c0 3455   ~Pcpw 3625   {csn 3640   class class class wbr 4023   suc csuc 4394   omcom 4656   ` cfv 5255    ~~ cen 6860  Moorecmre 13484  mrClscmrc 13485  mrIndcmri 13486
This theorem is referenced by:  mreexexd  13550
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-1o 6479  df-er 6660  df-en 6864  df-fin 6867  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-mri 13490
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