Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mreexmrid Structured version   Unicode version

Theorem mreexmrid 13870
 Description: In a Moore system whose closure operator has the exchange property, if a set is independent and an element is not in its closure, then adding the element to the set gives another independent set. Lemma 4.1.5 in [FaureFrolicher] p. 84. (Contributed by David Moews, 1-May-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
mreexmrid.1 Moore
mreexmrid.2 mrCls
mreexmrid.3 mrInd
mreexmrid.4
mreexmrid.5
mreexmrid.6
mreexmrid.7
Assertion
Ref Expression
mreexmrid
Distinct variable groups:   ,,   ,,,   ,,,   ,,,   ,,,
Allowed substitution hints:   (,,)   (,,)   ()

Proof of Theorem mreexmrid
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mreexmrid.2 . 2 mrCls
2 mreexmrid.3 . 2 mrInd
3 mreexmrid.1 . 2 Moore
4 mreexmrid.5 . . . 4
52, 3, 4mrissd 13863 . . 3
6 mreexmrid.6 . . . 4
76snssd 3945 . . 3
85, 7unssd 3525 . 2
933ad2ant1 979 . . . . . . . . . 10 Moore
109elfvexd 5761 . . . . . . . . 9
11 mreexmrid.4 . . . . . . . . . 10
12113ad2ant1 979 . . . . . . . . 9
1343ad2ant1 979 . . . . . . . . . . 11
142, 9, 13mrissd 13863 . . . . . . . . . 10
1514ssdifssd 3487 . . . . . . . . 9
1663ad2ant1 979 . . . . . . . . 9
17 simp3 960 . . . . . . . . . 10
18 difundir 3596 . . . . . . . . . . . 12
19 simp2 959 . . . . . . . . . . . . . . . 16
203, 1, 5mrcssidd 13852 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
21 mreexmrid.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2220, 21ssneldd 3353 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
23223ad2ant1 979 . . . . . . . . . . . . . . . 16
24 nelneq 2536 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2519, 23, 24syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . 15
26 elsni 3840 . . . . . . . . . . . . . . 15
2725, 26nsyl 116 . . . . . . . . . . . . . 14
28 difsnb 3942 . . . . . . . . . . . . . 14
2927, 28sylib 190 . . . . . . . . . . . . 13
3029uneq2d 3503 . . . . . . . . . . . 12
3118, 30syl5eq 2482 . . . . . . . . . . 11
3231fveq2d 5734 . . . . . . . . . 10
3317, 32eleqtrd 2514 . . . . . . . . 9
341, 2, 9, 13, 19ismri2dad 13864 . . . . . . . . 9
3510, 12, 15, 16, 33, 34mreexd 13869 . . . . . . . 8
36213ad2ant1 979 . . . . . . . . 9
37 undif1 3705 . . . . . . . . . . 11
3819snssd 3945 . . . . . . . . . . . 12
39 ssequn2 3522 . . . . . . . . . . . 12
4038, 39sylib 190 . . . . . . . . . . 11
4137, 40syl5eq 2482 . . . . . . . . . 10
4241fveq2d 5734 . . . . . . . . 9
4336, 42neleqtrrd 2534 . . . . . . . 8
4435, 43pm2.65i 168 . . . . . . 7
45 df-3an 939 . . . . . . 7
4644, 45mtbi 291 . . . . . 6
4746imnani 414 . . . . 5
4847adantlr 697 . . . 4
4926adantl 454 . . . . . 6
5021ad2antrr 708 . . . . . 6
5149, 50eqneltrd 2531 . . . . 5
5249sneqd 3829 . . . . . . . . 9
5352difeq2d 3467 . . . . . . . 8
54 difun2 3709 . . . . . . . 8
5553, 54syl6eq 2486 . . . . . . 7
56 difsnb 3942 . . . . . . . . 9
5722, 56sylib 190 . . . . . . . 8
5857ad2antrr 708 . . . . . . 7
5955, 58eqtrd 2470 . . . . . 6
6059fveq2d 5734 . . . . 5
6151, 60neleqtrrd 2534 . . . 4
62 simpr 449 . . . . 5
63 elun 3490 . . . . 5
6462, 63sylib 190 . . . 4
6548, 61, 64mpjaodan 763 . . 3
6665ralrimiva 2791 . 2
671, 2, 3, 8, 66ismri2dd 13861 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wo 359   wa 360   w3a 937   wceq 1653   wcel 1726  wral 2707  cvv 2958   cdif 3319   cun 3320   wss 3322  cpw 3801  csn 3816  cfv 5456  Moorecmre 13809  mrClscmrc 13810  mrIndcmri 13811 This theorem is referenced by:  mreexexlem2d  13872 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-id 4500  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-fv 5464  df-mre 13813  df-mrc 13814  df-mri 13815
 Copyright terms: Public domain W3C validator