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Theorem mreexmrid 13870
Description: In a Moore system whose closure operator has the exchange property, if a set is independent and an element is not in its closure, then adding the element to the set gives another independent set. Lemma 4.1.5 in [FaureFrolicher] p. 84. (Contributed by David Moews, 1-May-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
mreexmrid.1  |-  ( ph  ->  A  e.  (Moore `  X ) )
mreexmrid.2  |-  N  =  (mrCls `  A )
mreexmrid.3  |-  I  =  (mrInd `  A )
mreexmrid.4  |-  ( ph  ->  A. s  e.  ~P  X A. y  e.  X  A. z  e.  (
( N `  (
s  u.  { y } ) )  \ 
( N `  s
) ) y  e.  ( N `  (
s  u.  { z } ) ) )
mreexmrid.5  |-  ( ph  ->  S  e.  I )
mreexmrid.6  |-  ( ph  ->  Y  e.  X )
mreexmrid.7  |-  ( ph  ->  -.  Y  e.  ( N `  S ) )
Assertion
Ref Expression
mreexmrid  |-  ( ph  ->  ( S  u.  { Y } )  e.  I
)
Distinct variable groups:    X, s,
y    S, s, z, y    ph, s, y, z    Y, s, y, z    N, s, y, z
Allowed substitution hints:    A( y, z, s)    I( y, z, s)    X( z)

Proof of Theorem mreexmrid
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mreexmrid.2 . 2  |-  N  =  (mrCls `  A )
2 mreexmrid.3 . 2  |-  I  =  (mrInd `  A )
3 mreexmrid.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  (Moore `  X ) )
4 mreexmrid.5 . . . 4  |-  ( ph  ->  S  e.  I )
52, 3, 4mrissd 13863 . . 3  |-  ( ph  ->  S  C_  X )
6 mreexmrid.6 . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  X )
76snssd 3945 . . 3  |-  ( ph  ->  { Y }  C_  X )
85, 7unssd 3525 . 2  |-  ( ph  ->  ( S  u.  { Y } )  C_  X
)
933ad2ant1 979 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S  /\  x  e.  ( N `  ( ( S  u.  { Y } )  \  {
x } ) ) )  ->  A  e.  (Moore `  X ) )
109elfvexd 5761 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S  /\  x  e.  ( N `  ( ( S  u.  { Y } )  \  {
x } ) ) )  ->  X  e.  _V )
11 mreexmrid.4 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A. s  e.  ~P  X A. y  e.  X  A. z  e.  (
( N `  (
s  u.  { y } ) )  \ 
( N `  s
) ) y  e.  ( N `  (
s  u.  { z } ) ) )
12113ad2ant1 979 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S  /\  x  e.  ( N `  ( ( S  u.  { Y } )  \  {
x } ) ) )  ->  A. s  e.  ~P  X A. y  e.  X  A. z  e.  ( ( N `  ( s  u.  {
y } ) ) 
\  ( N `  s ) ) y  e.  ( N `  ( s  u.  {
z } ) ) )
1343ad2ant1 979 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S  /\  x  e.  ( N `  ( ( S  u.  { Y } )  \  {
x } ) ) )  ->  S  e.  I )
142, 9, 13mrissd 13863 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S  /\  x  e.  ( N `  ( ( S  u.  { Y } )  \  {
x } ) ) )  ->  S  C_  X
)
1514ssdifssd 3487 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S  /\  x  e.  ( N `  ( ( S  u.  { Y } )  \  {
x } ) ) )  ->  ( S  \  { x } ) 
C_  X )
1663ad2ant1 979 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S  /\  x  e.  ( N `  ( ( S  u.  { Y } )  \  {
x } ) ) )  ->  Y  e.  X )
17 simp3 960 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S  /\  x  e.  ( N `  ( ( S  u.  { Y } )  \  {
x } ) ) )  ->  x  e.  ( N `  ( ( S  u.  { Y } )  \  {
x } ) ) )
18 difundir 3596 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( S  u.  { Y } )  \  {
x } )  =  ( ( S  \  { x } )  u.  ( { Y }  \  { x }
) )
19 simp2 959 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S  /\  x  e.  ( N `  ( ( S  u.  { Y } )  \  {
x } ) ) )  ->  x  e.  S )
203, 1, 5mrcssidd 13852 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  S  C_  ( N `  S ) )
21 mreexmrid.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  -.  Y  e.  ( N `  S ) )
2220, 21ssneldd 3353 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  -.  Y  e.  S
)
23223ad2ant1 979 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S  /\  x  e.  ( N `  ( ( S  u.  { Y } )  \  {
x } ) ) )  ->  -.  Y  e.  S )
24 nelneq 2536 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  S  /\  -.  Y  e.  S
)  ->  -.  x  =  Y )
2519, 23, 24syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S  /\  x  e.  ( N `  ( ( S  u.  { Y } )  \  {
x } ) ) )  ->  -.  x  =  Y )
26 elsni 3840 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  { Y }  ->  x  =  Y )
2725, 26nsyl 116 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S  /\  x  e.  ( N `  ( ( S  u.  { Y } )  \  {
x } ) ) )  ->  -.  x  e.  { Y } )
28 difsnb 3942 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -.  x  e.  { Y } 
<->  ( { Y }  \  { x } )  =  { Y }
)
2927, 28sylib 190 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S  /\  x  e.  ( N `  ( ( S  u.  { Y } )  \  {
x } ) ) )  ->  ( { Y }  \  { x } )  =  { Y } )
3029uneq2d 3503 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S  /\  x  e.  ( N `  ( ( S  u.  { Y } )  \  {
x } ) ) )  ->  ( ( S  \  { x }
)  u.  ( { Y }  \  {
x } ) )  =  ( ( S 
\  { x }
)  u.  { Y } ) )
3118, 30syl5eq 2482 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S  /\  x  e.  ( N `  ( ( S  u.  { Y } )  \  {
x } ) ) )  ->  ( ( S  u.  { Y } )  \  {
x } )  =  ( ( S  \  { x } )  u.  { Y }
) )
3231fveq2d 5734 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S  /\  x  e.  ( N `  ( ( S  u.  { Y } )  \  {
x } ) ) )  ->  ( N `  ( ( S  u.  { Y } )  \  { x } ) )  =  ( N `
 ( ( S 
\  { x }
)  u.  { Y } ) ) )
3317, 32eleqtrd 2514 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S  /\  x  e.  ( N `  ( ( S  u.  { Y } )  \  {
x } ) ) )  ->  x  e.  ( N `  ( ( S  \  { x } )  u.  { Y } ) ) )
341, 2, 9, 13, 19ismri2dad 13864 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S  /\  x  e.  ( N `  ( ( S  u.  { Y } )  \  {
x } ) ) )  ->  -.  x  e.  ( N `  ( S  \  { x }
) ) )
3510, 12, 15, 16, 33, 34mreexd 13869 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S  /\  x  e.  ( N `  ( ( S  u.  { Y } )  \  {
x } ) ) )  ->  Y  e.  ( N `  ( ( S  \  { x } )  u.  {
x } ) ) )
36213ad2ant1 979 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S  /\  x  e.  ( N `  ( ( S  u.  { Y } )  \  {
x } ) ) )  ->  -.  Y  e.  ( N `  S
) )
37 undif1 3705 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( S  \  { x } )  u.  {
x } )  =  ( S  u.  {
x } )
3819snssd 3945 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S  /\  x  e.  ( N `  ( ( S  u.  { Y } )  \  {
x } ) ) )  ->  { x }  C_  S )
39 ssequn2 3522 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( { x }  C_  S  <->  ( S  u.  { x } )  =  S )
4038, 39sylib 190 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S  /\  x  e.  ( N `  ( ( S  u.  { Y } )  \  {
x } ) ) )  ->  ( S  u.  { x } )  =  S )
4137, 40syl5eq 2482 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S  /\  x  e.  ( N `  ( ( S  u.  { Y } )  \  {
x } ) ) )  ->  ( ( S  \  { x }
)  u.  { x } )  =  S )
4241fveq2d 5734 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S  /\  x  e.  ( N `  ( ( S  u.  { Y } )  \  {
x } ) ) )  ->  ( N `  ( ( S  \  { x } )  u.  { x }
) )  =  ( N `  S ) )
4336, 42neleqtrrd 2534 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S  /\  x  e.  ( N `  ( ( S  u.  { Y } )  \  {
x } ) ) )  ->  -.  Y  e.  ( N `  (
( S  \  {
x } )  u. 
{ x } ) ) )
4435, 43pm2.65i 168 . . . . . . 7  |-  -.  ( ph  /\  x  e.  S  /\  x  e.  ( N `  ( ( S  u.  { Y } )  \  {
x } ) ) )
45 df-3an 939 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S  /\  x  e.  ( N `  ( ( S  u.  { Y } )  \  {
x } ) ) )  <->  ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  x  e.  ( N `  ( ( S  u.  { Y } )  \  {
x } ) ) ) )
4644, 45mtbi 291 . . . . . 6  |-  -.  (
( ph  /\  x  e.  S )  /\  x  e.  ( N `  (
( S  u.  { Y } )  \  {
x } ) ) )
4746imnani 414 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  -.  x  e.  ( N `  ( ( S  u.  { Y } )  \  { x } ) ) )
4847adantlr 697 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( S  u.  { Y } ) )  /\  x  e.  S )  ->  -.  x  e.  ( N `  ( ( S  u.  { Y } )  \  {
x } ) ) )
4926adantl 454 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( S  u.  { Y } ) )  /\  x  e.  { Y } )  ->  x  =  Y )
5021ad2antrr 708 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( S  u.  { Y } ) )  /\  x  e.  { Y } )  ->  -.  Y  e.  ( N `  S ) )
5149, 50eqneltrd 2531 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( S  u.  { Y } ) )  /\  x  e.  { Y } )  ->  -.  x  e.  ( N `  S ) )
5249sneqd 3829 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( S  u.  { Y } ) )  /\  x  e.  { Y } )  ->  { x }  =  { Y } )
5352difeq2d 3467 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( S  u.  { Y } ) )  /\  x  e.  { Y } )  ->  (
( S  u.  { Y } )  \  {
x } )  =  ( ( S  u.  { Y } )  \  { Y } ) )
54 difun2 3709 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  u.  { Y } )  \  { Y } )  =  ( S  \  { Y } )
5553, 54syl6eq 2486 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( S  u.  { Y } ) )  /\  x  e.  { Y } )  ->  (
( S  u.  { Y } )  \  {
x } )  =  ( S  \  { Y } ) )
56 difsnb 3942 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  Y  e.  S  <->  ( S  \  { Y } )  =  S )
5722, 56sylib 190 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( S  \  { Y } )  =  S )
5857ad2antrr 708 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( S  u.  { Y } ) )  /\  x  e.  { Y } )  ->  ( S  \  { Y }
)  =  S )
5955, 58eqtrd 2470 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( S  u.  { Y } ) )  /\  x  e.  { Y } )  ->  (
( S  u.  { Y } )  \  {
x } )  =  S )
6059fveq2d 5734 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( S  u.  { Y } ) )  /\  x  e.  { Y } )  ->  ( N `  ( ( S  u.  { Y } )  \  {
x } ) )  =  ( N `  S ) )
6151, 60neleqtrrd 2534 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( S  u.  { Y } ) )  /\  x  e.  { Y } )  ->  -.  x  e.  ( N `  ( ( S  u.  { Y } )  \  { x } ) ) )
62 simpr 449 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( S  u.  { Y } ) )  ->  x  e.  ( S  u.  { Y } ) )
63 elun 3490 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( S  u.  { Y } )  <->  ( x  e.  S  \/  x  e.  { Y } ) )
6462, 63sylib 190 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( S  u.  { Y } ) )  -> 
( x  e.  S  \/  x  e.  { Y } ) )
6548, 61, 64mpjaodan 763 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( S  u.  { Y } ) )  ->  -.  x  e.  ( N `  ( ( S  u.  { Y } )  \  {
x } ) ) )
6665ralrimiva 2791 . 2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( S  u.  { Y } )  -.  x  e.  ( N `  (
( S  u.  { Y } )  \  {
x } ) ) )
671, 2, 3, 8, 66ismri2dd 13861 1  |-  ( ph  ->  ( S  u.  { Y } )  e.  I
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 359    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2707   _Vcvv 2958    \ cdif 3319    u. cun 3320    C_ wss 3322   ~Pcpw 3801   {csn 3816   ` cfv 5456  Moorecmre 13809  mrClscmrc 13810  mrIndcmri 13811
This theorem is referenced by:  mreexexlem2d  13872
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-id 4500  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-fv 5464  df-mre 13813  df-mrc 13814  df-mri 13815
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