MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mress Unicode version

Theorem mress 13777
Description: A Moore-closed subset is a subset. (Contributed by Stefan O'Rear, 31-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
mress  |-  ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  S  e.  C )  ->  S  C_  X )

Proof of Theorem mress
StepHypRef Expression
1 mresspw 13776 . . 3  |-  ( C  e.  (Moore `  X
)  ->  C  C_  ~P X )
21sselda 3312 . 2  |-  ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  S  e.  C )  ->  S  e.  ~P X )
32elpwid 3772 1  |-  ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  S  e.  C )  ->  S  C_  X )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    e. wcel 1721    C_ wss 3284   ~Pcpw 3763   ` cfv 5417  Moorecmre 13766
This theorem is referenced by:  mreriincl  13782  mrcid  13797  mrcsscl  13804  submrc  13812  acsfiel  13838  mrelatglb0  14570  isnacs3  26658
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2389  ax-sep 4294  ax-nul 4302  ax-pow 4341  ax-pr 4367
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2262  df-mo 2263  df-clab 2395  df-cleq 2401  df-clel 2404  df-nfc 2533  df-ne 2573  df-ral 2675  df-rex 2676  df-rab 2679  df-v 2922  df-sbc 3126  df-dif 3287  df-un 3289  df-in 3291  df-ss 3298  df-nul 3593  df-if 3704  df-pw 3765  df-sn 3784  df-pr 3785  df-op 3787  df-uni 3980  df-br 4177  df-opab 4231  df-mpt 4232  df-id 4462  df-xp 4847  df-rel 4848  df-cnv 4849  df-co 4850  df-dm 4851  df-iota 5381  df-fun 5419  df-fv 5425  df-mre 13770
  Copyright terms: Public domain W3C validator