MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mresspw Unicode version

Theorem mresspw 13772
Description: A Moore collection is a subset of the power of the base set; each closed subset of the system is actually a subset of the base. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
mresspw  |-  ( C  e.  (Moore `  X
)  ->  C  C_  ~P X )

Proof of Theorem mresspw
Dummy variable  s is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ismre 13770 . 2  |-  ( C  e.  (Moore `  X
)  <->  ( C  C_  ~P X  /\  X  e.  C  /\  A. s  e.  ~P  C ( s  =/=  (/)  ->  |^| s  e.  C ) ) )
21simp1bi 972 1  |-  ( C  e.  (Moore `  X
)  ->  C  C_  ~P X )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1721    =/= wne 2567   A.wral 2666    C_ wss 3280   (/)c0 3588   ~Pcpw 3759   |^|cint 4010   ` cfv 5413  Moorecmre 13762
This theorem is referenced by:  mress  13773  mrerintcl  13777  mreuni  13780  mremre  13784  isacs2  13833  mreacs  13838  isacs3lem  14547  dmdprdd  15515  dprdfeq0  15535  dprdss  15542  dprdz  15543  subgdmdprd  15547  subgdprd  15548  dprd2dlem1  15554  dprd2da  15555  dmdprdsplit2lem  15558  mretopd  17111  ismrc  26645
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fv 5421  df-mre 13766
  Copyright terms: Public domain W3C validator