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Theorem mretopd 17148
Description: A Moore collection which is closed under finite unions called topological; such a collection is the closed sets of a canonically associated topology. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mretopd.m  |-  ( ph  ->  M  e.  (Moore `  B ) )
mretopd.z  |-  ( ph  -> 
(/)  e.  M )
mretopd.u  |-  ( (
ph  /\  x  e.  M  /\  y  e.  M
)  ->  ( x  u.  y )  e.  M
)
mretopd.j  |-  J  =  { z  e.  ~P B  |  ( B  \  z )  e.  M }
Assertion
Ref Expression
mretopd  |-  ( ph  ->  ( J  e.  (TopOn `  B )  /\  M  =  ( Clsd `  J
) ) )
Distinct variable groups:    ph, x, y, z    x, M, y, z    x, J, y   
x, B, y, z
Allowed substitution hint:    J( z)

Proof of Theorem mretopd
Dummy variables  a 
b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 unieq 4016 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  (/)  ->  U. a  =  U. (/) )
2 uni0 4034 . . . . . . . . 9  |-  U. (/)  =  (/)
31, 2syl6eq 2483 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  (/)  ->  U. a  =  (/) )
43eleq1d 2501 . . . . . . 7  |-  ( a  =  (/)  ->  ( U. a  e.  J  <->  (/)  e.  J
) )
5 mretopd.j . . . . . . . . . . . . . 14  |-  J  =  { z  e.  ~P B  |  ( B  \  z )  e.  M }
6 ssrab2 3420 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  { z  e.  ~P B  | 
( B  \  z
)  e.  M }  C_ 
~P B
75, 6eqsstri 3370 . . . . . . . . . . . . 13  |-  J  C_  ~P B
8 sstr 3348 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( a  C_  J  /\  J  C_  ~P B )  ->  a  C_  ~P B )
97, 8mpan2 653 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a 
C_  J  ->  a  C_ 
~P B )
109adantl 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  a  C_  J )  ->  a  C_ 
~P B )
11 sspwuni 4168 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a 
C_  ~P B  <->  U. a  C_  B )
1210, 11sylib 189 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  a  C_  J )  ->  U. a  C_  B )
13 vex 2951 . . . . . . . . . . . 12  |-  a  e. 
_V
1413uniex 4697 . . . . . . . . . . 11  |-  U. a  e.  _V
1514elpw 3797 . . . . . . . . . 10  |-  ( U. a  e.  ~P B  <->  U. a  C_  B )
1612, 15sylibr 204 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  a  C_  J )  ->  U. a  e.  ~P B )
1716adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  a  C_  J )  /\  a  =/=  (/) )  ->  U. a  e.  ~P B )
18 uniiun 4136 . . . . . . . . . 10  |-  U. a  =  U_ b  e.  a  b
1918difeq2i 3454 . . . . . . . . 9  |-  ( B 
\  U. a )  =  ( B  \  U_ b  e.  a  b
)
20 iindif2 4152 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =/=  (/)  ->  |^|_ b  e.  a  ( B  \ 
b )  =  ( B  \  U_ b  e.  a  b )
)
2120adantl 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  a  C_  J )  /\  a  =/=  (/) )  ->  |^|_ b  e.  a  ( B  \  b )  =  ( B  \  U_ b  e.  a  b )
)
22 mretopd.m . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  M  e.  (Moore `  B ) )
2322ad2antrr 707 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  a  C_  J )  /\  a  =/=  (/) )  ->  M  e.  (Moore `  B )
)
24 simpr 448 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  a  C_  J )  /\  a  =/=  (/) )  ->  a  =/=  (/) )
25 difeq2 3451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =  b  ->  ( B  \  z )  =  ( B  \  b
) )
2625eleq1d 2501 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  b  ->  (
( B  \  z
)  e.  M  <->  ( B  \  b )  e.  M
) )
2726, 5elrab2 3086 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( b  e.  J  <->  ( b  e.  ~P B  /\  ( B  \  b )  e.  M ) )
2827simprbi 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( b  e.  J  ->  ( B  \  b )  e.  M )
2928rgen 2763 . . . . . . . . . . . . 13  |-  A. b  e.  J  ( B  \  b )  e.  M
30 ssralv 3399 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a 
C_  J  ->  ( A. b  e.  J  ( B  \  b
)  e.  M  ->  A. b  e.  a 
( B  \  b
)  e.  M ) )
3130adantl 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  a  C_  J )  ->  ( A. b  e.  J  ( B  \  b
)  e.  M  ->  A. b  e.  a 
( B  \  b
)  e.  M ) )
3229, 31mpi 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  a  C_  J )  ->  A. b  e.  a  ( B  \  b )  e.  M
)
3332adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  a  C_  J )  /\  a  =/=  (/) )  ->  A. b  e.  a  ( B  \  b )  e.  M
)
34 mreiincl 13813 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  (Moore `  B )  /\  a  =/=  (/)  /\  A. b  e.  a  ( B  \  b )  e.  M
)  ->  |^|_ b  e.  a  ( B  \ 
b )  e.  M
)
3523, 24, 33, 34syl3anc 1184 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  a  C_  J )  /\  a  =/=  (/) )  ->  |^|_ b  e.  a  ( B  \  b )  e.  M
)
3621, 35eqeltrrd 2510 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  a  C_  J )  /\  a  =/=  (/) )  ->  ( B  \  U_ b  e.  a  b )  e.  M )
3719, 36syl5eqel 2519 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  a  C_  J )  /\  a  =/=  (/) )  ->  ( B  \  U. a )  e.  M )
38 difeq2 3451 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  U. a  -> 
( B  \  z
)  =  ( B 
\  U. a ) )
3938eleq1d 2501 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  U. a  -> 
( ( B  \ 
z )  e.  M  <->  ( B  \  U. a
)  e.  M ) )
4039, 5elrab2 3086 . . . . . . . 8  |-  ( U. a  e.  J  <->  ( U. a  e.  ~P B  /\  ( B  \  U. a )  e.  M
) )
4117, 37, 40sylanbrc 646 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  a  C_  J )  /\  a  =/=  (/) )  ->  U. a  e.  J )
42 0elpw 4361 . . . . . . . . . 10  |-  (/)  e.  ~P B
4342a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  -> 
(/)  e.  ~P B
)
44 mre1cl 13811 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  (Moore `  B
)  ->  B  e.  M )
4522, 44syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  B  e.  M )
46 difeq2 3451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  (/)  ->  ( B 
\  z )  =  ( B  \  (/) ) )
47 dif0 3690 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B 
\  (/) )  =  B
4846, 47syl6eq 2483 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  (/)  ->  ( B 
\  z )  =  B )
4948eleq1d 2501 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  (/)  ->  ( ( B  \  z )  e.  M  <->  B  e.  M ) )
5049, 5elrab2 3086 . . . . . . . . 9  |-  ( (/)  e.  J  <->  ( (/)  e.  ~P B  /\  B  e.  M
) )
5143, 45, 50sylanbrc 646 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> 
(/)  e.  J )
5251adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  a  C_  J )  ->  (/)  e.  J
)
534, 41, 52pm2.61ne 2673 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  a  C_  J )  ->  U. a  e.  J )
5453ex 424 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( a  C_  J  ->  U. a  e.  J
) )
5554alrimiv 1641 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. a ( a 
C_  J  ->  U. a  e.  J ) )
56 inss1 3553 . . . . . . . 8  |-  ( a  i^i  b )  C_  a
57 difeq2 3451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  a  ->  ( B  \  z )  =  ( B  \  a
) )
5857eleq1d 2501 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  a  ->  (
( B  \  z
)  e.  M  <->  ( B  \  a )  e.  M
) )
5958, 5elrab2 3086 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  e.  J  <->  ( a  e.  ~P B  /\  ( B  \  a )  e.  M ) )
6059simplbi 447 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  e.  J  ->  a  e.  ~P B )
6160elpwid 3800 . . . . . . . . 9  |-  ( a  e.  J  ->  a  C_  B )
6261ad2antrl 709 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  J  /\  b  e.  J ) )  -> 
a  C_  B )
6356, 62syl5ss 3351 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  J  /\  b  e.  J ) )  -> 
( a  i^i  b
)  C_  B )
6413inex1 4336 . . . . . . . 8  |-  ( a  i^i  b )  e. 
_V
6564elpw 3797 . . . . . . 7  |-  ( ( a  i^i  b )  e.  ~P B  <->  ( a  i^i  b )  C_  B
)
6663, 65sylibr 204 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  J  /\  b  e.  J ) )  -> 
( a  i^i  b
)  e.  ~P B
)
67 difindi 3587 . . . . . . 7  |-  ( B 
\  ( a  i^i  b ) )  =  ( ( B  \ 
a )  u.  ( B  \  b ) )
6859simprbi 451 . . . . . . . . 9  |-  ( a  e.  J  ->  ( B  \  a )  e.  M )
6968ad2antrl 709 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  J  /\  b  e.  J ) )  -> 
( B  \  a
)  e.  M )
7028ad2antll 710 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  J  /\  b  e.  J ) )  -> 
( B  \  b
)  e.  M )
71 simpl 444 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  J  /\  b  e.  J ) )  ->  ph )
72 uneq1 3486 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( B  \ 
a )  ->  (
x  u.  y )  =  ( ( B 
\  a )  u.  y ) )
7372eleq1d 2501 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( B  \ 
a )  ->  (
( x  u.  y
)  e.  M  <->  ( ( B  \  a )  u.  y )  e.  M
) )
7473imbi2d 308 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( B  \ 
a )  ->  (
( ph  ->  ( x  u.  y )  e.  M )  <->  ( ph  ->  ( ( B  \ 
a )  u.  y
)  e.  M ) ) )
75 uneq2 3487 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  ( B  \ 
b )  ->  (
( B  \  a
)  u.  y )  =  ( ( B 
\  a )  u.  ( B  \  b
) ) )
7675eleq1d 2501 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( B  \ 
b )  ->  (
( ( B  \ 
a )  u.  y
)  e.  M  <->  ( ( B  \  a )  u.  ( B  \  b
) )  e.  M
) )
7776imbi2d 308 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( B  \ 
b )  ->  (
( ph  ->  ( ( B  \  a )  u.  y )  e.  M )  <->  ( ph  ->  ( ( B  \ 
a )  u.  ( B  \  b ) )  e.  M ) ) )
78 mretopd.u . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  M  /\  y  e.  M
)  ->  ( x  u.  y )  e.  M
)
79783expb 1154 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  M  /\  y  e.  M ) )  -> 
( x  u.  y
)  e.  M )
8079expcom 425 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  M  /\  y  e.  M )  ->  ( ph  ->  (
x  u.  y )  e.  M ) )
8174, 77, 80vtocl2ga 3011 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( B  \  a
)  e.  M  /\  ( B  \  b
)  e.  M )  ->  ( ph  ->  ( ( B  \  a
)  u.  ( B 
\  b ) )  e.  M ) )
8281imp 419 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( B  \ 
a )  e.  M  /\  ( B  \  b
)  e.  M )  /\  ph )  -> 
( ( B  \ 
a )  u.  ( B  \  b ) )  e.  M )
8369, 70, 71, 82syl21anc 1183 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  J  /\  b  e.  J ) )  -> 
( ( B  \ 
a )  u.  ( B  \  b ) )  e.  M )
8467, 83syl5eqel 2519 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  J  /\  b  e.  J ) )  -> 
( B  \  (
a  i^i  b )
)  e.  M )
85 difeq2 3451 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  ( a  i^i  b )  ->  ( B  \  z )  =  ( B  \  (
a  i^i  b )
) )
8685eleq1d 2501 . . . . . . 7  |-  ( z  =  ( a  i^i  b )  ->  (
( B  \  z
)  e.  M  <->  ( B  \  ( a  i^i  b
) )  e.  M
) )
8786, 5elrab2 3086 . . . . . 6  |-  ( ( a  i^i  b )  e.  J  <->  ( (
a  i^i  b )  e.  ~P B  /\  ( B  \  ( a  i^i  b ) )  e.  M ) )
8866, 84, 87sylanbrc 646 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  J  /\  b  e.  J ) )  -> 
( a  i^i  b
)  e.  J )
8988ralrimivva 2790 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. a  e.  J  A. b  e.  J  ( a  i^i  b
)  e.  J )
90 pwexg 4375 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  M  ->  ~P B  e.  _V )
9145, 90syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ~P B  e.  _V )
92 rabexg 4345 . . . . . . 7  |-  ( ~P B  e.  _V  ->  { z  e.  ~P B  |  ( B  \ 
z )  e.  M }  e.  _V )
9391, 92syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { z  e.  ~P B  |  ( B  \  z )  e.  M }  e.  _V )
945, 93syl5eqel 2519 . . . . 5  |-  ( ph  ->  J  e.  _V )
95 istopg 16960 . . . . 5  |-  ( J  e.  _V  ->  ( J  e.  Top  <->  ( A. a ( a  C_  J  ->  U. a  e.  J
)  /\  A. a  e.  J  A. b  e.  J  ( a  i^i  b )  e.  J
) ) )
9694, 95syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( J  e.  Top  <->  ( A. a ( a  C_  J  ->  U. a  e.  J
)  /\  A. a  e.  J  A. b  e.  J  ( a  i^i  b )  e.  J
) ) )
9755, 89, 96mpbir2and 889 . . 3  |-  ( ph  ->  J  e.  Top )
987unissi 4030 . . . . . 6  |-  U. J  C_ 
U. ~P B
99 unipw 4406 . . . . . 6  |-  U. ~P B  =  B
10098, 99sseqtri 3372 . . . . 5  |-  U. J  C_  B
101 pwidg 3803 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  M  ->  B  e.  ~P B )
10245, 101syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  e.  ~P B
)
103 difid 3688 . . . . . . 7  |-  ( B 
\  B )  =  (/)
104 mretopd.z . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
(/)  e.  M )
105103, 104syl5eqel 2519 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( B  \  B
)  e.  M )
106 difeq2 3451 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  B  ->  ( B  \  z )  =  ( B  \  B
) )
107106eleq1d 2501 . . . . . . 7  |-  ( z  =  B  ->  (
( B  \  z
)  e.  M  <->  ( B  \  B )  e.  M
) )
108107, 5elrab2 3086 . . . . . 6  |-  ( B  e.  J  <->  ( B  e.  ~P B  /\  ( B  \  B )  e.  M ) )
109102, 105, 108sylanbrc 646 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  e.  J )
110 unissel 4036 . . . . 5  |-  ( ( U. J  C_  B  /\  B  e.  J
)  ->  U. J  =  B )
111100, 109, 110sylancr 645 . . . 4  |-  ( ph  ->  U. J  =  B )
112111eqcomd 2440 . . 3  |-  ( ph  ->  B  =  U. J
)
113 istopon 16982 . . 3  |-  ( J  e.  (TopOn `  B
)  <->  ( J  e. 
Top  /\  B  =  U. J ) )
11497, 112, 113sylanbrc 646 . 2  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  B ) )
115 eqid 2435 . . . . 5  |-  U. J  =  U. J
116115cldval 17079 . . . 4  |-  ( J  e.  Top  ->  ( Clsd `  J )  =  { x  e.  ~P U. J  |  ( U. J  \  x )  e.  J } )
11797, 116syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( Clsd `  J
)  =  { x  e.  ~P U. J  | 
( U. J  \  x )  e.  J } )
118111pweqd 3796 . . . 4  |-  ( ph  ->  ~P U. J  =  ~P B )
119111difeq1d 3456 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( U. J  \  x )  =  ( B  \  x ) )
120119eleq1d 2501 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( U. J  \  x )  e.  J  <->  ( B  \  x )  e.  J ) )
121118, 120rabeqbidv 2943 . . 3  |-  ( ph  ->  { x  e.  ~P U. J  |  ( U. J  \  x )  e.  J }  =  {
x  e.  ~P B  |  ( B  \  x )  e.  J } )
1225eleq2i 2499 . . . . . . 7  |-  ( ( B  \  x )  e.  J  <->  ( B  \  x )  e.  {
z  e.  ~P B  |  ( B  \ 
z )  e.  M } )
123 difss 3466 . . . . . . . . . 10  |-  ( B 
\  x )  C_  B
124 elpw2g 4355 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  e.  M  ->  (
( B  \  x
)  e.  ~P B  <->  ( B  \  x ) 
C_  B ) )
12545, 124syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( B  \  x )  e.  ~P B 
<->  ( B  \  x
)  C_  B )
)
126123, 125mpbiri 225 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( B  \  x
)  e.  ~P B
)
127 difeq2 3451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  ( B  \  x )  ->  ( B  \  z )  =  ( B  \  ( B  \  x ) ) )
128127eleq1d 2501 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  ( B  \  x )  ->  (
( B  \  z
)  e.  M  <->  ( B  \  ( B  \  x
) )  e.  M
) )
129128elrab3 3085 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  \  x )  e.  ~P B  -> 
( ( B  \  x )  e.  {
z  e.  ~P B  |  ( B  \ 
z )  e.  M } 
<->  ( B  \  ( B  \  x ) )  e.  M ) )
130126, 129syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( B  \  x )  e.  {
z  e.  ~P B  |  ( B  \ 
z )  e.  M } 
<->  ( B  \  ( B  \  x ) )  e.  M ) )
131130adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ~P B )  ->  (
( B  \  x
)  e.  { z  e.  ~P B  | 
( B  \  z
)  e.  M }  <->  ( B  \  ( B 
\  x ) )  e.  M ) )
132122, 131syl5bb 249 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ~P B )  ->  (
( B  \  x
)  e.  J  <->  ( B  \  ( B  \  x
) )  e.  M
) )
133 elpwi 3799 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ~P B  ->  x  C_  B )
134 dfss4 3567 . . . . . . . . 9  |-  ( x 
C_  B  <->  ( B  \  ( B  \  x
) )  =  x )
135133, 134sylib 189 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ~P B  -> 
( B  \  ( B  \  x ) )  =  x )
136135adantl 453 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ~P B )  ->  ( B  \  ( B  \  x ) )  =  x )
137136eleq1d 2501 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ~P B )  ->  (
( B  \  ( B  \  x ) )  e.  M  <->  x  e.  M ) )
138132, 137bitrd 245 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ~P B )  ->  (
( B  \  x
)  e.  J  <->  x  e.  M ) )
139138rabbidva 2939 . . . 4  |-  ( ph  ->  { x  e.  ~P B  |  ( B  \  x )  e.  J }  =  { x  e.  ~P B  |  x  e.  M } )
140 incom 3525 . . . . . 6  |-  ( M  i^i  ~P B )  =  ( ~P B  i^i  M )
141 dfin5 3320 . . . . . 6  |-  ( ~P B  i^i  M )  =  { x  e. 
~P B  |  x  e.  M }
142140, 141eqtri 2455 . . . . 5  |-  ( M  i^i  ~P B )  =  { x  e. 
~P B  |  x  e.  M }
143 mresspw 13809 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  (Moore `  B
)  ->  M  C_  ~P B )
14422, 143syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  M  C_  ~P B
)
145 df-ss 3326 . . . . . 6  |-  ( M 
C_  ~P B  <->  ( M  i^i  ~P B )  =  M )
146144, 145sylib 189 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( M  i^i  ~P B )  =  M )
147142, 146syl5eqr 2481 . . . 4  |-  ( ph  ->  { x  e.  ~P B  |  x  e.  M }  =  M
)
148139, 147eqtrd 2467 . . 3  |-  ( ph  ->  { x  e.  ~P B  |  ( B  \  x )  e.  J }  =  M )
149117, 121, 1483eqtrrd 2472 . 2  |-  ( ph  ->  M  =  ( Clsd `  J ) )
150114, 149jca 519 1  |-  ( ph  ->  ( J  e.  (TopOn `  B )  /\  M  =  ( Clsd `  J
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936   A.wal 1549    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2598   A.wral 2697   {crab 2701   _Vcvv 2948    \ cdif 3309    u. cun 3310    i^i cin 3311    C_ wss 3312   (/)c0 3620   ~Pcpw 3791   U.cuni 4007   U_ciun 4085   |^|_ciin 4086   ` cfv 5446  Moorecmre 13799   Topctop 16950  TopOnctopon 16951   Clsdccld 17072
This theorem is referenced by:  iscldtop  17151  istopclsd  26745
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-iin 4088  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fv 5454  df-mre 13803  df-top 16955  df-topon 16958  df-cld 17075
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