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Theorem mretopd 17081
Description: A Moore collection which is closed under finite unions called topological; such a collection is the closed sets of a canonically associated topology. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mretopd.m  |-  ( ph  ->  M  e.  (Moore `  B ) )
mretopd.z  |-  ( ph  -> 
(/)  e.  M )
mretopd.u  |-  ( (
ph  /\  x  e.  M  /\  y  e.  M
)  ->  ( x  u.  y )  e.  M
)
mretopd.j  |-  J  =  { z  e.  ~P B  |  ( B  \  z )  e.  M }
Assertion
Ref Expression
mretopd  |-  ( ph  ->  ( J  e.  (TopOn `  B )  /\  M  =  ( Clsd `  J
) ) )
Distinct variable groups:    ph, x, y, z    x, M, y, z    x, J, y   
x, B, y, z
Allowed substitution hint:    J( z)

Proof of Theorem mretopd
Dummy variables  a 
b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 unieq 3968 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  (/)  ->  U. a  =  U. (/) )
2 uni0 3986 . . . . . . . . 9  |-  U. (/)  =  (/)
31, 2syl6eq 2437 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  (/)  ->  U. a  =  (/) )
43eleq1d 2455 . . . . . . 7  |-  ( a  =  (/)  ->  ( U. a  e.  J  <->  (/)  e.  J
) )
5 mretopd.j . . . . . . . . . . . . . 14  |-  J  =  { z  e.  ~P B  |  ( B  \  z )  e.  M }
6 ssrab2 3373 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  { z  e.  ~P B  | 
( B  \  z
)  e.  M }  C_ 
~P B
75, 6eqsstri 3323 . . . . . . . . . . . . 13  |-  J  C_  ~P B
8 sstr 3301 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( a  C_  J  /\  J  C_  ~P B )  ->  a  C_  ~P B )
97, 8mpan2 653 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a 
C_  J  ->  a  C_ 
~P B )
109adantl 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  a  C_  J )  ->  a  C_ 
~P B )
11 sspwuni 4119 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a 
C_  ~P B  <->  U. a  C_  B )
1210, 11sylib 189 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  a  C_  J )  ->  U. a  C_  B )
13 vex 2904 . . . . . . . . . . . 12  |-  a  e. 
_V
1413uniex 4647 . . . . . . . . . . 11  |-  U. a  e.  _V
1514elpw 3750 . . . . . . . . . 10  |-  ( U. a  e.  ~P B  <->  U. a  C_  B )
1612, 15sylibr 204 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  a  C_  J )  ->  U. a  e.  ~P B )
1716adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  a  C_  J )  /\  a  =/=  (/) )  ->  U. a  e.  ~P B )
18 uniiun 4087 . . . . . . . . . 10  |-  U. a  =  U_ b  e.  a  b
1918difeq2i 3407 . . . . . . . . 9  |-  ( B 
\  U. a )  =  ( B  \  U_ b  e.  a  b
)
20 iindif2 4103 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =/=  (/)  ->  |^|_ b  e.  a  ( B  \ 
b )  =  ( B  \  U_ b  e.  a  b )
)
2120adantl 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  a  C_  J )  /\  a  =/=  (/) )  ->  |^|_ b  e.  a  ( B  \  b )  =  ( B  \  U_ b  e.  a  b )
)
22 mretopd.m . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  M  e.  (Moore `  B ) )
2322ad2antrr 707 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  a  C_  J )  /\  a  =/=  (/) )  ->  M  e.  (Moore `  B )
)
24 simpr 448 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  a  C_  J )  /\  a  =/=  (/) )  ->  a  =/=  (/) )
25 difeq2 3404 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =  b  ->  ( B  \  z )  =  ( B  \  b
) )
2625eleq1d 2455 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  b  ->  (
( B  \  z
)  e.  M  <->  ( B  \  b )  e.  M
) )
2726, 5elrab2 3039 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( b  e.  J  <->  ( b  e.  ~P B  /\  ( B  \  b )  e.  M ) )
2827simprbi 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( b  e.  J  ->  ( B  \  b )  e.  M )
2928rgen 2716 . . . . . . . . . . . . 13  |-  A. b  e.  J  ( B  \  b )  e.  M
30 ssralv 3352 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a 
C_  J  ->  ( A. b  e.  J  ( B  \  b
)  e.  M  ->  A. b  e.  a 
( B  \  b
)  e.  M ) )
3130adantl 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  a  C_  J )  ->  ( A. b  e.  J  ( B  \  b
)  e.  M  ->  A. b  e.  a 
( B  \  b
)  e.  M ) )
3229, 31mpi 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  a  C_  J )  ->  A. b  e.  a  ( B  \  b )  e.  M
)
3332adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  a  C_  J )  /\  a  =/=  (/) )  ->  A. b  e.  a  ( B  \  b )  e.  M
)
34 mreiincl 13750 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  (Moore `  B )  /\  a  =/=  (/)  /\  A. b  e.  a  ( B  \  b )  e.  M
)  ->  |^|_ b  e.  a  ( B  \ 
b )  e.  M
)
3523, 24, 33, 34syl3anc 1184 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  a  C_  J )  /\  a  =/=  (/) )  ->  |^|_ b  e.  a  ( B  \  b )  e.  M
)
3621, 35eqeltrrd 2464 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  a  C_  J )  /\  a  =/=  (/) )  ->  ( B  \  U_ b  e.  a  b )  e.  M )
3719, 36syl5eqel 2473 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  a  C_  J )  /\  a  =/=  (/) )  ->  ( B  \  U. a )  e.  M )
38 difeq2 3404 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  U. a  -> 
( B  \  z
)  =  ( B 
\  U. a ) )
3938eleq1d 2455 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  U. a  -> 
( ( B  \ 
z )  e.  M  <->  ( B  \  U. a
)  e.  M ) )
4039, 5elrab2 3039 . . . . . . . 8  |-  ( U. a  e.  J  <->  ( U. a  e.  ~P B  /\  ( B  \  U. a )  e.  M
) )
4117, 37, 40sylanbrc 646 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  a  C_  J )  /\  a  =/=  (/) )  ->  U. a  e.  J )
42 0elpw 4312 . . . . . . . . . 10  |-  (/)  e.  ~P B
4342a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  -> 
(/)  e.  ~P B
)
44 mre1cl 13748 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  (Moore `  B
)  ->  B  e.  M )
4522, 44syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  B  e.  M )
46 difeq2 3404 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  (/)  ->  ( B 
\  z )  =  ( B  \  (/) ) )
47 dif0 3643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B 
\  (/) )  =  B
4846, 47syl6eq 2437 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  (/)  ->  ( B 
\  z )  =  B )
4948eleq1d 2455 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  (/)  ->  ( ( B  \  z )  e.  M  <->  B  e.  M ) )
5049, 5elrab2 3039 . . . . . . . . 9  |-  ( (/)  e.  J  <->  ( (/)  e.  ~P B  /\  B  e.  M
) )
5143, 45, 50sylanbrc 646 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> 
(/)  e.  J )
5251adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  a  C_  J )  ->  (/)  e.  J
)
534, 41, 52pm2.61ne 2627 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  a  C_  J )  ->  U. a  e.  J )
5453ex 424 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( a  C_  J  ->  U. a  e.  J
) )
5554alrimiv 1638 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. a ( a 
C_  J  ->  U. a  e.  J ) )
56 inss1 3506 . . . . . . . 8  |-  ( a  i^i  b )  C_  a
57 difeq2 3404 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  a  ->  ( B  \  z )  =  ( B  \  a
) )
5857eleq1d 2455 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  a  ->  (
( B  \  z
)  e.  M  <->  ( B  \  a )  e.  M
) )
5958, 5elrab2 3039 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  e.  J  <->  ( a  e.  ~P B  /\  ( B  \  a )  e.  M ) )
6059simplbi 447 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  e.  J  ->  a  e.  ~P B )
6160elpwid 3753 . . . . . . . . 9  |-  ( a  e.  J  ->  a  C_  B )
6261ad2antrl 709 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  J  /\  b  e.  J ) )  -> 
a  C_  B )
6356, 62syl5ss 3304 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  J  /\  b  e.  J ) )  -> 
( a  i^i  b
)  C_  B )
6413inex1 4287 . . . . . . . 8  |-  ( a  i^i  b )  e. 
_V
6564elpw 3750 . . . . . . 7  |-  ( ( a  i^i  b )  e.  ~P B  <->  ( a  i^i  b )  C_  B
)
6663, 65sylibr 204 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  J  /\  b  e.  J ) )  -> 
( a  i^i  b
)  e.  ~P B
)
67 difindi 3540 . . . . . . 7  |-  ( B 
\  ( a  i^i  b ) )  =  ( ( B  \ 
a )  u.  ( B  \  b ) )
6859simprbi 451 . . . . . . . . 9  |-  ( a  e.  J  ->  ( B  \  a )  e.  M )
6968ad2antrl 709 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  J  /\  b  e.  J ) )  -> 
( B  \  a
)  e.  M )
7028ad2antll 710 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  J  /\  b  e.  J ) )  -> 
( B  \  b
)  e.  M )
71 simpl 444 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  J  /\  b  e.  J ) )  ->  ph )
72 uneq1 3439 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( B  \ 
a )  ->  (
x  u.  y )  =  ( ( B 
\  a )  u.  y ) )
7372eleq1d 2455 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( B  \ 
a )  ->  (
( x  u.  y
)  e.  M  <->  ( ( B  \  a )  u.  y )  e.  M
) )
7473imbi2d 308 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( B  \ 
a )  ->  (
( ph  ->  ( x  u.  y )  e.  M )  <->  ( ph  ->  ( ( B  \ 
a )  u.  y
)  e.  M ) ) )
75 uneq2 3440 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  ( B  \ 
b )  ->  (
( B  \  a
)  u.  y )  =  ( ( B 
\  a )  u.  ( B  \  b
) ) )
7675eleq1d 2455 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( B  \ 
b )  ->  (
( ( B  \ 
a )  u.  y
)  e.  M  <->  ( ( B  \  a )  u.  ( B  \  b
) )  e.  M
) )
7776imbi2d 308 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( B  \ 
b )  ->  (
( ph  ->  ( ( B  \  a )  u.  y )  e.  M )  <->  ( ph  ->  ( ( B  \ 
a )  u.  ( B  \  b ) )  e.  M ) ) )
78 mretopd.u . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  M  /\  y  e.  M
)  ->  ( x  u.  y )  e.  M
)
79783expb 1154 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  M  /\  y  e.  M ) )  -> 
( x  u.  y
)  e.  M )
8079expcom 425 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  M  /\  y  e.  M )  ->  ( ph  ->  (
x  u.  y )  e.  M ) )
8174, 77, 80vtocl2ga 2964 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( B  \  a
)  e.  M  /\  ( B  \  b
)  e.  M )  ->  ( ph  ->  ( ( B  \  a
)  u.  ( B 
\  b ) )  e.  M ) )
8281imp 419 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( B  \ 
a )  e.  M  /\  ( B  \  b
)  e.  M )  /\  ph )  -> 
( ( B  \ 
a )  u.  ( B  \  b ) )  e.  M )
8369, 70, 71, 82syl21anc 1183 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  J  /\  b  e.  J ) )  -> 
( ( B  \ 
a )  u.  ( B  \  b ) )  e.  M )
8467, 83syl5eqel 2473 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  J  /\  b  e.  J ) )  -> 
( B  \  (
a  i^i  b )
)  e.  M )
85 difeq2 3404 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  ( a  i^i  b )  ->  ( B  \  z )  =  ( B  \  (
a  i^i  b )
) )
8685eleq1d 2455 . . . . . . 7  |-  ( z  =  ( a  i^i  b )  ->  (
( B  \  z
)  e.  M  <->  ( B  \  ( a  i^i  b
) )  e.  M
) )
8786, 5elrab2 3039 . . . . . 6  |-  ( ( a  i^i  b )  e.  J  <->  ( (
a  i^i  b )  e.  ~P B  /\  ( B  \  ( a  i^i  b ) )  e.  M ) )
8866, 84, 87sylanbrc 646 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  J  /\  b  e.  J ) )  -> 
( a  i^i  b
)  e.  J )
8988ralrimivva 2743 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. a  e.  J  A. b  e.  J  ( a  i^i  b
)  e.  J )
90 pwexg 4326 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  M  ->  ~P B  e.  _V )
9145, 90syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ~P B  e.  _V )
92 rabexg 4296 . . . . . . 7  |-  ( ~P B  e.  _V  ->  { z  e.  ~P B  |  ( B  \ 
z )  e.  M }  e.  _V )
9391, 92syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { z  e.  ~P B  |  ( B  \  z )  e.  M }  e.  _V )
945, 93syl5eqel 2473 . . . . 5  |-  ( ph  ->  J  e.  _V )
95 istopg 16893 . . . . 5  |-  ( J  e.  _V  ->  ( J  e.  Top  <->  ( A. a ( a  C_  J  ->  U. a  e.  J
)  /\  A. a  e.  J  A. b  e.  J  ( a  i^i  b )  e.  J
) ) )
9694, 95syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( J  e.  Top  <->  ( A. a ( a  C_  J  ->  U. a  e.  J
)  /\  A. a  e.  J  A. b  e.  J  ( a  i^i  b )  e.  J
) ) )
9755, 89, 96mpbir2and 889 . . 3  |-  ( ph  ->  J  e.  Top )
987unissi 3982 . . . . . 6  |-  U. J  C_ 
U. ~P B
99 unipw 4357 . . . . . 6  |-  U. ~P B  =  B
10098, 99sseqtri 3325 . . . . 5  |-  U. J  C_  B
101 pwidg 3756 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  M  ->  B  e.  ~P B )
10245, 101syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  e.  ~P B
)
103 difid 3641 . . . . . . 7  |-  ( B 
\  B )  =  (/)
104 mretopd.z . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
(/)  e.  M )
105103, 104syl5eqel 2473 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( B  \  B
)  e.  M )
106 difeq2 3404 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  B  ->  ( B  \  z )  =  ( B  \  B
) )
107106eleq1d 2455 . . . . . . 7  |-  ( z  =  B  ->  (
( B  \  z
)  e.  M  <->  ( B  \  B )  e.  M
) )
108107, 5elrab2 3039 . . . . . 6  |-  ( B  e.  J  <->  ( B  e.  ~P B  /\  ( B  \  B )  e.  M ) )
109102, 105, 108sylanbrc 646 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  e.  J )
110 unissel 3988 . . . . 5  |-  ( ( U. J  C_  B  /\  B  e.  J
)  ->  U. J  =  B )
111100, 109, 110sylancr 645 . . . 4  |-  ( ph  ->  U. J  =  B )
112111eqcomd 2394 . . 3  |-  ( ph  ->  B  =  U. J
)
113 istopon 16915 . . 3  |-  ( J  e.  (TopOn `  B
)  <->  ( J  e. 
Top  /\  B  =  U. J ) )
11497, 112, 113sylanbrc 646 . 2  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  B ) )
115 eqid 2389 . . . . 5  |-  U. J  =  U. J
116115cldval 17012 . . . 4  |-  ( J  e.  Top  ->  ( Clsd `  J )  =  { x  e.  ~P U. J  |  ( U. J  \  x )  e.  J } )
11797, 116syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( Clsd `  J
)  =  { x  e.  ~P U. J  | 
( U. J  \  x )  e.  J } )
118111pweqd 3749 . . . 4  |-  ( ph  ->  ~P U. J  =  ~P B )
119111difeq1d 3409 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( U. J  \  x )  =  ( B  \  x ) )
120119eleq1d 2455 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( U. J  \  x )  e.  J  <->  ( B  \  x )  e.  J ) )
121118, 120rabeqbidv 2896 . . 3  |-  ( ph  ->  { x  e.  ~P U. J  |  ( U. J  \  x )  e.  J }  =  {
x  e.  ~P B  |  ( B  \  x )  e.  J } )
1225eleq2i 2453 . . . . . . 7  |-  ( ( B  \  x )  e.  J  <->  ( B  \  x )  e.  {
z  e.  ~P B  |  ( B  \ 
z )  e.  M } )
123 difss 3419 . . . . . . . . . 10  |-  ( B 
\  x )  C_  B
124 elpw2g 4306 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  e.  M  ->  (
( B  \  x
)  e.  ~P B  <->  ( B  \  x ) 
C_  B ) )
12545, 124syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( B  \  x )  e.  ~P B 
<->  ( B  \  x
)  C_  B )
)
126123, 125mpbiri 225 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( B  \  x
)  e.  ~P B
)
127 difeq2 3404 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  ( B  \  x )  ->  ( B  \  z )  =  ( B  \  ( B  \  x ) ) )
128127eleq1d 2455 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  ( B  \  x )  ->  (
( B  \  z
)  e.  M  <->  ( B  \  ( B  \  x
) )  e.  M
) )
129128elrab3 3038 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  \  x )  e.  ~P B  -> 
( ( B  \  x )  e.  {
z  e.  ~P B  |  ( B  \ 
z )  e.  M } 
<->  ( B  \  ( B  \  x ) )  e.  M ) )
130126, 129syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( B  \  x )  e.  {
z  e.  ~P B  |  ( B  \ 
z )  e.  M } 
<->  ( B  \  ( B  \  x ) )  e.  M ) )
131130adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ~P B )  ->  (
( B  \  x
)  e.  { z  e.  ~P B  | 
( B  \  z
)  e.  M }  <->  ( B  \  ( B 
\  x ) )  e.  M ) )
132122, 131syl5bb 249 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ~P B )  ->  (
( B  \  x
)  e.  J  <->  ( B  \  ( B  \  x
) )  e.  M
) )
133 elpwi 3752 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ~P B  ->  x  C_  B )
134 dfss4 3520 . . . . . . . . 9  |-  ( x 
C_  B  <->  ( B  \  ( B  \  x
) )  =  x )
135133, 134sylib 189 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ~P B  -> 
( B  \  ( B  \  x ) )  =  x )
136135adantl 453 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ~P B )  ->  ( B  \  ( B  \  x ) )  =  x )
137136eleq1d 2455 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ~P B )  ->  (
( B  \  ( B  \  x ) )  e.  M  <->  x  e.  M ) )
138132, 137bitrd 245 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ~P B )  ->  (
( B  \  x
)  e.  J  <->  x  e.  M ) )
139138rabbidva 2892 . . . 4  |-  ( ph  ->  { x  e.  ~P B  |  ( B  \  x )  e.  J }  =  { x  e.  ~P B  |  x  e.  M } )
140 incom 3478 . . . . . 6  |-  ( M  i^i  ~P B )  =  ( ~P B  i^i  M )
141 dfin5 3273 . . . . . 6  |-  ( ~P B  i^i  M )  =  { x  e. 
~P B  |  x  e.  M }
142140, 141eqtri 2409 . . . . 5  |-  ( M  i^i  ~P B )  =  { x  e. 
~P B  |  x  e.  M }
143 mresspw 13746 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  (Moore `  B
)  ->  M  C_  ~P B )
14422, 143syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  M  C_  ~P B
)
145 df-ss 3279 . . . . . 6  |-  ( M 
C_  ~P B  <->  ( M  i^i  ~P B )  =  M )
146144, 145sylib 189 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( M  i^i  ~P B )  =  M )
147142, 146syl5eqr 2435 . . . 4  |-  ( ph  ->  { x  e.  ~P B  |  x  e.  M }  =  M
)
148139, 147eqtrd 2421 . . 3  |-  ( ph  ->  { x  e.  ~P B  |  ( B  \  x )  e.  J }  =  M )
149117, 121, 1483eqtrrd 2426 . 2  |-  ( ph  ->  M  =  ( Clsd `  J ) )
150114, 149jca 519 1  |-  ( ph  ->  ( J  e.  (TopOn `  B )  /\  M  =  ( Clsd `  J
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936   A.wal 1546    = wceq 1649    e. wcel 1717    =/= wne 2552   A.wral 2651   {crab 2655   _Vcvv 2901    \ cdif 3262    u. cun 3263    i^i cin 3264    C_ wss 3265   (/)c0 3573   ~Pcpw 3744   U.cuni 3959   U_ciun 4037   |^|_ciin 4038   ` cfv 5396  Moorecmre 13736   Topctop 16883  TopOnctopon 16884   Clsdccld 17005
This theorem is referenced by:  iscldtop  17084  istopclsd  26447
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2370  ax-sep 4273  ax-nul 4281  ax-pow 4320  ax-pr 4346  ax-un 4643
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2376  df-cleq 2382  df-clel 2385  df-nfc 2514  df-ne 2554  df-ral 2656  df-rex 2657  df-rab 2660  df-v 2903  df-sbc 3107  df-dif 3268  df-un 3270  df-in 3272  df-ss 3279  df-nul 3574  df-if 3685  df-pw 3746  df-sn 3765  df-pr 3766  df-op 3768  df-uni 3960  df-int 3995  df-iun 4039  df-iin 4040  df-br 4156  df-opab 4210  df-mpt 4211  df-id 4441  df-xp 4826  df-rel 4827  df-cnv 4828  df-co 4829  df-dm 4830  df-iota 5360  df-fun 5398  df-fv 5404  df-mre 13740  df-top 16888  df-topon 16891  df-cld 17008
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