Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mrieqv2d Structured version   Unicode version

Theorem mrieqv2d 13866
 Description: In a Moore system, a set is independent if and only if all its proper subsets have closure properly contained in the closure of the set. Part of Proposition 4.1.3 in [FaureFrolicher] p. 83. (Contributed by David Moews, 1-May-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
mrieqvd.1 Moore
mrieqvd.2 mrCls
mrieqvd.3 mrInd
mrieqvd.4
Assertion
Ref Expression
mrieqv2d
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()

Proof of Theorem mrieqv2d
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pssnel 3695 . . . . . . 7
213ad2ant3 981 . . . . . 6
3 mrieqvd.1 . . . . . . . . . 10 Moore
433ad2ant1 979 . . . . . . . . 9 Moore
54adantr 453 . . . . . . . 8 Moore
6 mrieqvd.2 . . . . . . . 8 mrCls
7 simprr 735 . . . . . . . . . 10
8 difsnb 3942 . . . . . . . . . 10
97, 8sylib 190 . . . . . . . . 9
10 simpl3 963 . . . . . . . . . . 11
1110pssssd 3446 . . . . . . . . . 10
1211ssdifd 3485 . . . . . . . . 9
139, 12eqsstr3d 3385 . . . . . . . 8
14 mrieqvd.3 . . . . . . . . . 10 mrInd
15 simpl2 962 . . . . . . . . . 10
1614, 5, 15mrissd 13863 . . . . . . . . 9
1716ssdifssd 3487 . . . . . . . 8
185, 6, 13, 17mrcssd 13851 . . . . . . 7
19 difssd 3477 . . . . . . . . 9
205, 6, 19, 16mrcssd 13851 . . . . . . . 8
215, 6, 16mrcssidd 13852 . . . . . . . . 9
22 simprl 734 . . . . . . . . 9
2321, 22sseldd 3351 . . . . . . . 8
246, 14, 5, 15, 22ismri2dad 13864 . . . . . . . 8
2520, 23, 24ssnelpssd 3694 . . . . . . 7
2618, 25sspsstrd 3457 . . . . . 6
272, 26exlimddv 1649 . . . . 5
28273expia 1156 . . . 4
2928alrimiv 1642 . . 3
3029ex 425 . 2
313adantr 453 . . . . . . . . . . . . . 14 Moore
3231elfvexd 5761 . . . . . . . . . . . . 13
33 mrieqvd.4 . . . . . . . . . . . . . 14
3433adantr 453 . . . . . . . . . . . . 13
3532, 34ssexd 4352 . . . . . . . . . . . 12
36 difexg 4353 . . . . . . . . . . . 12
3735, 36syl 16 . . . . . . . . . . 11
38 simp1r 983 . . . . . . . . . . . . . . . 16
39 difsnpss 3943 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4038, 39sylib 190 . . . . . . . . . . . . . . 15
41 simp2 959 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4241psseq1d 3441 . . . . . . . . . . . . . . 15
4340, 42mpbird 225 . . . . . . . . . . . . . 14
44 simp3 960 . . . . . . . . . . . . . 14
4543, 44mpd 15 . . . . . . . . . . . . 13
4641fveq2d 5734 . . . . . . . . . . . . . 14
4746psseq1d 3441 . . . . . . . . . . . . 13
4845, 47mpbid 203 . . . . . . . . . . . 12
49483expia 1156 . . . . . . . . . . 11
5037, 49spcimdv 3035 . . . . . . . . . 10
51503impia 1151 . . . . . . . . 9
5251pssned 3447 . . . . . . . 8
53523com23 1160 . . . . . . 7
5433ad2ant1 979 . . . . . . . . 9 Moore
55333ad2ant1 979 . . . . . . . . 9
56 simp3 960 . . . . . . . . 9
5754, 6, 55, 56mrieqvlemd 13856 . . . . . . . 8
5857necon3bbid 2637 . . . . . . 7
5953, 58mpbird 225 . . . . . 6
60593expia 1156 . . . . 5
6160ralrimiv 2790 . . . 4
6261ex 425 . . 3
636, 14, 3, 33ismri2d 13860 . . 3
6462, 63sylibrd 227 . 2
6530, 64impbid 185 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 178   wa 360   w3a 937  wal 1550  wex 1551   wceq 1653   wcel 1726   wne 2601  wral 2707  cvv 2958   cdif 3319   wss 3322   wpss 3323  csn 3816  cfv 5456  Moorecmre 13809  mrClscmrc 13810  mrIndcmri 13811 This theorem is referenced by:  mrissmrcd  13867 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-id 4500  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-fv 5464  df-mre 13813  df-mrc 13814  df-mri 13815
 Copyright terms: Public domain W3C validator