MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mrissd Unicode version

Theorem mrissd 13538
Description: An independent set of a Moore system is a subset of the base set. Deduction form. (Contributed by David Moews, 1-May-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
mriss.1  |-  I  =  (mrInd `  A )
mrissd.2  |-  ( ph  ->  A  e.  (Moore `  X ) )
mrissd.3  |-  ( ph  ->  S  e.  I )
Assertion
Ref Expression
mrissd  |-  ( ph  ->  S  C_  X )

Proof of Theorem mrissd
StepHypRef Expression
1 mrissd.2 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  (Moore `  X ) )
2 mrissd.3 . 2  |-  ( ph  ->  S  e.  I )
3 mriss.1 . . 3  |-  I  =  (mrInd `  A )
43mriss 13537 . 2  |-  ( ( A  e.  (Moore `  X )  /\  S  e.  I )  ->  S  C_  X )
51, 2, 4syl2anc 642 1  |-  ( ph  ->  S  C_  X )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1623    e. wcel 1684    C_ wss 3152   ` cfv 5255  Moorecmre 13484  mrIndcmri 13486
This theorem is referenced by:  ismri2dad  13539  mrieqv2d  13541  mrissmrcd  13542  mrissmrid  13543  mreexmrid  13545  mreexexlem2d  13547  mreexexlem3d  13548  mreexdomd  13551  mreexfidimd  13552  acsmap2d  14282  acsinfdimd  14285
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fv 5263  df-mre 13488  df-mri 13490
  Copyright terms: Public domain W3C validator