MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  msmet Unicode version

Theorem msmet 18444
Description: The distance function, suitably truncated, is a metric on 
X. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Nov-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
msf.x  |-  X  =  ( Base `  M
)
msf.d  |-  D  =  ( ( dist `  M
)  |`  ( X  X.  X ) )
Assertion
Ref Expression
msmet  |-  ( M  e.  MetSp  ->  D  e.  ( Met `  X ) )

Proof of Theorem msmet
StepHypRef Expression
1 eqid 2408 . . 3  |-  ( TopOpen `  M )  =  (
TopOpen `  M )
2 msf.x . . 3  |-  X  =  ( Base `  M
)
3 msf.d . . 3  |-  D  =  ( ( dist `  M
)  |`  ( X  X.  X ) )
41, 2, 3isms2 18437 . 2  |-  ( M  e.  MetSp 
<->  ( D  e.  ( Met `  X )  /\  ( TopOpen `  M
)  =  ( MetOpen `  D ) ) )
54simplbi 447 1  |-  ( M  e.  MetSp  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1649    e. wcel 1721    X. cxp 4839    |` cres 4843   ` cfv 5417   Basecbs 13428   distcds 13497   TopOpenctopn 13608   Metcme 16646   MetOpencmopn 16650   MetSpcmt 18305
This theorem is referenced by:  msf  18445  msmet2  18447  imasf1oms  18477  ressms  18513  prdsmslem1  18514  isngp2  18601  nmf  18618  minveclem2  19284  minveclem3b  19286  minveclem3  19287  minveclem4  19290  minveclem7  19293  cnpwstotbnd  26400
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2389  ax-sep 4294  ax-nul 4302  ax-pow 4341  ax-pr 4367  ax-un 4664  ax-cnex 9006  ax-resscn 9007  ax-1cn 9008  ax-icn 9009  ax-addcl 9010  ax-addrcl 9011  ax-mulcl 9012  ax-mulrcl 9013  ax-mulcom 9014  ax-addass 9015  ax-mulass 9016  ax-distr 9017  ax-i2m1 9018  ax-1ne0 9019  ax-1rid 9020  ax-rnegex 9021  ax-rrecex 9022  ax-cnre 9023  ax-pre-lttri 9024  ax-pre-lttrn 9025  ax-pre-ltadd 9026  ax-pre-mulgt0 9027  ax-pre-sup 9028
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2262  df-mo 2263  df-clab 2395  df-cleq 2401  df-clel 2404  df-nfc 2533  df-ne 2573  df-nel 2574  df-ral 2675  df-rex 2676  df-reu 2677  df-rmo 2678  df-rab 2679  df-v 2922  df-sbc 3126  df-csb 3216  df-dif 3287  df-un 3289  df-in 3291  df-ss 3298  df-pss 3300  df-nul 3593  df-if 3704  df-pw 3765  df-sn 3784  df-pr 3785  df-tp 3786  df-op 3787  df-uni 3980  df-iun 4059  df-br 4177  df-opab 4231  df-mpt 4232  df-tr 4267  df-eprel 4458  df-id 4462  df-po 4467  df-so 4468  df-fr 4505  df-we 4507  df-ord 4548  df-on 4549  df-lim 4550  df-suc 4551  df-om 4809  df-xp 4847  df-rel 4848  df-cnv 4849  df-co 4850  df-dm 4851  df-rn 4852  df-res 4853  df-ima 4854  df-iota 5381  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-ov 6047  df-oprab 6048  df-mpt2 6049  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-riota 6512  df-recs 6596  df-rdg 6631  df-er 6868  df-map 6983  df-en 7073  df-dom 7074  df-sdom 7075  df-sup 7408  df-pnf 9082  df-mnf 9083  df-xr 9084  df-ltxr 9085  df-le 9086  df-sub 9253  df-neg 9254  df-div 9638  df-nn 9961  df-2 10018  df-n0 10182  df-z 10243  df-uz 10449  df-q 10535  df-rp 10573  df-xneg 10670  df-xadd 10671  df-xmul 10672  df-topgen 13626  df-psmet 16653  df-xmet 16654  df-met 16655  df-bl 16656  df-mopn 16657  df-top 16922  df-bases 16924  df-topon 16925  df-topsp 16926  df-xms 18307  df-ms 18308
  Copyright terms: Public domain W3C validator