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Theorem mtest 19797
Description: The Weierstrass M-test. If  F is a sequence of functions which are uniformly bounded by the convergent sequence  M ( k ), then the series generated by the sequence  F converges uniformly. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mtest.z  |-  Z  =  ( ZZ>= `  N )
mtest.n  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
mtest.s  |-  ( ph  ->  S  e.  V )
mtest.f  |-  ( ph  ->  F : Z --> ( CC 
^m  S ) )
mtest.m  |-  ( ph  ->  M  e.  W )
mtest.c  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( M `  k )  e.  RR )
mtest.l  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  Z  /\  z  e.  S ) )  -> 
( abs `  (
( F `  k
) `  z )
)  <_  ( M `  k ) )
mtest.d  |-  ( ph  ->  seq  N (  +  ,  M )  e. 
dom 
~~>  )
Assertion
Ref Expression
mtest  |-  ( ph  ->  seq  N (  o F  +  ,  F
)  e.  dom  ( ~~> u `  S )
)
Distinct variable groups:    z, k, F    k, M, z    ph, k,
z    k, N, z    S, k, z    k, Z, z
Allowed substitution hints:    V( z, k)    W( z, k)

Proof of Theorem mtest
Dummy variables  i 
j  n  r are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mtest.n . . . 4  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
2 mtest.d . . . 4  |-  ( ph  ->  seq  N (  +  ,  M )  e. 
dom 
~~>  )
3 mtest.z . . . . 5  |-  Z  =  ( ZZ>= `  N )
43climcau 12160 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  seq  N (  +  ,  M )  e.  dom  ~~>  )  ->  A. r  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. i  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( (  seq  N
(  +  ,  M
) `  i )  -  (  seq  N (  +  ,  M ) `
 j ) ) )  <  r )
51, 2, 4syl2anc 642 . . 3  |-  ( ph  ->  A. r  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. i  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( (  seq  N
(  +  ,  M
) `  i )  -  (  seq  N (  +  ,  M ) `
 j ) ) )  <  r )
6 seqfn 11074 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( N  e.  ZZ  ->  seq  N (  o F  +  ,  F )  Fn  ( ZZ>=
`  N ) )
71, 6syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  seq  N (  o F  +  ,  F
)  Fn  ( ZZ>= `  N ) )
83fneq2i 5355 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  (  seq 
N (  o F  +  ,  F )  Fn  Z  <->  seq  N (  o F  +  ,  F )  Fn  ( ZZ>=
`  N ) )
97, 8sylibr 203 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  seq  N (  o F  +  ,  F
)  Fn  Z )
10 mtest.s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  S  e.  V )
11 elex 2809 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( S  e.  V  ->  S  e.  _V )
1210, 11syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  S  e.  _V )
1312adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  i  e.  Z )  ->  S  e.  _V )
14 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  i  e.  Z )  ->  i  e.  Z )
1514, 3syl6eleq 2386 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  i  e.  Z )  ->  i  e.  ( ZZ>= `  N )
)
16 mtest.f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ph  ->  F : Z --> ( CC 
^m  S ) )
1716adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  i  e.  Z )  ->  F : Z --> ( CC  ^m  S ) )
18 elfzuz 10810 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( k  e.  ( N ... i )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  N )
)
1918, 3syl6eleqr 2387 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( k  e.  ( N ... i )  ->  k  e.  Z )
20 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( F : Z --> ( CC 
^m  S )  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k
)  e.  ( CC 
^m  S ) )
2117, 19, 20syl2an 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  Z )  /\  k  e.  ( N ... i
) )  ->  ( F `  k )  e.  ( CC  ^m  S
) )
22 elmapi 6808 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( F `  k )  e.  ( CC  ^m  S )  ->  ( F `  k ) : S --> CC )
2321, 22syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  Z )  /\  k  e.  ( N ... i
) )  ->  ( F `  k ) : S --> CC )
2423feqmptd 5591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  Z )  /\  k  e.  ( N ... i
) )  ->  ( F `  k )  =  ( z  e.  S  |->  ( ( F `
 k ) `  z ) ) )
2519adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  Z )  /\  k  e.  ( N ... i
) )  ->  k  e.  Z )
26 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( n  =  k  ->  ( F `  n )  =  ( F `  k ) )
2726fveq1d 5543 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( n  =  k  ->  (
( F `  n
) `  z )  =  ( ( F `
 k ) `  z ) )
28 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( n  e.  Z  |->  ( ( F `  n ) `
 z ) )  =  ( n  e.  Z  |->  ( ( F `
 n ) `  z ) )
29 fvex 5555 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( F `  k ) `
 z )  e. 
_V
3027, 28, 29fvmpt 5618 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( k  e.  Z  ->  (
( n  e.  Z  |->  ( ( F `  n ) `  z
) ) `  k
)  =  ( ( F `  k ) `
 z ) )
3125, 30syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  Z )  /\  k  e.  ( N ... i
) )  ->  (
( n  e.  Z  |->  ( ( F `  n ) `  z
) ) `  k
)  =  ( ( F `  k ) `
 z ) )
3231mpteq2dv 4123 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  Z )  /\  k  e.  ( N ... i
) )  ->  (
z  e.  S  |->  ( ( n  e.  Z  |->  ( ( F `  n ) `  z
) ) `  k
) )  =  ( z  e.  S  |->  ( ( F `  k
) `  z )
) )
3324, 32eqtr4d 2331 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  Z )  /\  k  e.  ( N ... i
) )  ->  ( F `  k )  =  ( z  e.  S  |->  ( ( n  e.  Z  |->  ( ( F `  n ) `
 z ) ) `
 k ) ) )
3413, 15, 33seqof 11119 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  i  e.  Z )  ->  (  seq  N (  o F  +  ,  F ) `
 i )  =  ( z  e.  S  |->  (  seq  N (  +  ,  ( n  e.  Z  |->  ( ( F `  n ) `
 z ) ) ) `  i ) ) )
351adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  z  e.  S )  ->  N  e.  ZZ )
36 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( F : Z --> ( CC 
^m  S )  /\  n  e.  Z )  ->  ( F `  n
)  e.  ( CC 
^m  S ) )
3716, 36sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  ( F `  n )  e.  ( CC  ^m  S
) )
38 elmapi 6808 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( F `  n )  e.  ( CC  ^m  S )  ->  ( F `  n ) : S --> CC )
3937, 38syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  ( F `  n ) : S --> CC )
40 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( F `  n
) : S --> CC  /\  z  e.  S )  ->  ( ( F `  n ) `  z
)  e.  CC )
4139, 40sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  Z )  /\  z  e.  S )  ->  (
( F `  n
) `  z )  e.  CC )
4241an32s 779 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  S )  /\  n  e.  Z )  ->  (
( F `  n
) `  z )  e.  CC )
4342, 28fmptd 5700 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
ph  /\  z  e.  S )  ->  (
n  e.  Z  |->  ( ( F `  n
) `  z )
) : Z --> CC )
44 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( n  e.  Z  |->  ( ( F `  n ) `  z
) ) : Z --> CC  /\  i  e.  Z
)  ->  ( (
n  e.  Z  |->  ( ( F `  n
) `  z )
) `  i )  e.  CC )
4543, 44sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  S )  /\  i  e.  Z )  ->  (
( n  e.  Z  |->  ( ( F `  n ) `  z
) ) `  i
)  e.  CC )
463, 35, 45serf 11090 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  z  e.  S )  ->  seq  N (  +  ,  ( n  e.  Z  |->  ( ( F `  n
) `  z )
) ) : Z --> CC )
47 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (  seq  N (  +  ,  ( n  e.  Z  |->  ( ( F `
 n ) `  z ) ) ) : Z --> CC  /\  i  e.  Z )  ->  (  seq  N (  +  ,  ( n  e.  Z  |->  ( ( F `  n ) `
 z ) ) ) `  i )  e.  CC )
4846, 47sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  S )  /\  i  e.  Z )  ->  (  seq  N (  +  , 
( n  e.  Z  |->  ( ( F `  n ) `  z
) ) ) `  i )  e.  CC )
4948an32s 779 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  Z )  /\  z  e.  S )  ->  (  seq  N (  +  , 
( n  e.  Z  |->  ( ( F `  n ) `  z
) ) ) `  i )  e.  CC )
50 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( z  e.  S  |->  (  seq 
N (  +  , 
( n  e.  Z  |->  ( ( F `  n ) `  z
) ) ) `  i ) )  =  ( z  e.  S  |->  (  seq  N (  +  ,  ( n  e.  Z  |->  ( ( F `  n ) `
 z ) ) ) `  i ) )
5149, 50fmptd 5700 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  i  e.  Z )  ->  (
z  e.  S  |->  (  seq  N (  +  ,  ( n  e.  Z  |->  ( ( F `
 n ) `  z ) ) ) `
 i ) ) : S --> CC )
52 cnex 8834 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  CC  e.  _V
53 elmapg 6801 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( CC  e.  _V  /\  S  e.  _V )  ->  ( ( z  e.  S  |->  (  seq  N
(  +  ,  ( n  e.  Z  |->  ( ( F `  n
) `  z )
) ) `  i
) )  e.  ( CC  ^m  S )  <-> 
( z  e.  S  |->  (  seq  N (  +  ,  ( n  e.  Z  |->  ( ( F `  n ) `
 z ) ) ) `  i ) ) : S --> CC ) )
5452, 13, 53sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  i  e.  Z )  ->  (
( z  e.  S  |->  (  seq  N (  +  ,  ( n  e.  Z  |->  ( ( F `  n ) `
 z ) ) ) `  i ) )  e.  ( CC 
^m  S )  <->  ( z  e.  S  |->  (  seq 
N (  +  , 
( n  e.  Z  |->  ( ( F `  n ) `  z
) ) ) `  i ) ) : S --> CC ) )
5551, 54mpbird 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  i  e.  Z )  ->  (
z  e.  S  |->  (  seq  N (  +  ,  ( n  e.  Z  |->  ( ( F `
 n ) `  z ) ) ) `
 i ) )  e.  ( CC  ^m  S ) )
5634, 55eqeltrd 2370 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  i  e.  Z )  ->  (  seq  N (  o F  +  ,  F ) `
 i )  e.  ( CC  ^m  S
) )
5756ralrimiva 2639 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  A. i  e.  Z  (  seq  N (  o F  +  ,  F
) `  i )  e.  ( CC  ^m  S
) )
58 ffnfv 5701 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  (  seq 
N (  o F  +  ,  F ) : Z --> ( CC 
^m  S )  <->  (  seq  N (  o F  +  ,  F )  Fn  Z  /\  A. i  e.  Z  (  seq  N (  o F  +  ,  F
) `  i )  e.  ( CC  ^m  S
) ) )
599, 57, 58sylanbrc 645 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  seq  N (  o F  +  ,  F
) : Z --> ( CC 
^m  S ) )
6059ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  seq  N (  o F  +  ,  F ) : Z --> ( CC  ^m  S ) )
613uztrn2 10261 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>= `  j ) )  -> 
i  e.  Z )
6261adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  i  e.  Z
)
63 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (  seq  N (  o F  +  ,  F
) : Z --> ( CC 
^m  S )  /\  i  e.  Z )  ->  (  seq  N (  o F  +  ,  F ) `  i
)  e.  ( CC 
^m  S ) )
6460, 62, 63syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  (  seq  N
(  o F  +  ,  F ) `  i
)  e.  ( CC 
^m  S ) )
65 elmapi 6808 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (  seq  N (  o F  +  ,  F
) `  i )  e.  ( CC  ^m  S
)  ->  (  seq  N (  o F  +  ,  F ) `  i
) : S --> CC )
6664, 65syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  (  seq  N
(  o F  +  ,  F ) `  i
) : S --> CC )
67 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( (  seq  N (  o F  +  ,  F ) `  i
) : S --> CC  /\  z  e.  S )  ->  ( (  seq  N
(  o F  +  ,  F ) `  i
) `  z )  e.  CC )
6866, 67sylan 457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  z  e.  S )  ->  (
(  seq  N (  o F  +  ,  F ) `  i
) `  z )  e.  CC )
69 simprl 732 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  j  e.  Z
)
70 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (  seq  N (  o F  +  ,  F
) : Z --> ( CC 
^m  S )  /\  j  e.  Z )  ->  (  seq  N (  o F  +  ,  F ) `  j
)  e.  ( CC 
^m  S ) )
7160, 69, 70syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  (  seq  N
(  o F  +  ,  F ) `  j
)  e.  ( CC 
^m  S ) )
72 elmapi 6808 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (  seq  N (  o F  +  ,  F
) `  j )  e.  ( CC  ^m  S
)  ->  (  seq  N (  o F  +  ,  F ) `  j
) : S --> CC )
7371, 72syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  (  seq  N
(  o F  +  ,  F ) `  j
) : S --> CC )
74 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( (  seq  N (  o F  +  ,  F ) `  j
) : S --> CC  /\  z  e.  S )  ->  ( (  seq  N
(  o F  +  ,  F ) `  j
) `  z )  e.  CC )
7573, 74sylan 457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  z  e.  S )  ->  (
(  seq  N (  o F  +  ,  F ) `  j
) `  z )  e.  CC )
7668, 75subcld 9173 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  z  e.  S )  ->  (
( (  seq  N
(  o F  +  ,  F ) `  i
) `  z )  -  ( (  seq 
N (  o F  +  ,  F ) `
 j ) `  z ) )  e.  CC )
7776abscld 11934 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  z  e.  S )  ->  ( abs `  ( ( (  seq  N (  o F  +  ,  F
) `  i ) `  z )  -  (
(  seq  N (  o F  +  ,  F ) `  j
) `  z )
) )  e.  RR )
78 fzfid 11051 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  z  e.  S )  ->  (
( j  +  1 ) ... i )  e.  Fin )
79 ssun2 3352 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( j  +  1 ) ... i )  C_  ( ( N ... j )  u.  (
( j  +  1 ) ... i ) )
8069, 3syl6eleq 2386 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  j  e.  (
ZZ>= `  N ) )
81 simprr 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  i  e.  (
ZZ>= `  j ) )
82 elfzuzb 10808 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( j  e.  ( N ... i )  <->  ( j  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  i  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )
8380, 81, 82sylanbrc 645 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  j  e.  ( N ... i ) )
84 fzsplit 10832 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( j  e.  ( N ... i )  ->  ( N ... i )  =  ( ( N ... j )  u.  (
( j  +  1 ) ... i ) ) )
8583, 84syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  ( N ... i )  =  ( ( N ... j
)  u.  ( ( j  +  1 ) ... i ) ) )
8679, 85syl5sseqr 3240 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  ( ( j  +  1 ) ... i )  C_  ( N ... i ) )
8786sselda 3193 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  k  e.  ( ( j  +  1 ) ... i
) )  ->  k  e.  ( N ... i
) )
8887adantlr 695 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  z  e.  S )  /\  k  e.  ( ( j  +  1 ) ... i
) )  ->  k  e.  ( N ... i
) )
8916ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  F : Z --> ( CC  ^m  S ) )
9089, 19, 20syl2an 463 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  k  e.  ( N ... i
) )  ->  ( F `  k )  e.  ( CC  ^m  S
) )
9190, 22syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  k  e.  ( N ... i
) )  ->  ( F `  k ) : S --> CC )
92 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( F `  k
) : S --> CC  /\  z  e.  S )  ->  ( ( F `  k ) `  z
)  e.  CC )
9391, 92sylan 457 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  k  e.  ( N ... i
) )  /\  z  e.  S )  ->  (
( F `  k
) `  z )  e.  CC )
9493an32s 779 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  z  e.  S )  /\  k  e.  ( N ... i
) )  ->  (
( F `  k
) `  z )  e.  CC )
9588, 94syldan 456 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  z  e.  S )  /\  k  e.  ( ( j  +  1 ) ... i
) )  ->  (
( F `  k
) `  z )  e.  CC )
9695abscld 11934 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  z  e.  S )  /\  k  e.  ( ( j  +  1 ) ... i
) )  ->  ( abs `  ( ( F `
 k ) `  z ) )  e.  RR )
9778, 96fsumrecl 12223 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  z  e.  S )  ->  sum_ k  e.  ( ( j  +  1 ) ... i
) ( abs `  (
( F `  k
) `  z )
)  e.  RR )
98 mtest.c . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( M `  k )  e.  RR )
993, 1, 98serfre 11091 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  seq  N (  +  ,  M ) : Z --> RR )
10099ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  seq  N (  +  ,  M ) : Z --> RR )
101 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (  seq  N (  +  ,  M ) : Z --> RR  /\  i  e.  Z )  ->  (  seq  N (  +  ,  M ) `  i
)  e.  RR )
102100, 62, 101syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  (  seq  N
(  +  ,  M
) `  i )  e.  RR )
103 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (  seq  N (  +  ,  M ) : Z --> RR  /\  j  e.  Z )  ->  (  seq  N (  +  ,  M ) `  j
)  e.  RR )
104100, 69, 103syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  (  seq  N
(  +  ,  M
) `  j )  e.  RR )
105102, 104resubcld 9227 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  ( (  seq 
N (  +  ,  M ) `  i
)  -  (  seq 
N (  +  ,  M ) `  j
) )  e.  RR )
106105recnd 8877 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  ( (  seq 
N (  +  ,  M ) `  i
)  -  (  seq 
N (  +  ,  M ) `  j
) )  e.  CC )
107106abscld 11934 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  ( abs `  (
(  seq  N (  +  ,  M ) `  i )  -  (  seq  N (  +  ,  M ) `  j
) ) )  e.  RR )
108107adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  z  e.  S )  ->  ( abs `  ( (  seq 
N (  +  ,  M ) `  i
)  -  (  seq 
N (  +  ,  M ) `  j
) ) )  e.  RR )
10961, 34sylan2 460 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  (  seq  N (  o F  +  ,  F ) `
 i )  =  ( z  e.  S  |->  (  seq  N (  +  ,  ( n  e.  Z  |->  ( ( F `  n ) `
 z ) ) ) `  i ) ) )
110109adantlr 695 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  (  seq  N
(  o F  +  ,  F ) `  i
)  =  ( z  e.  S  |->  (  seq 
N (  +  , 
( n  e.  Z  |->  ( ( F `  n ) `  z
) ) ) `  i ) ) )
111110fveq1d 5543 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  ( (  seq 
N (  o F  +  ,  F ) `
 i ) `  z )  =  ( ( z  e.  S  |->  (  seq  N (  +  ,  ( n  e.  Z  |->  ( ( F `  n ) `
 z ) ) ) `  i ) ) `  z ) )
112 fvex 5555 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  (  seq 
N (  +  , 
( n  e.  Z  |->  ( ( F `  n ) `  z
) ) ) `  i )  e.  _V
11350fvmpt2 5624 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( z  e.  S  /\  (  seq  N (  +  ,  ( n  e.  Z  |->  ( ( F `
 n ) `  z ) ) ) `
 i )  e. 
_V )  ->  (
( z  e.  S  |->  (  seq  N (  +  ,  ( n  e.  Z  |->  ( ( F `  n ) `
 z ) ) ) `  i ) ) `  z )  =  (  seq  N
(  +  ,  ( n  e.  Z  |->  ( ( F `  n
) `  z )
) ) `  i
) )
114112, 113mpan2 652 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  e.  S  ->  (
( z  e.  S  |->  (  seq  N (  +  ,  ( n  e.  Z  |->  ( ( F `  n ) `
 z ) ) ) `  i ) ) `  z )  =  (  seq  N
(  +  ,  ( n  e.  Z  |->  ( ( F `  n
) `  z )
) ) `  i
) )
115111, 114sylan9eq 2348 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  z  e.  S )  ->  (
(  seq  N (  o F  +  ,  F ) `  i
) `  z )  =  (  seq  N (  +  ,  ( n  e.  Z  |->  ( ( F `  n ) `
 z ) ) ) `  i ) )
11634ralrimiva 2639 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  A. i  e.  Z  (  seq  N (  o F  +  ,  F
) `  i )  =  ( z  e.  S  |->  (  seq  N
(  +  ,  ( n  e.  Z  |->  ( ( F `  n
) `  z )
) ) `  i
) ) )
117116ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  A. i  e.  Z  (  seq  N (  o F  +  ,  F
) `  i )  =  ( z  e.  S  |->  (  seq  N
(  +  ,  ( n  e.  Z  |->  ( ( F `  n
) `  z )
) ) `  i
) ) )
118 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( i  =  j  ->  (  seq  N (  o F  +  ,  F ) `
 i )  =  (  seq  N (  o F  +  ,  F ) `  j
) )
119 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( i  =  j  ->  (  seq  N (  +  , 
( n  e.  Z  |->  ( ( F `  n ) `  z
) ) ) `  i )  =  (  seq  N (  +  ,  ( n  e.  Z  |->  ( ( F `
 n ) `  z ) ) ) `
 j ) )
120119mpteq2dv 4123 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( i  =  j  ->  (
z  e.  S  |->  (  seq  N (  +  ,  ( n  e.  Z  |->  ( ( F `
 n ) `  z ) ) ) `
 i ) )  =  ( z  e.  S  |->  (  seq  N
(  +  ,  ( n  e.  Z  |->  ( ( F `  n
) `  z )
) ) `  j
) ) )
121118, 120eqeq12d 2310 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( i  =  j  ->  (
(  seq  N (  o F  +  ,  F ) `  i
)  =  ( z  e.  S  |->  (  seq 
N (  +  , 
( n  e.  Z  |->  ( ( F `  n ) `  z
) ) ) `  i ) )  <->  (  seq  N (  o F  +  ,  F ) `  j
)  =  ( z  e.  S  |->  (  seq 
N (  +  , 
( n  e.  Z  |->  ( ( F `  n ) `  z
) ) ) `  j ) ) ) )
122121rspccv 2894 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A. i  e.  Z  (  seq  N (  o F  +  ,  F ) `
 i )  =  ( z  e.  S  |->  (  seq  N (  +  ,  ( n  e.  Z  |->  ( ( F `  n ) `
 z ) ) ) `  i ) )  ->  ( j  e.  Z  ->  (  seq 
N (  o F  +  ,  F ) `
 j )  =  ( z  e.  S  |->  (  seq  N (  +  ,  ( n  e.  Z  |->  ( ( F `  n ) `
 z ) ) ) `  j ) ) ) )
123117, 69, 122sylc 56 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  (  seq  N
(  o F  +  ,  F ) `  j
)  =  ( z  e.  S  |->  (  seq 
N (  +  , 
( n  e.  Z  |->  ( ( F `  n ) `  z
) ) ) `  j ) ) )
124123fveq1d 5543 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  ( (  seq 
N (  o F  +  ,  F ) `
 j ) `  z )  =  ( ( z  e.  S  |->  (  seq  N (  +  ,  ( n  e.  Z  |->  ( ( F `  n ) `
 z ) ) ) `  j ) ) `  z ) )
125 fvex 5555 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  (  seq 
N (  +  , 
( n  e.  Z  |->  ( ( F `  n ) `  z
) ) ) `  j )  e.  _V
126 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  e.  S  |->  (  seq 
N (  +  , 
( n  e.  Z  |->  ( ( F `  n ) `  z
) ) ) `  j ) )  =  ( z  e.  S  |->  (  seq  N (  +  ,  ( n  e.  Z  |->  ( ( F `  n ) `
 z ) ) ) `  j ) )
127126fvmpt2 5624 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( z  e.  S  /\  (  seq  N (  +  ,  ( n  e.  Z  |->  ( ( F `
 n ) `  z ) ) ) `
 j )  e. 
_V )  ->  (
( z  e.  S  |->  (  seq  N (  +  ,  ( n  e.  Z  |->  ( ( F `  n ) `
 z ) ) ) `  j ) ) `  z )  =  (  seq  N
(  +  ,  ( n  e.  Z  |->  ( ( F `  n
) `  z )
) ) `  j
) )
128125, 127mpan2 652 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  e.  S  ->  (
( z  e.  S  |->  (  seq  N (  +  ,  ( n  e.  Z  |->  ( ( F `  n ) `
 z ) ) ) `  j ) ) `  z )  =  (  seq  N
(  +  ,  ( n  e.  Z  |->  ( ( F `  n
) `  z )
) ) `  j
) )
129124, 128sylan9eq 2348 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  z  e.  S )  ->  (
(  seq  N (  o F  +  ,  F ) `  j
) `  z )  =  (  seq  N (  +  ,  ( n  e.  Z  |->  ( ( F `  n ) `
 z ) ) ) `  j ) )
130115, 129oveq12d 5892 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  z  e.  S )  ->  (
( (  seq  N
(  o F  +  ,  F ) `  i
) `  z )  -  ( (  seq 
N (  o F  +  ,  F ) `
 j ) `  z ) )  =  ( (  seq  N
(  +  ,  ( n  e.  Z  |->  ( ( F `  n
) `  z )
) ) `  i
)  -  (  seq 
N (  +  , 
( n  e.  Z  |->  ( ( F `  n ) `  z
) ) ) `  j ) ) )
13119adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  z  e.  S )  /\  k  e.  ( N ... i
) )  ->  k  e.  Z )
132131, 30syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  z  e.  S )  /\  k  e.  ( N ... i
) )  ->  (
( n  e.  Z  |->  ( ( F `  n ) `  z
) ) `  k
)  =  ( ( F `  k ) `
 z ) )
13362adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  z  e.  S )  ->  i  e.  Z )
134133, 3syl6eleq 2386 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  z  e.  S )  ->  i  e.  ( ZZ>= `  N )
)
135132, 134, 94fsumser 12219 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  z  e.  S )  ->  sum_ k  e.  ( N ... i
) ( ( F `
 k ) `  z )  =  (  seq  N (  +  ,  ( n  e.  Z  |->  ( ( F `
 n ) `  z ) ) ) `
 i ) )
136 elfzuz 10810 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  ( N ... j )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  N )
)
137136, 3syl6eleqr 2387 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  ( N ... j )  ->  k  e.  Z )
138137adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  z  e.  S )  /\  k  e.  ( N ... j
) )  ->  k  e.  Z )
139138, 30syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  z  e.  S )  /\  k  e.  ( N ... j
) )  ->  (
( n  e.  Z  |->  ( ( F `  n ) `  z
) ) `  k
)  =  ( ( F `  k ) `
 z ) )
14069adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  z  e.  S )  ->  j  e.  Z )
141140, 3syl6eleq 2386 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  z  e.  S )  ->  j  e.  ( ZZ>= `  N )
)
14289, 137, 20syl2an 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  k  e.  ( N ... j
) )  ->  ( F `  k )  e.  ( CC  ^m  S
) )
143142, 22syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  k  e.  ( N ... j
) )  ->  ( F `  k ) : S --> CC )
144143, 92sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  k  e.  ( N ... j
) )  /\  z  e.  S )  ->  (
( F `  k
) `  z )  e.  CC )
145144an32s 779 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  z  e.  S )  /\  k  e.  ( N ... j
) )  ->  (
( F `  k
) `  z )  e.  CC )
146139, 141, 145fsumser 12219 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  z  e.  S )  ->  sum_ k  e.  ( N ... j
) ( ( F `
 k ) `  z )  =  (  seq  N (  +  ,  ( n  e.  Z  |->  ( ( F `
 n ) `  z ) ) ) `
 j ) )
147135, 146oveq12d 5892 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  z  e.  S )  ->  ( sum_ k  e.  ( N ... i ) ( ( F `  k
) `  z )  -  sum_ k  e.  ( N ... j ) ( ( F `  k ) `  z
) )  =  ( (  seq  N (  +  ,  ( n  e.  Z  |->  ( ( F `  n ) `
 z ) ) ) `  i )  -  (  seq  N
(  +  ,  ( n  e.  Z  |->  ( ( F `  n
) `  z )
) ) `  j
) ) )
148 eluzelre 10255 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  N
)  ->  j  e.  RR )
14980, 148syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  j  e.  RR )
150149ltp1d 9703 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  j  <  (
j  +  1 ) )
151 fzdisj 10833 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( j  <  ( j  +  1 )  ->  (
( N ... j
)  i^i  ( (
j  +  1 ) ... i ) )  =  (/) )
152150, 151syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  ( ( N ... j )  i^i  ( ( j  +  1 ) ... i
) )  =  (/) )
153152adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  z  e.  S )  ->  (
( N ... j
)  i^i  ( (
j  +  1 ) ... i ) )  =  (/) )
15485adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  z  e.  S )  ->  ( N ... i )  =  ( ( N ... j )  u.  (
( j  +  1 ) ... i ) ) )
155 fzfid 11051 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  z  e.  S )  ->  ( N ... i )  e. 
Fin )
156153, 154, 155, 94fsumsplit 12228 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  z  e.  S )  ->  sum_ k  e.  ( N ... i
) ( ( F `
 k ) `  z )  =  (
sum_ k  e.  ( N ... j ) ( ( F `  k ) `  z
)  +  sum_ k  e.  ( ( j  +  1 ) ... i
) ( ( F `
 k ) `  z ) ) )
157156eqcomd 2301 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  z  e.  S )  ->  ( sum_ k  e.  ( N ... j ) ( ( F `  k
) `  z )  +  sum_ k  e.  ( ( j  +  1 ) ... i ) ( ( F `  k ) `  z
) )  =  sum_ k  e.  ( N ... i ) ( ( F `  k ) `
 z ) )
158155, 94fsumcl 12222 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  z  e.  S )  ->  sum_ k  e.  ( N ... i
) ( ( F `
 k ) `  z )  e.  CC )
159 fzfid 11051 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  z  e.  S )  ->  ( N ... j )  e. 
Fin )
160159, 145fsumcl 12222 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  z  e.  S )  ->  sum_ k  e.  ( N ... j
) ( ( F `
 k ) `  z )  e.  CC )
16178, 95fsumcl 12222 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  z  e.  S )  ->  sum_ k  e.  ( ( j  +  1 ) ... i
) ( ( F `
 k ) `  z )  e.  CC )
162158, 160, 161subaddd 9191 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  z  e.  S )  ->  (
( sum_ k  e.  ( N ... i ) ( ( F `  k ) `  z
)  -  sum_ k  e.  ( N ... j
) ( ( F `
 k ) `  z ) )  = 
sum_ k  e.  ( ( j  +  1 ) ... i ) ( ( F `  k ) `  z
)  <->  ( sum_ k  e.  ( N ... j
) ( ( F `
 k ) `  z )  +  sum_ k  e.  ( (
j  +  1 ) ... i ) ( ( F `  k
) `  z )
)  =  sum_ k  e.  ( N ... i
) ( ( F `
 k ) `  z ) ) )
163157, 162mpbird 223 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  z  e.  S )  ->  ( sum_ k  e.  ( N ... i ) ( ( F `  k
) `  z )  -  sum_ k  e.  ( N ... j ) ( ( F `  k ) `  z
) )  =  sum_ k  e.  ( (
j  +  1 ) ... i ) ( ( F `  k
) `  z )
)
164130, 147, 1633eqtr2d 2334 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  z  e.  S )  ->  (
( (  seq  N
(  o F  +  ,  F ) `  i
) `  z )  -  ( (  seq 
N (  o F  +  ,  F ) `
 j ) `  z ) )  = 
sum_ k  e.  ( ( j  +  1 ) ... i ) ( ( F `  k ) `  z
) )
165164fveq2d 5545 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  z  e.  S )  ->  ( abs `  ( ( (  seq  N (  o F  +  ,  F
) `  i ) `  z )  -  (
(  seq  N (  o F  +  ,  F ) `  j
) `  z )
) )  =  ( abs `  sum_ k  e.  ( ( j  +  1 ) ... i
) ( ( F `
 k ) `  z ) ) )
16678, 95fsumabs 12275 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  z  e.  S )  ->  ( abs `  sum_ k  e.  ( ( j  +  1 ) ... i ) ( ( F `  k ) `  z
) )  <_  sum_ k  e.  ( ( j  +  1 ) ... i
) ( abs `  (
( F `  k
) `  z )
) )
167165, 166eqbrtrd 4059 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  z  e.  S )  ->  ( abs `  ( ( (  seq  N (  o F  +  ,  F
) `  i ) `  z )  -  (
(  seq  N (  o F  +  ,  F ) `  j
) `  z )
) )  <_  sum_ k  e.  ( ( j  +  1 ) ... i
) ( abs `  (
( F `  k
) `  z )
) )
168 simpll 730 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  ph )
169168, 19, 98syl2an 463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  k  e.  ( N ... i
) )  ->  ( M `  k )  e.  RR )
17087, 169syldan 456 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  k  e.  ( ( j  +  1 ) ... i
) )  ->  ( M `  k )  e.  RR )
171170adantlr 695 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  z  e.  S )  /\  k  e.  ( ( j  +  1 ) ... i
) )  ->  ( M `  k )  e.  RR )
17288, 19syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  z  e.  S )  /\  k  e.  ( ( j  +  1 ) ... i
) )  ->  k  e.  Z )
173 mtest.l . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  Z  /\  z  e.  S ) )  -> 
( abs `  (
( F `  k
) `  z )
)  <_  ( M `  k ) )
174173adantlr 695 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
k  e.  Z  /\  z  e.  S )
)  ->  ( abs `  ( ( F `  k ) `  z
) )  <_  ( M `  k )
)
175174adantlr 695 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  ( k  e.  Z  /\  z  e.  S ) )  -> 
( abs `  (
( F `  k
) `  z )
)  <_  ( M `  k ) )
176175anass1rs 782 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  z  e.  S )  /\  k  e.  Z )  ->  ( abs `  ( ( F `
 k ) `  z ) )  <_ 
( M `  k
) )
177172, 176syldan 456 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  z  e.  S )  /\  k  e.  ( ( j  +  1 ) ... i
) )  ->  ( abs `  ( ( F `
 k ) `  z ) )  <_ 
( M `  k
) )
17878, 96, 171, 177fsumle 12273 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  z  e.  S )  ->  sum_ k  e.  ( ( j  +  1 ) ... i
) ( abs `  (
( F `  k
) `  z )
)  <_  sum_ k  e.  ( ( j  +  1 ) ... i
) ( M `  k ) )
179 eqidd 2297 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  k  e.  ( N ... i
) )  ->  ( M `  k )  =  ( M `  k ) )
18062, 3syl6eleq 2386 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  i  e.  (
ZZ>= `  N ) )
181169recnd 8877 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  k  e.  ( N ... i
) )  ->  ( M `  k )  e.  CC )
182179, 180, 181fsumser 12219 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  sum_ k  e.  ( N ... i ) ( M `  k
)  =  (  seq 
N (  +  ,  M ) `  i
) )
183 eqidd 2297 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  k  e.  ( N ... j
) )  ->  ( M `  k )  =  ( M `  k ) )
184168, 137, 98syl2an 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  k  e.  ( N ... j
) )  ->  ( M `  k )  e.  RR )
185184recnd 8877 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  k  e.  ( N ... j
) )  ->  ( M `  k )  e.  CC )
186183, 80, 185fsumser 12219 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  sum_ k  e.  ( N ... j ) ( M `  k
)  =  (  seq 
N (  +  ,  M ) `  j
) )
187182, 186oveq12d 5892 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  ( sum_ k  e.  ( N ... i
) ( M `  k )  -  sum_ k  e.  ( N ... j ) ( M `
 k ) )  =  ( (  seq 
N (  +  ,  M ) `  i
)  -  (  seq 
N (  +  ,  M ) `  j
) ) )
188 fzfid 11051 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  ( N ... i )  e.  Fin )
189152, 85, 188, 181fsumsplit 12228 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  sum_ k  e.  ( N ... i ) ( M `  k
)  =  ( sum_ k  e.  ( N ... j ) ( M `
 k )  + 
sum_ k  e.  ( ( j  +  1 ) ... i ) ( M `  k
) ) )
190189eqcomd 2301 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  ( sum_ k  e.  ( N ... j
) ( M `  k )  +  sum_ k  e.  ( (
j  +  1 ) ... i ) ( M `  k ) )  =  sum_ k  e.  ( N ... i
) ( M `  k ) )
191188, 181fsumcl 12222 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  sum_ k  e.  ( N ... i ) ( M `  k
)  e.  CC )
192 fzfid 11051 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  ( N ... j )  e.  Fin )
193192, 185fsumcl 12222 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  sum_ k  e.  ( N ... j ) ( M `  k
)  e.  CC )
194 fzfid 11051 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  ( ( j  +  1 ) ... i )  e.  Fin )
19587, 181syldan 456 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  k  e.  ( ( j  +  1 ) ... i
) )  ->  ( M `  k )  e.  CC )
196194, 195fsumcl 12222 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  sum_ k  e.  ( ( j  +  1 ) ... i ) ( M `  k
)  e.  CC )
197191, 193, 196subaddd 9191 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  ( ( sum_ k  e.  ( N ... i ) ( M `
 k )  -  sum_ k  e.  ( N ... j ) ( M `  k ) )  =  sum_ k  e.  ( ( j  +  1 ) ... i
) ( M `  k )  <->  ( sum_ k  e.  ( N ... j ) ( M `
 k )  + 
sum_ k  e.  ( ( j  +  1 ) ... i ) ( M `  k
) )  =  sum_ k  e.  ( N ... i ) ( M `
 k ) ) )
198190, 197mpbird 223 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  ( sum_ k  e.  ( N ... i
) ( M `  k )  -  sum_ k  e.  ( N ... j ) ( M `
 k ) )  =  sum_ k  e.  ( ( j  +  1 ) ... i ) ( M `  k
) )
199187, 198eqtr3d 2330 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  ( (  seq 
N (  +  ,  M ) `  i
)  -  (  seq 
N (  +  ,  M ) `  j
) )  =  sum_ k  e.  ( (
j  +  1 ) ... i ) ( M `  k ) )
200199fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  ( abs `  (
(  seq  N (  +  ,  M ) `  i )  -  (  seq  N (  +  ,  M ) `  j
) ) )  =  ( abs `  sum_ k  e.  ( (
j  +  1 ) ... i ) ( M `  k ) ) )
201200adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  z  e.  S )  ->  ( abs `  ( (  seq 
N (  +  ,  M ) `  i
)  -  (  seq 
N (  +  ,  M ) `  j
) ) )  =  ( abs `  sum_ k  e.  ( (
j  +  1 ) ... i ) ( M `  k ) ) )
202199, 105eqeltrrd 2371 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  sum_ k  e.  ( ( j  +  1 ) ... i ) ( M `  k
)  e.  RR )
203202adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  z  e.  S )  ->  sum_ k  e.  ( ( j  +  1 ) ... i
) ( M `  k )  e.  RR )
204 0re 8854 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  0  e.  RR
205204a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  z  e.  S )  /\  k  e.  ( ( j  +  1 ) ... i
) )  ->  0  e.  RR )
20695absge0d 11942 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  z  e.  S )  /\  k  e.  ( ( j  +  1 ) ... i
) )  ->  0  <_  ( abs `  (
( F `  k
) `  z )
) )
207205, 96, 171, 206, 177letrd 8989 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  z  e.  S )  /\  k  e.  ( ( j  +  1 ) ... i
) )  ->  0  <_  ( M `  k
) )
20878, 171, 207fsumge0 12269 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  z  e.  S )  ->  0  <_ 
sum_ k  e.  ( ( j  +  1 ) ... i ) ( M `  k
) )
209203, 208absidd 11921 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  z  e.  S )  ->  ( abs `  sum_ k  e.  ( ( j  +  1 ) ... i ) ( M `  k
) )  =  sum_ k  e.  ( (
j  +  1 ) ... i ) ( M `  k ) )
210201, 209eqtrd 2328 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  z  e.  S )  ->  ( abs `  ( (  seq 
N (  +  ,  M ) `  i
)  -  (  seq 
N (  +  ,  M ) `  j
) ) )  = 
sum_ k  e.  ( ( j  +  1 ) ... i ) ( M `  k
) )
211178, 210breqtrrd 4065 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  z  e.  S )  ->  sum_ k  e.  ( ( j  +  1 ) ... i
) ( abs `  (
( F `  k
) `  z )
)  <_  ( abs `  ( (  seq  N
(  +  ,  M
) `  i )  -  (  seq  N (  +  ,  M ) `
 j ) ) ) )
21277, 97, 108, 167, 211letrd 8989 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  z  e.  S )  ->  ( abs `  ( ( (  seq  N (  o F  +  ,  F
) `  i ) `  z )  -  (
(  seq  N (  o F  +  ,  F ) `  j
) `  z )
) )  <_  ( abs `  ( (  seq 
N (  +  ,  M ) `  i
)  -  (  seq 
N (  +  ,  M ) `  j
) ) ) )
213 simpllr 735 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  z  e.  S )  ->  r  e.  RR+ )
214213rpred 10406 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  z  e.  S )  ->  r  e.  RR )
215 lelttr 8928 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( abs `  (
( (  seq  N
(  o F  +  ,  F ) `  i
) `  z )  -  ( (  seq 
N (  o F  +  ,  F ) `
 j ) `  z ) ) )  e.  RR  /\  ( abs `  ( (  seq 
N (  +  ,  M ) `  i
)  -  (  seq 
N (  +  ,  M ) `  j
) ) )  e.  RR  /\  r  e.  RR )  ->  (
( ( abs `  (
( (  seq  N
(  o F  +  ,  F ) `  i
) `  z )  -  ( (  seq 
N (  o F  +  ,  F ) `
 j ) `  z ) ) )  <_  ( abs `  (
(  seq  N (  +  ,  M ) `  i )  -  (  seq  N (  +  ,  M ) `  j
) ) )  /\  ( abs `  ( (  seq  N (  +  ,  M ) `  i )  -  (  seq  N (  +  ,  M ) `  j
) ) )  < 
r )  ->  ( abs `  ( ( (  seq  N (  o F  +  ,  F
) `  i ) `  z )  -  (
(  seq  N (  o F  +  ,  F ) `  j
) `  z )
) )  <  r
) )
21677, 108, 214, 215syl3anc 1182 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  z  e.  S )  ->  (
( ( abs `  (
( (  seq  N
(  o F  +  ,  F ) `  i
) `  z )  -  ( (  seq 
N (  o F  +  ,  F ) `
 j ) `  z ) ) )  <_  ( abs `  (
(  seq  N (  +  ,  M ) `  i )  -  (  seq  N (  +  ,  M ) `  j
) ) )  /\  ( abs `  ( (  seq  N (  +  ,  M ) `  i )  -  (  seq  N (  +  ,  M ) `  j
) ) )  < 
r )  ->  ( abs `  ( ( (  seq  N (  o F  +  ,  F
) `  i ) `  z )  -  (
(  seq  N (  o F  +  ,  F ) `  j
) `  z )
) )  <  r
) )
217212, 216mpand 656 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  z  e.  S )  ->  (
( abs `  (
(  seq  N (  +  ,  M ) `  i )  -  (  seq  N (  +  ,  M ) `  j
) ) )  < 
r  ->  ( abs `  ( ( (  seq 
N (  o F  +  ,  F ) `
 i ) `  z )  -  (
(  seq  N (  o F  +  ,  F ) `  j
) `  z )
) )  <  r
) )
218217ralrimdva 2646 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  ( ( abs `  ( (  seq  N
(  +  ,  M
) `  i )  -  (  seq  N (  +  ,  M ) `
 j ) ) )  <  r  ->  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( (  seq  N (  o F  +  ,  F ) `  i
) `  z )  -  ( (  seq 
N (  o F  +  ,  F ) `
 j ) `  z ) ) )  <  r ) )
219218anassrs 629 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z )  /\  i  e.  ( ZZ>=
`  j ) )  ->  ( ( abs `  ( (  seq  N
(  +  ,  M
) `  i )  -  (  seq  N (  +  ,  M ) `
 j ) ) )  <  r  ->  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( (  seq  N (  o F  +  ,  F ) `  i
) `  z )  -  ( (  seq 
N (  o F  +  ,  F ) `
 j ) `  z ) ) )  <  r ) )
220219ralimdva 2634 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z )  ->  ( A. i  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( abs `  ( (  seq  N (  +  ,  M ) `  i )  -  (  seq  N (  +  ,  M ) `  j
) ) )  < 
r  ->  A. i  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( (  seq  N (  o F  +  ,  F ) `  i
) `  z )  -  ( (  seq 
N (  o F  +  ,  F ) `
 j ) `  z ) ) )  <  r ) )
221220reximdva 2668 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( E. j  e.  Z  A. i  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( (  seq  N
(  +  ,  M
) `  i )  -  (  seq  N (  +  ,  M ) `
 j ) ) )  <  r  ->  E. j  e.  Z  A. i  e.  ( ZZ>=
`  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( (  seq  N (  o F  +  ,  F
) `  i ) `  z )  -  (
(  seq  N (  o F  +  ,  F ) `  j
) `  z )
) )  <  r
) )
222221ralimdva 2634 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. r  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. i  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( abs `  ( (  seq  N (  +  ,  M ) `  i )  -  (  seq  N (  +  ,  M ) `  j
) ) )  < 
r  ->  A. r  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. i  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( (  seq  N (  o F  +  ,  F ) `  i
) `  z )  -  ( (  seq 
N (  o F  +  ,  F ) `
 j ) `  z ) ) )  <  r ) )
2235, 222mpd 14 . 2  |-  ( ph  ->  A. r  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. i  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( (  seq 
N (  o F  +  ,  F ) `
 i ) `  z )  -  (
(  seq  N (  o F  +  ,  F ) `  j
) `  z )
) )  <  r
)
2243, 1, 10, 59ulmcau 19788 . 2  |-  ( ph  ->  (  seq  N (  o F  +  ,  F )  e.  dom  (
~~> u `  S )  <->  A. r  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. i  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( (  seq  N (  o F  +  ,  F ) `  i
) `  z )  -  ( (  seq 
N (  o F  +  ,  F ) `
 j ) `  z ) ) )  <  r ) )
225223, 224mpbird 223 1  |-  ( ph  ->  seq  N (  o F  +  ,  F
)  e.  dom  ( ~~> u `  S )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   E.wrex 2557   _Vcvv 2801    u. cun 3163    i^i cin 3164   (/)c0 3468   class class class wbr 4039    e. cmpt 4093   dom cdm 4705    Fn wfn 5266   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874    o Fcof 6092    ^m cmap 6788   CCcc 8751   RRcr 8752   0cc0 8753   1c1 8754    + caddc 8756    < clt 8883    <_ cle 8884    - cmin 9053   ZZcz 10040   ZZ>=cuz 10246   RR+crp 10370   ...cfz 10798    seq cseq 11062   abscabs 11735    ~~> cli 11974   sum_csu 12174   ~~> uculm 19771
This theorem is referenced by:  pserulm  19814
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831  ax-addf 8832  ax-mulf 8833
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-pm 6791  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-rp 10371  df-ico 10678  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-fl 10941  df-seq 11063  df-exp 11121  df-hash 11354  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-limsup 11961  df-clim 11978  df-rlim 11979  df-sum 12175  df-ulm 19772
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