MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  muf Structured version   Unicode version

Theorem muf 20913
Description: The Möbius function is a function into the integers. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
muf  |-  mmu : NN
--> ZZ

Proof of Theorem muf
Dummy variables  p  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-mu 20873 . 2  |-  mmu  =  ( x  e.  NN  |->  if ( E. p  e. 
Prime  ( p ^ 2 )  ||  x ,  0 ,  ( -u
1 ^ ( # `  { p  e.  Prime  |  p  ||  x }
) ) ) )
2 0z 10283 . . 3  |-  0  e.  ZZ
3 1z 10301 . . . . 5  |-  1  e.  ZZ
4 znegcl 10303 . . . . 5  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  -u 1  e.  ZZ )
53, 4ax-mp 8 . . . 4  |-  -u 1  e.  ZZ
6 prmdvdsfi 20880 . . . . 5  |-  ( x  e.  NN  ->  { p  e.  Prime  |  p  ||  x }  e.  Fin )
7 hashcl 11629 . . . . 5  |-  ( { p  e.  Prime  |  p 
||  x }  e.  Fin  ->  ( # `  {
p  e.  Prime  |  p 
||  x } )  e.  NN0 )
86, 7syl 16 . . . 4  |-  ( x  e.  NN  ->  ( # `
 { p  e. 
Prime  |  p  ||  x } )  e.  NN0 )
9 zexpcl 11386 . . . 4  |-  ( (
-u 1  e.  ZZ  /\  ( # `  {
p  e.  Prime  |  p 
||  x } )  e.  NN0 )  -> 
( -u 1 ^ ( # `
 { p  e. 
Prime  |  p  ||  x } ) )  e.  ZZ )
105, 8, 9sylancr 645 . . 3  |-  ( x  e.  NN  ->  ( -u 1 ^ ( # `  { p  e.  Prime  |  p  ||  x }
) )  e.  ZZ )
11 ifcl 3767 . . 3  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  ( -u 1 ^ ( # `
 { p  e. 
Prime  |  p  ||  x } ) )  e.  ZZ )  ->  if ( E. p  e.  Prime  ( p ^ 2 ) 
||  x ,  0 ,  ( -u 1 ^ ( # `  {
p  e.  Prime  |  p 
||  x } ) ) )  e.  ZZ )
122, 10, 11sylancr 645 . 2  |-  ( x  e.  NN  ->  if ( E. p  e.  Prime  ( p ^ 2 ) 
||  x ,  0 ,  ( -u 1 ^ ( # `  {
p  e.  Prime  |  p 
||  x } ) ) )  e.  ZZ )
131, 12fmpti 5884 1  |-  mmu : NN
--> ZZ
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    e. wcel 1725   E.wrex 2698   {crab 2701   ifcif 3731   class class class wbr 4204   -->wf 5442   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   Fincfn 7101   0cc0 8980   1c1 8981   -ucneg 9282   NNcn 9990   2c2 10039   NN0cn0 10211   ZZcz 10272   ^cexp 11372   #chash 11608    || cdivides 12842   Primecprime 13069   mmucmu 20867
This theorem is referenced by:  mucl  20914
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9036  ax-resscn 9037  ax-1cn 9038  ax-icn 9039  ax-addcl 9040  ax-addrcl 9041  ax-mulcl 9042  ax-mulrcl 9043  ax-mulcom 9044  ax-addass 9045  ax-mulass 9046  ax-distr 9047  ax-i2m1 9048  ax-1ne0 9049  ax-1rid 9050  ax-rnegex 9051  ax-rrecex 9052  ax-cnre 9053  ax-pre-lttri 9054  ax-pre-lttrn 9055  ax-pre-ltadd 9056  ax-pre-mulgt0 9057
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-card 7816  df-pnf 9112  df-mnf 9113  df-xr 9114  df-ltxr 9115  df-le 9116  df-sub 9283  df-neg 9284  df-nn 9991  df-n0 10212  df-z 10273  df-uz 10479  df-fz 11034  df-seq 11314  df-exp 11373  df-hash 11609  df-dvds 12843  df-prm 13070  df-mu 20873
  Copyright terms: Public domain W3C validator