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Theorem muinv 20449
Description: The Möbius inversion formula. If  G ( n )  =  sum_ k  ||  n F ( k ) for every  n  e.  NN, then  F ( n )  = 
sum_ k  ||  n  mmu ( k ) G ( n  /  k )  = 
sum_ k  ||  n mmu ( n  /  k
) G ( k ), i.e. the Möbius function is the Dirichlet convolution inverse of the constant function  1. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
muinv.1  |-  ( ph  ->  F : NN --> CC )
muinv.2  |-  ( ph  ->  G  =  ( n  e.  NN  |->  sum_ k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  n } 
( F `  k
) ) )
Assertion
Ref Expression
muinv  |-  ( ph  ->  F  =  ( m  e.  NN  |->  sum_ j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m } 
( ( mmu `  j )  x.  ( G `  ( m  /  j ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    k, m, j, n, F    x, j,
k, m, n    ph, j,
k, m
Allowed substitution hints:    ph( x, n)    F( x)    G( x, j, k, m, n)

Proof of Theorem muinv
StepHypRef Expression
1 muinv.1 . . 3  |-  ( ph  ->  F : NN --> CC )
21feqmptd 5591 . 2  |-  ( ph  ->  F  =  ( m  e.  NN  |->  ( F `
 m ) ) )
3 muinv.2 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  G  =  ( n  e.  NN  |->  sum_ k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  n } 
( F `  k
) ) )
43ad2antrr 706 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }
)  ->  G  =  ( n  e.  NN  |->  sum_ k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  n }  ( F `  k ) ) )
54fveq1d 5543 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }
)  ->  ( G `  ( m  /  j
) )  =  ( ( n  e.  NN  |->  sum_ k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  n }  ( F `  k ) ) `  ( m  /  j
) ) )
6 breq1 4042 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  j  ->  (
x  ||  m  <->  j  ||  m ) )
76elrab 2936 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }  <->  ( j  e.  NN  /\  j  ||  m ) )
87simprbi 450 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }  ->  j  ||  m )
98adantl 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }
)  ->  j  ||  m )
107simplbi 446 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }  ->  j  e.  NN )
1110adantl 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }
)  ->  j  e.  NN )
1211nnzd 10132 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }
)  ->  j  e.  ZZ )
1311nnne0d 9806 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }
)  ->  j  =/=  0 )
14 nnz 10061 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  e.  NN  ->  m  e.  ZZ )
1514ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }
)  ->  m  e.  ZZ )
16 dvdsval2 12550 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( j  e.  ZZ  /\  j  =/=  0  /\  m  e.  ZZ )  ->  (
j  ||  m  <->  ( m  /  j )  e.  ZZ ) )
1712, 13, 15, 16syl3anc 1182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }
)  ->  ( j  ||  m  <->  ( m  / 
j )  e.  ZZ ) )
189, 17mpbid 201 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }
)  ->  ( m  /  j )  e.  ZZ )
19 nnre 9769 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  e.  NN  ->  m  e.  RR )
20 nngt0 9791 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  e.  NN  ->  0  <  m )
2119, 20jca 518 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  e.  NN  ->  (
m  e.  RR  /\  0  <  m ) )
2221ad2antlr 707 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }
)  ->  ( m  e.  RR  /\  0  < 
m ) )
23 nnre 9769 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  e.  NN  ->  j  e.  RR )
24 nngt0 9791 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  e.  NN  ->  0  <  j )
2523, 24jca 518 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  NN  ->  (
j  e.  RR  /\  0  <  j ) )
2611, 25syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }
)  ->  ( j  e.  RR  /\  0  < 
j ) )
27 divgt0 9640 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( m  e.  RR  /\  0  <  m )  /\  ( j  e.  RR  /\  0  < 
j ) )  -> 
0  <  ( m  /  j ) )
2822, 26, 27syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }
)  ->  0  <  ( m  /  j ) )
29 elnnz 10050 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( m  /  j )  e.  NN  <->  ( (
m  /  j )  e.  ZZ  /\  0  <  ( m  /  j
) ) )
3018, 28, 29sylanbrc 645 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }
)  ->  ( m  /  j )  e.  NN )
31 breq2 4043 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  ( m  / 
j )  ->  (
x  ||  n  <->  x  ||  (
m  /  j ) ) )
3231rabbidv 2793 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  ( m  / 
j )  ->  { x  e.  NN  |  x  ||  n }  =  {
x  e.  NN  |  x  ||  ( m  / 
j ) } )
3332sumeq1d 12190 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  ( m  / 
j )  ->  sum_ k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  n } 
( F `  k
)  =  sum_ k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( m  /  j ) }  ( F `  k
) )
34 eqid 2296 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  |->  sum_ k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  n } 
( F `  k
) )  =  ( n  e.  NN  |->  sum_ k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  n }  ( F `  k ) )
35 sumex 12176 . . . . . . . . . 10  |-  sum_ k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( m  /  j ) }  ( F `  k
)  e.  _V
3633, 34, 35fvmpt 5618 . . . . . . . . 9  |-  ( ( m  /  j )  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  sum_ k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  n }  ( F `  k ) ) `  ( m  /  j
) )  =  sum_ k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( m  /  j
) }  ( F `
 k ) )
3730, 36syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }
)  ->  ( (
n  e.  NN  |->  sum_ k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  n }  ( F `  k ) ) `  ( m  /  j
) )  =  sum_ k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( m  /  j
) }  ( F `
 k ) )
385, 37eqtrd 2328 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }
)  ->  ( G `  ( m  /  j
) )  =  sum_ k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( m  /  j
) }  ( F `
 k ) )
3938oveq2d 5890 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }
)  ->  ( (
mmu `  j )  x.  ( G `  (
m  /  j ) ) )  =  ( ( mmu `  j
)  x.  sum_ k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( m  /  j ) }  ( F `  k
) ) )
40 fzfid 11051 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }
)  ->  ( 1 ... ( m  / 
j ) )  e. 
Fin )
41 sgmss 20360 . . . . . . . . 9  |-  ( ( m  /  j )  e.  NN  ->  { x  e.  NN  |  x  ||  ( m  /  j
) }  C_  (
1 ... ( m  / 
j ) ) )
4230, 41syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }
)  ->  { x  e.  NN  |  x  ||  ( m  /  j
) }  C_  (
1 ... ( m  / 
j ) ) )
43 ssfi 7099 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 1 ... (
m  /  j ) )  e.  Fin  /\  { x  e.  NN  |  x  ||  ( m  / 
j ) }  C_  ( 1 ... (
m  /  j ) ) )  ->  { x  e.  NN  |  x  ||  ( m  /  j
) }  e.  Fin )
4440, 42, 43syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }
)  ->  { x  e.  NN  |  x  ||  ( m  /  j
) }  e.  Fin )
45 mucl 20395 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  NN  ->  (
mmu `  j )  e.  ZZ )
4611, 45syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }
)  ->  ( mmu `  j )  e.  ZZ )
4746zcnd 10134 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }
)  ->  ( mmu `  j )  e.  CC )
481ad2antrr 706 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }
)  ->  F : NN
--> CC )
49 ssrab2 3271 . . . . . . . . 9  |-  { x  e.  NN  |  x  ||  ( m  /  j
) }  C_  NN
5049sseli 3189 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( m  /  j
) }  ->  k  e.  NN )
51 ffvelrn 5679 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : NN --> CC  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `  k
)  e.  CC )
5248, 50, 51syl2an 463 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m } )  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( m  /  j ) } )  ->  ( F `  k )  e.  CC )
5344, 47, 52fsummulc2 12262 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }
)  ->  ( (
mmu `  j )  x.  sum_ k  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  ( m  / 
j ) }  ( F `  k )
)  =  sum_ k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( m  /  j ) }  ( ( mmu `  j )  x.  ( F `  k )
) )
5439, 53eqtrd 2328 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }
)  ->  ( (
mmu `  j )  x.  ( G `  (
m  /  j ) ) )  =  sum_ k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( m  /  j
) }  ( ( mmu `  j )  x.  ( F `  k ) ) )
5554sumeq2dv 12192 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  sum_ j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m } 
( ( mmu `  j )  x.  ( G `  ( m  /  j ) ) )  =  sum_ j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m } sum_ k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( m  /  j
) }  ( ( mmu `  j )  x.  ( F `  k ) ) )
56 simpr 447 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  m  e.  NN )
5747adantrr 697 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( m  /  j ) } ) )  ->  (
mmu `  j )  e.  CC )
5852anasss 628 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( m  /  j ) } ) )  ->  ( F `  k )  e.  CC )
5957, 58mulcld 8871 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( m  /  j ) } ) )  ->  (
( mmu `  j
)  x.  ( F `
 k ) )  e.  CC )
6056, 59fsumdvdsdiag 20440 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  sum_ j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m } sum_ k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( m  /  j
) }  ( ( mmu `  j )  x.  ( F `  k ) )  = 
sum_ k  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  m } sum_ j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( m  /  k
) }  ( ( mmu `  j )  x.  ( F `  k ) ) )
61 ssrab2 3271 . . . . . . . . . 10  |-  { x  e.  NN  |  x  ||  m }  C_  NN
62 dvdsdivcl 20437 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( m  e.  NN  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m } )  ->  (
m  /  k )  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m } )
6362adantll 694 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }
)  ->  ( m  /  k )  e. 
{ x  e.  NN  |  x  ||  m }
)
6461, 63sseldi 3191 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }
)  ->  ( m  /  k )  e.  NN )
65 musum 20447 . . . . . . . . 9  |-  ( ( m  /  k )  e.  NN  ->  sum_ j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( m  /  k ) }  ( mmu `  j
)  =  if ( ( m  /  k
)  =  1 ,  1 ,  0 ) )
6664, 65syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }
)  ->  sum_ j  e. 
{ x  e.  NN  |  x  ||  ( m  /  k ) }  ( mmu `  j
)  =  if ( ( m  /  k
)  =  1 ,  1 ,  0 ) )
6766oveq1d 5889 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }
)  ->  ( sum_ j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( m  /  k
) }  ( mmu `  j )  x.  ( F `  k )
)  =  ( if ( ( m  / 
k )  =  1 ,  1 ,  0 )  x.  ( F `
 k ) ) )
68 fzfid 11051 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }
)  ->  ( 1 ... ( m  / 
k ) )  e. 
Fin )
69 sgmss 20360 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( m  /  k )  e.  NN  ->  { x  e.  NN  |  x  ||  ( m  /  k
) }  C_  (
1 ... ( m  / 
k ) ) )
7064, 69syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }
)  ->  { x  e.  NN  |  x  ||  ( m  /  k
) }  C_  (
1 ... ( m  / 
k ) ) )
71 ssfi 7099 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 1 ... (
m  /  k ) )  e.  Fin  /\  { x  e.  NN  |  x  ||  ( m  / 
k ) }  C_  ( 1 ... (
m  /  k ) ) )  ->  { x  e.  NN  |  x  ||  ( m  /  k
) }  e.  Fin )
7268, 70, 71syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }
)  ->  { x  e.  NN  |  x  ||  ( m  /  k
) }  e.  Fin )
731adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  F : NN
--> CC )
7461sseli 3189 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }  ->  k  e.  NN )
7573, 74, 51syl2an 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }
)  ->  ( F `  k )  e.  CC )
76 ssrab2 3271 . . . . . . . . . . 11  |-  { x  e.  NN  |  x  ||  ( m  /  k
) }  C_  NN
77 simpr 447 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m } )  /\  j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( m  /  k ) } )  ->  j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( m  / 
k ) } )
7876, 77sseldi 3191 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m } )  /\  j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( m  /  k ) } )  ->  j  e.  NN )
7978, 45syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m } )  /\  j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( m  /  k ) } )  ->  ( mmu `  j )  e.  ZZ )
8079zcnd 10134 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m } )  /\  j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( m  /  k ) } )  ->  ( mmu `  j )  e.  CC )
8172, 75, 80fsummulc1 12263 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }
)  ->  ( sum_ j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( m  /  k
) }  ( mmu `  j )  x.  ( F `  k )
)  =  sum_ j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( m  /  k ) }  ( ( mmu `  j )  x.  ( F `  k )
) )
82 oveq1 5881 . . . . . . . . 9  |-  ( if ( ( m  / 
k )  =  1 ,  1 ,  0 )  =  1  -> 
( if ( ( m  /  k )  =  1 ,  1 ,  0 )  x.  ( F `  k
) )  =  ( 1  x.  ( F `
 k ) ) )
83 oveq1 5881 . . . . . . . . 9  |-  ( if ( ( m  / 
k )  =  1 ,  1 ,  0 )  =  0  -> 
( if ( ( m  /  k )  =  1 ,  1 ,  0 )  x.  ( F `  k
) )  =  ( 0  x.  ( F `
 k ) ) )
8482, 83ifsb 3587 . . . . . . . 8  |-  ( if ( ( m  / 
k )  =  1 ,  1 ,  0 )  x.  ( F `
 k ) )  =  if ( ( m  /  k )  =  1 ,  ( 1  x.  ( F `
 k ) ) ,  ( 0  x.  ( F `  k
) ) )
85 nncn 9770 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  e.  NN  ->  m  e.  CC )
8685ad2antlr 707 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }
)  ->  m  e.  CC )
8774adantl 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }
)  ->  k  e.  NN )
8887nncnd 9778 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }
)  ->  k  e.  CC )
89 ax-1cn 8811 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  CC
9089a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }
)  ->  1  e.  CC )
9187nnne0d 9806 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }
)  ->  k  =/=  0 )
9286, 88, 90, 91divmuld 9574 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }
)  ->  ( (
m  /  k )  =  1  <->  ( k  x.  1 )  =  m ) )
9388mulid1d 8868 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }
)  ->  ( k  x.  1 )  =  k )
9493eqeq1d 2304 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }
)  ->  ( (
k  x.  1 )  =  m  <->  k  =  m ) )
9592, 94bitrd 244 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }
)  ->  ( (
m  /  k )  =  1  <->  k  =  m ) )
9675mulid2d 8869 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }
)  ->  ( 1  x.  ( F `  k ) )  =  ( F `  k
) )
9775mul02d 9026 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }
)  ->  ( 0  x.  ( F `  k ) )  =  0 )
9895, 96, 97ifbieq12d 3600 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }
)  ->  if (
( m  /  k
)  =  1 ,  ( 1  x.  ( F `  k )
) ,  ( 0  x.  ( F `  k ) ) )  =  if ( k  =  m ,  ( F `  k ) ,  0 ) )
9984, 98syl5eq 2340 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }
)  ->  ( if ( ( m  / 
k )  =  1 ,  1 ,  0 )  x.  ( F `
 k ) )  =  if ( k  =  m ,  ( F `  k ) ,  0 ) )
10067, 81, 993eqtr3d 2336 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }
)  ->  sum_ j  e. 
{ x  e.  NN  |  x  ||  ( m  /  k ) }  ( ( mmu `  j )  x.  ( F `  k )
)  =  if ( k  =  m ,  ( F `  k
) ,  0 ) )
101100sumeq2dv 12192 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  sum_ k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m } sum_ j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( m  /  k
) }  ( ( mmu `  j )  x.  ( F `  k ) )  = 
sum_ k  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  m } if ( k  =  m ,  ( F `  k ) ,  0 ) )
10256nnzd 10132 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  m  e.  ZZ )
103 iddvds 12558 . . . . . . . . 9  |-  ( m  e.  ZZ  ->  m  ||  m )
104102, 103syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  m  ||  m )
105 breq1 4042 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  m  ->  (
x  ||  m  <->  m  ||  m
) )
106105elrab 2936 . . . . . . . 8  |-  ( m  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }  <->  ( m  e.  NN  /\  m  ||  m ) )
10756, 104, 106sylanbrc 645 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  m  e. 
{ x  e.  NN  |  x  ||  m }
)
108107snssd 3776 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  { m }  C_  { x  e.  NN  |  x  ||  m } )
109108sselda 3193 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  { m } )  ->  k  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  m } )
110109, 75syldan 456 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  { m } )  ->  ( F `  k )  e.  CC )
111 0cn 8847 . . . . . . 7  |-  0  e.  CC
112 ifcl 3614 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F `  k
)  e.  CC  /\  0  e.  CC )  ->  if ( k  =  m ,  ( F `
 k ) ,  0 )  e.  CC )
113110, 111, 112sylancl 643 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  { m } )  ->  if ( k  =  m ,  ( F `  k ) ,  0 )  e.  CC )
114 eldifsni 3763 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( { x  e.  NN  |  x  ||  m }  \  { m } )  ->  k  =/=  m )
115114adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  ( { x  e.  NN  |  x  ||  m }  \  { m } ) )  -> 
k  =/=  m )
116115neneqd 2475 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  ( { x  e.  NN  |  x  ||  m }  \  { m } ) )  ->  -.  k  =  m
)
117 iffalse 3585 . . . . . . 7  |-  ( -.  k  =  m  ->  if ( k  =  m ,  ( F `  k ) ,  0 )  =  0 )
118116, 117syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  ( { x  e.  NN  |  x  ||  m }  \  { m } ) )  ->  if ( k  =  m ,  ( F `  k ) ,  0 )  =  0 )
119 fzfid 11051 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( 1 ... m )  e. 
Fin )
120 sgmss 20360 . . . . . . . 8  |-  ( m  e.  NN  ->  { x  e.  NN  |  x  ||  m }  C_  ( 1 ... m ) )
121120adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  { x  e.  NN  |  x  ||  m }  C_  ( 1 ... m ) )
122 ssfi 7099 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 1 ... m
)  e.  Fin  /\  { x  e.  NN  |  x  ||  m }  C_  ( 1 ... m
) )  ->  { x  e.  NN  |  x  ||  m }  e.  Fin )
123119, 121, 122syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  { x  e.  NN  |  x  ||  m }  e.  Fin )
124108, 113, 118, 123fsumss 12214 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  sum_ k  e.  { m } if ( k  =  m ,  ( F `  k ) ,  0 )  =  sum_ k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m } if ( k  =  m ,  ( F `  k ) ,  0 ) )
125 ffvelrn 5679 . . . . . . 7  |-  ( ( F : NN --> CC  /\  m  e.  NN )  ->  ( F `  m
)  e.  CC )
1261, 125sylan 457 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( F `
 m )  e.  CC )
127 iftrue 3584 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  m  ->  if ( k  =  m ,  ( F `  k ) ,  0 )  =  ( F `
 k ) )
128 fveq2 5541 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  m  ->  ( F `  k )  =  ( F `  m ) )
129127, 128eqtrd 2328 . . . . . . 7  |-  ( k  =  m  ->  if ( k  =  m ,  ( F `  k ) ,  0 )  =  ( F `
 m ) )
130129sumsn 12229 . . . . . 6  |-  ( ( m  e.  NN  /\  ( F `  m )  e.  CC )  ->  sum_ k  e.  { m } if ( k  =  m ,  ( F `
 k ) ,  0 )  =  ( F `  m ) )
13156, 126, 130syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  sum_ k  e.  { m } if ( k  =  m ,  ( F `  k ) ,  0 )  =  ( F `
 m ) )
132101, 124, 1313eqtr2d 2334 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  sum_ k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m } sum_ j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( m  /  k
) }  ( ( mmu `  j )  x.  ( F `  k ) )  =  ( F `  m
) )
13355, 60, 1323eqtrd 2332 . . 3  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  sum_ j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m } 
( ( mmu `  j )  x.  ( G `  ( m  /  j ) ) )  =  ( F `
 m ) )
134133mpteq2dva 4122 . 2  |-  ( ph  ->  ( m  e.  NN  |->  sum_ j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }  ( (
mmu `  j )  x.  ( G `  (
m  /  j ) ) ) )  =  ( m  e.  NN  |->  ( F `  m ) ) )
1352, 134eqtr4d 2331 1  |-  ( ph  ->  F  =  ( m  e.  NN  |->  sum_ j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m } 
( ( mmu `  j )  x.  ( G `  ( m  /  j ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   {crab 2560    \ cdif 3162    C_ wss 3165   ifcif 3578   {csn 3653   class class class wbr 4039    e. cmpt 4093   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   Fincfn 6879   CCcc 8751   RRcr 8752   0cc0 8753   1c1 8754    x. cmul 8758    < clt 8883    / cdiv 9439   NNcn 9762   ZZcz 10040   ...cfz 10798   sum_csu 12174    || cdivides 12547   mmucmu 20348
This theorem is referenced by:  dchrvmasumlem1  20660  logsqvma2  20708
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-disj 4010  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-cda 7810  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-fl 10941  df-mod 10990  df-seq 11063  df-exp 11121  df-fac 11305  df-bc 11332  df-hash 11354  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-clim 11978  df-sum 12175  df-dvds 12548  df-gcd 12702  df-prm 12775  df-pc 12906  df-mu 20354
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