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Theorem muinv 20433
Description: The Möbius inversion formula. If  G ( n )  =  sum_ k  ||  n F ( k ) for every  n  e.  NN, then  F ( n )  = 
sum_ k  ||  n  mmu ( k ) G ( n  /  k )  = 
sum_ k  ||  n mmu ( n  /  k
) G ( k ), i.e. the Möbius function is the Dirichlet convolution inverse of the constant function  1. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
muinv.1  |-  ( ph  ->  F : NN --> CC )
muinv.2  |-  ( ph  ->  G  =  ( n  e.  NN  |->  sum_ k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  n } 
( F `  k
) ) )
Assertion
Ref Expression
muinv  |-  ( ph  ->  F  =  ( m  e.  NN  |->  sum_ j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m } 
( ( mmu `  j )  x.  ( G `  ( m  /  j ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    k, m, j, n, F    x, j,
k, m, n    ph, j,
k, m
Allowed substitution hints:    ph( x, n)    F( x)    G( x, j, k, m, n)

Proof of Theorem muinv
StepHypRef Expression
1 muinv.1 . . 3  |-  ( ph  ->  F : NN --> CC )
21feqmptd 5575 . 2  |-  ( ph  ->  F  =  ( m  e.  NN  |->  ( F `
 m ) ) )
3 muinv.2 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  G  =  ( n  e.  NN  |->  sum_ k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  n } 
( F `  k
) ) )
43ad2antrr 706 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }
)  ->  G  =  ( n  e.  NN  |->  sum_ k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  n }  ( F `  k ) ) )
54fveq1d 5527 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }
)  ->  ( G `  ( m  /  j
) )  =  ( ( n  e.  NN  |->  sum_ k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  n }  ( F `  k ) ) `  ( m  /  j
) ) )
6 breq1 4026 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  j  ->  (
x  ||  m  <->  j  ||  m ) )
76elrab 2923 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }  <->  ( j  e.  NN  /\  j  ||  m ) )
87simprbi 450 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }  ->  j  ||  m )
98adantl 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }
)  ->  j  ||  m )
107simplbi 446 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }  ->  j  e.  NN )
1110adantl 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }
)  ->  j  e.  NN )
1211nnzd 10116 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }
)  ->  j  e.  ZZ )
1311nnne0d 9790 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }
)  ->  j  =/=  0 )
14 nnz 10045 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  e.  NN  ->  m  e.  ZZ )
1514ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }
)  ->  m  e.  ZZ )
16 dvdsval2 12534 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( j  e.  ZZ  /\  j  =/=  0  /\  m  e.  ZZ )  ->  (
j  ||  m  <->  ( m  /  j )  e.  ZZ ) )
1712, 13, 15, 16syl3anc 1182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }
)  ->  ( j  ||  m  <->  ( m  / 
j )  e.  ZZ ) )
189, 17mpbid 201 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }
)  ->  ( m  /  j )  e.  ZZ )
19 nnre 9753 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  e.  NN  ->  m  e.  RR )
20 nngt0 9775 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  e.  NN  ->  0  <  m )
2119, 20jca 518 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  e.  NN  ->  (
m  e.  RR  /\  0  <  m ) )
2221ad2antlr 707 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }
)  ->  ( m  e.  RR  /\  0  < 
m ) )
23 nnre 9753 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  e.  NN  ->  j  e.  RR )
24 nngt0 9775 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  e.  NN  ->  0  <  j )
2523, 24jca 518 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  NN  ->  (
j  e.  RR  /\  0  <  j ) )
2611, 25syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }
)  ->  ( j  e.  RR  /\  0  < 
j ) )
27 divgt0 9624 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( m  e.  RR  /\  0  <  m )  /\  ( j  e.  RR  /\  0  < 
j ) )  -> 
0  <  ( m  /  j ) )
2822, 26, 27syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }
)  ->  0  <  ( m  /  j ) )
29 elnnz 10034 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( m  /  j )  e.  NN  <->  ( (
m  /  j )  e.  ZZ  /\  0  <  ( m  /  j
) ) )
3018, 28, 29sylanbrc 645 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }
)  ->  ( m  /  j )  e.  NN )
31 breq2 4027 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  ( m  / 
j )  ->  (
x  ||  n  <->  x  ||  (
m  /  j ) ) )
3231rabbidv 2780 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  ( m  / 
j )  ->  { x  e.  NN  |  x  ||  n }  =  {
x  e.  NN  |  x  ||  ( m  / 
j ) } )
3332sumeq1d 12174 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  ( m  / 
j )  ->  sum_ k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  n } 
( F `  k
)  =  sum_ k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( m  /  j ) }  ( F `  k
) )
34 eqid 2283 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  |->  sum_ k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  n } 
( F `  k
) )  =  ( n  e.  NN  |->  sum_ k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  n }  ( F `  k ) )
35 sumex 12160 . . . . . . . . . 10  |-  sum_ k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( m  /  j ) }  ( F `  k
)  e.  _V
3633, 34, 35fvmpt 5602 . . . . . . . . 9  |-  ( ( m  /  j )  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  sum_ k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  n }  ( F `  k ) ) `  ( m  /  j
) )  =  sum_ k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( m  /  j
) }  ( F `
 k ) )
3730, 36syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }
)  ->  ( (
n  e.  NN  |->  sum_ k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  n }  ( F `  k ) ) `  ( m  /  j
) )  =  sum_ k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( m  /  j
) }  ( F `
 k ) )
385, 37eqtrd 2315 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }
)  ->  ( G `  ( m  /  j
) )  =  sum_ k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( m  /  j
) }  ( F `
 k ) )
3938oveq2d 5874 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }
)  ->  ( (
mmu `  j )  x.  ( G `  (
m  /  j ) ) )  =  ( ( mmu `  j
)  x.  sum_ k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( m  /  j ) }  ( F `  k
) ) )
40 fzfid 11035 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }
)  ->  ( 1 ... ( m  / 
j ) )  e. 
Fin )
41 sgmss 20344 . . . . . . . . 9  |-  ( ( m  /  j )  e.  NN  ->  { x  e.  NN  |  x  ||  ( m  /  j
) }  C_  (
1 ... ( m  / 
j ) ) )
4230, 41syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }
)  ->  { x  e.  NN  |  x  ||  ( m  /  j
) }  C_  (
1 ... ( m  / 
j ) ) )
43 ssfi 7083 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 1 ... (
m  /  j ) )  e.  Fin  /\  { x  e.  NN  |  x  ||  ( m  / 
j ) }  C_  ( 1 ... (
m  /  j ) ) )  ->  { x  e.  NN  |  x  ||  ( m  /  j
) }  e.  Fin )
4440, 42, 43syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }
)  ->  { x  e.  NN  |  x  ||  ( m  /  j
) }  e.  Fin )
45 mucl 20379 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  NN  ->  (
mmu `  j )  e.  ZZ )
4611, 45syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }
)  ->  ( mmu `  j )  e.  ZZ )
4746zcnd 10118 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }
)  ->  ( mmu `  j )  e.  CC )
481ad2antrr 706 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }
)  ->  F : NN
--> CC )
49 ssrab2 3258 . . . . . . . . 9  |-  { x  e.  NN  |  x  ||  ( m  /  j
) }  C_  NN
5049sseli 3176 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( m  /  j
) }  ->  k  e.  NN )
51 ffvelrn 5663 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : NN --> CC  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `  k
)  e.  CC )
5248, 50, 51syl2an 463 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m } )  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( m  /  j ) } )  ->  ( F `  k )  e.  CC )
5344, 47, 52fsummulc2 12246 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }
)  ->  ( (
mmu `  j )  x.  sum_ k  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  ( m  / 
j ) }  ( F `  k )
)  =  sum_ k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( m  /  j ) }  ( ( mmu `  j )  x.  ( F `  k )
) )
5439, 53eqtrd 2315 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }
)  ->  ( (
mmu `  j )  x.  ( G `  (
m  /  j ) ) )  =  sum_ k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( m  /  j
) }  ( ( mmu `  j )  x.  ( F `  k ) ) )
5554sumeq2dv 12176 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  sum_ j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m } 
( ( mmu `  j )  x.  ( G `  ( m  /  j ) ) )  =  sum_ j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m } sum_ k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( m  /  j
) }  ( ( mmu `  j )  x.  ( F `  k ) ) )
56 simpr 447 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  m  e.  NN )
5747adantrr 697 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( m  /  j ) } ) )  ->  (
mmu `  j )  e.  CC )
5852anasss 628 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( m  /  j ) } ) )  ->  ( F `  k )  e.  CC )
5957, 58mulcld 8855 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( m  /  j ) } ) )  ->  (
( mmu `  j
)  x.  ( F `
 k ) )  e.  CC )
6056, 59fsumdvdsdiag 20424 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  sum_ j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m } sum_ k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( m  /  j
) }  ( ( mmu `  j )  x.  ( F `  k ) )  = 
sum_ k  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  m } sum_ j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( m  /  k
) }  ( ( mmu `  j )  x.  ( F `  k ) ) )
61 ssrab2 3258 . . . . . . . . . 10  |-  { x  e.  NN  |  x  ||  m }  C_  NN
62 dvdsdivcl 20421 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( m  e.  NN  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m } )  ->  (
m  /  k )  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m } )
6362adantll 694 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }
)  ->  ( m  /  k )  e. 
{ x  e.  NN  |  x  ||  m }
)
6461, 63sseldi 3178 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }
)  ->  ( m  /  k )  e.  NN )
65 musum 20431 . . . . . . . . 9  |-  ( ( m  /  k )  e.  NN  ->  sum_ j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( m  /  k ) }  ( mmu `  j
)  =  if ( ( m  /  k
)  =  1 ,  1 ,  0 ) )
6664, 65syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }
)  ->  sum_ j  e. 
{ x  e.  NN  |  x  ||  ( m  /  k ) }  ( mmu `  j
)  =  if ( ( m  /  k
)  =  1 ,  1 ,  0 ) )
6766oveq1d 5873 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }
)  ->  ( sum_ j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( m  /  k
) }  ( mmu `  j )  x.  ( F `  k )
)  =  ( if ( ( m  / 
k )  =  1 ,  1 ,  0 )  x.  ( F `
 k ) ) )
68 fzfid 11035 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }
)  ->  ( 1 ... ( m  / 
k ) )  e. 
Fin )
69 sgmss 20344 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( m  /  k )  e.  NN  ->  { x  e.  NN  |  x  ||  ( m  /  k
) }  C_  (
1 ... ( m  / 
k ) ) )
7064, 69syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }
)  ->  { x  e.  NN  |  x  ||  ( m  /  k
) }  C_  (
1 ... ( m  / 
k ) ) )
71 ssfi 7083 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 1 ... (
m  /  k ) )  e.  Fin  /\  { x  e.  NN  |  x  ||  ( m  / 
k ) }  C_  ( 1 ... (
m  /  k ) ) )  ->  { x  e.  NN  |  x  ||  ( m  /  k
) }  e.  Fin )
7268, 70, 71syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }
)  ->  { x  e.  NN  |  x  ||  ( m  /  k
) }  e.  Fin )
731adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  F : NN
--> CC )
7461sseli 3176 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }  ->  k  e.  NN )
7573, 74, 51syl2an 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }
)  ->  ( F `  k )  e.  CC )
76 ssrab2 3258 . . . . . . . . . . 11  |-  { x  e.  NN  |  x  ||  ( m  /  k
) }  C_  NN
77 simpr 447 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m } )  /\  j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( m  /  k ) } )  ->  j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( m  / 
k ) } )
7876, 77sseldi 3178 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m } )  /\  j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( m  /  k ) } )  ->  j  e.  NN )
7978, 45syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m } )  /\  j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( m  /  k ) } )  ->  ( mmu `  j )  e.  ZZ )
8079zcnd 10118 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m } )  /\  j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( m  /  k ) } )  ->  ( mmu `  j )  e.  CC )
8172, 75, 80fsummulc1 12247 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }
)  ->  ( sum_ j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( m  /  k
) }  ( mmu `  j )  x.  ( F `  k )
)  =  sum_ j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( m  /  k ) }  ( ( mmu `  j )  x.  ( F `  k )
) )
82 oveq1 5865 . . . . . . . . 9  |-  ( if ( ( m  / 
k )  =  1 ,  1 ,  0 )  =  1  -> 
( if ( ( m  /  k )  =  1 ,  1 ,  0 )  x.  ( F `  k
) )  =  ( 1  x.  ( F `
 k ) ) )
83 oveq1 5865 . . . . . . . . 9  |-  ( if ( ( m  / 
k )  =  1 ,  1 ,  0 )  =  0  -> 
( if ( ( m  /  k )  =  1 ,  1 ,  0 )  x.  ( F `  k
) )  =  ( 0  x.  ( F `
 k ) ) )
8482, 83ifsb 3574 . . . . . . . 8  |-  ( if ( ( m  / 
k )  =  1 ,  1 ,  0 )  x.  ( F `
 k ) )  =  if ( ( m  /  k )  =  1 ,  ( 1  x.  ( F `
 k ) ) ,  ( 0  x.  ( F `  k
) ) )
85 nncn 9754 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  e.  NN  ->  m  e.  CC )
8685ad2antlr 707 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }
)  ->  m  e.  CC )
8774adantl 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }
)  ->  k  e.  NN )
8887nncnd 9762 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }
)  ->  k  e.  CC )
89 ax-1cn 8795 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  CC
9089a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }
)  ->  1  e.  CC )
9187nnne0d 9790 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }
)  ->  k  =/=  0 )
9286, 88, 90, 91divmuld 9558 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }
)  ->  ( (
m  /  k )  =  1  <->  ( k  x.  1 )  =  m ) )
9388mulid1d 8852 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }
)  ->  ( k  x.  1 )  =  k )
9493eqeq1d 2291 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }
)  ->  ( (
k  x.  1 )  =  m  <->  k  =  m ) )
9592, 94bitrd 244 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }
)  ->  ( (
m  /  k )  =  1  <->  k  =  m ) )
9675mulid2d 8853 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }
)  ->  ( 1  x.  ( F `  k ) )  =  ( F `  k
) )
9775mul02d 9010 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }
)  ->  ( 0  x.  ( F `  k ) )  =  0 )
9895, 96, 97ifbieq12d 3587 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }
)  ->  if (
( m  /  k
)  =  1 ,  ( 1  x.  ( F `  k )
) ,  ( 0  x.  ( F `  k ) ) )  =  if ( k  =  m ,  ( F `  k ) ,  0 ) )
9984, 98syl5eq 2327 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }
)  ->  ( if ( ( m  / 
k )  =  1 ,  1 ,  0 )  x.  ( F `
 k ) )  =  if ( k  =  m ,  ( F `  k ) ,  0 ) )
10067, 81, 993eqtr3d 2323 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }
)  ->  sum_ j  e. 
{ x  e.  NN  |  x  ||  ( m  /  k ) }  ( ( mmu `  j )  x.  ( F `  k )
)  =  if ( k  =  m ,  ( F `  k
) ,  0 ) )
101100sumeq2dv 12176 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  sum_ k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m } sum_ j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( m  /  k
) }  ( ( mmu `  j )  x.  ( F `  k ) )  = 
sum_ k  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  m } if ( k  =  m ,  ( F `  k ) ,  0 ) )
10256nnzd 10116 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  m  e.  ZZ )
103 iddvds 12542 . . . . . . . . 9  |-  ( m  e.  ZZ  ->  m  ||  m )
104102, 103syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  m  ||  m )
105 breq1 4026 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  m  ->  (
x  ||  m  <->  m  ||  m
) )
106105elrab 2923 . . . . . . . 8  |-  ( m  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }  <->  ( m  e.  NN  /\  m  ||  m ) )
10756, 104, 106sylanbrc 645 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  m  e. 
{ x  e.  NN  |  x  ||  m }
)
108107snssd 3760 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  { m }  C_  { x  e.  NN  |  x  ||  m } )
109108sselda 3180 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  { m } )  ->  k  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  m } )
110109, 75syldan 456 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  { m } )  ->  ( F `  k )  e.  CC )
111 0cn 8831 . . . . . . 7  |-  0  e.  CC
112 ifcl 3601 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F `  k
)  e.  CC  /\  0  e.  CC )  ->  if ( k  =  m ,  ( F `
 k ) ,  0 )  e.  CC )
113110, 111, 112sylancl 643 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  { m } )  ->  if ( k  =  m ,  ( F `  k ) ,  0 )  e.  CC )
114 eldifsni 3750 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( { x  e.  NN  |  x  ||  m }  \  { m } )  ->  k  =/=  m )
115114adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  ( { x  e.  NN  |  x  ||  m }  \  { m } ) )  -> 
k  =/=  m )
116115neneqd 2462 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  ( { x  e.  NN  |  x  ||  m }  \  { m } ) )  ->  -.  k  =  m
)
117 iffalse 3572 . . . . . . 7  |-  ( -.  k  =  m  ->  if ( k  =  m ,  ( F `  k ) ,  0 )  =  0 )
118116, 117syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  ( { x  e.  NN  |  x  ||  m }  \  { m } ) )  ->  if ( k  =  m ,  ( F `  k ) ,  0 )  =  0 )
119 fzfid 11035 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( 1 ... m )  e. 
Fin )
120 sgmss 20344 . . . . . . . 8  |-  ( m  e.  NN  ->  { x  e.  NN  |  x  ||  m }  C_  ( 1 ... m ) )
121120adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  { x  e.  NN  |  x  ||  m }  C_  ( 1 ... m ) )
122 ssfi 7083 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 1 ... m
)  e.  Fin  /\  { x  e.  NN  |  x  ||  m }  C_  ( 1 ... m
) )  ->  { x  e.  NN  |  x  ||  m }  e.  Fin )
123119, 121, 122syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  { x  e.  NN  |  x  ||  m }  e.  Fin )
124108, 113, 118, 123fsumss 12198 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  sum_ k  e.  { m } if ( k  =  m ,  ( F `  k ) ,  0 )  =  sum_ k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m } if ( k  =  m ,  ( F `  k ) ,  0 ) )
125 ffvelrn 5663 . . . . . . 7  |-  ( ( F : NN --> CC  /\  m  e.  NN )  ->  ( F `  m
)  e.  CC )
1261, 125sylan 457 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( F `
 m )  e.  CC )
127 iftrue 3571 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  m  ->  if ( k  =  m ,  ( F `  k ) ,  0 )  =  ( F `
 k ) )
128 fveq2 5525 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  m  ->  ( F `  k )  =  ( F `  m ) )
129127, 128eqtrd 2315 . . . . . . 7  |-  ( k  =  m  ->  if ( k  =  m ,  ( F `  k ) ,  0 )  =  ( F `
 m ) )
130129sumsn 12213 . . . . . 6  |-  ( ( m  e.  NN  /\  ( F `  m )  e.  CC )  ->  sum_ k  e.  { m } if ( k  =  m ,  ( F `
 k ) ,  0 )  =  ( F `  m ) )
13156, 126, 130syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  sum_ k  e.  { m } if ( k  =  m ,  ( F `  k ) ,  0 )  =  ( F `
 m ) )
132101, 124, 1313eqtr2d 2321 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  sum_ k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m } sum_ j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( m  /  k
) }  ( ( mmu `  j )  x.  ( F `  k ) )  =  ( F `  m
) )
13355, 60, 1323eqtrd 2319 . . 3  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  sum_ j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m } 
( ( mmu `  j )  x.  ( G `  ( m  /  j ) ) )  =  ( F `
 m ) )
134133mpteq2dva 4106 . 2  |-  ( ph  ->  ( m  e.  NN  |->  sum_ j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }  ( (
mmu `  j )  x.  ( G `  (
m  /  j ) ) ) )  =  ( m  e.  NN  |->  ( F `  m ) ) )
1352, 134eqtr4d 2318 1  |-  ( ph  ->  F  =  ( m  e.  NN  |->  sum_ j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m } 
( ( mmu `  j )  x.  ( G `  ( m  /  j ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   {crab 2547    \ cdif 3149    C_ wss 3152   ifcif 3565   {csn 3640   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Fincfn 6863   CCcc 8735   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738    x. cmul 8742    < clt 8867    / cdiv 9423   NNcn 9746   ZZcz 10024   ...cfz 10782   sum_csu 12158    || cdivides 12531   mmucmu 20332
This theorem is referenced by:  dchrvmasumlem1  20644  logsqvma2  20692
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-disj 3994  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-mod 10974  df-seq 11047  df-exp 11105  df-fac 11289  df-bc 11316  df-hash 11338  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-clim 11962  df-sum 12159  df-dvds 12532  df-gcd 12686  df-prm 12759  df-pc 12890  df-mu 20338
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