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Theorem mul4sqlem 13016
Description: Lemma for mul4sq 13017: algebraic manipulations. The extra assumptions involving  M are for a part of 4sqlem17 13024 which needs to know not just that the product is a sum of squares, but also that it preserves divisibility by  M. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
4sq.1  |-  S  =  { n  |  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  E. z  e.  ZZ  E. w  e.  ZZ  n  =  ( ( ( x ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) )  +  ( ( z ^ 2 )  +  ( w ^
2 ) ) ) }
mul4sq.1  |-  ( ph  ->  A  e.  ZZ [
_i ] )
mul4sq.2  |-  ( ph  ->  B  e.  ZZ [
_i ] )
mul4sq.3  |-  ( ph  ->  C  e.  ZZ [
_i ] )
mul4sq.4  |-  ( ph  ->  D  e.  ZZ [
_i ] )
mul4sq.5  |-  X  =  ( ( ( abs `  A ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  B ) ^ 2 ) )
mul4sq.6  |-  Y  =  ( ( ( abs `  C ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  D ) ^ 2 ) )
mul4sq.7  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
mul4sq.8  |-  ( ph  ->  ( ( A  -  C )  /  M
)  e.  ZZ [
_i ] )
mul4sq.9  |-  ( ph  ->  ( ( B  -  D )  /  M
)  e.  ZZ [
_i ] )
mul4sq.10  |-  ( ph  ->  ( X  /  M
)  e.  NN0 )
Assertion
Ref Expression
mul4sqlem  |-  ( ph  ->  ( ( X  /  M )  x.  ( Y  /  M ) )  e.  S )
Distinct variable groups:    w, n, x, y, z    B, n    A, n    C, n    D, n    n, M    ph, n    S, n
Allowed substitution hints:    ph( x, y, z, w)    A( x, y, z, w)    B( x, y, z, w)    C( x, y, z, w)    D( x, y, z, w)    S( x, y, z, w)    M( x, y, z, w)    X( x, y, z, w, n)    Y( x, y, z, w, n)

Proof of Theorem mul4sqlem
StepHypRef Expression
1 mul4sq.1 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A  e.  ZZ [
_i ] )
2 gzcn 12995 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  ZZ [ _i ]  ->  A  e.  CC )
31, 2syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
4 mul4sq.3 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  C  e.  ZZ [
_i ] )
5 gzcn 12995 . . . . . . . . . . 11  |-  ( C  e.  ZZ [ _i ]  ->  C  e.  CC )
64, 5syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
73, 6mulcld 8871 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A  x.  C
)  e.  CC )
87absvalsqd 11940 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( A  x.  C )
) ^ 2 )  =  ( ( A  x.  C )  x.  ( * `  ( A  x.  C )
) ) )
97cjcld 11697 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( * `  ( A  x.  C )
)  e.  CC )
107, 9mulcld 8871 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  C )  x.  (
* `  ( A  x.  C ) ) )  e.  CC )
118, 10eqeltrd 2370 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( A  x.  C )
) ^ 2 )  e.  CC )
12 mul4sq.2 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  B  e.  ZZ [
_i ] )
13 gzcn 12995 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  e.  ZZ [ _i ]  ->  B  e.  CC )
1412, 13syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
15 mul4sq.4 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  D  e.  ZZ [
_i ] )
16 gzcn 12995 . . . . . . . . . . 11  |-  ( D  e.  ZZ [ _i ]  ->  D  e.  CC )
1715, 16syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  D  e.  CC )
1814, 17mulcld 8871 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( B  x.  D
)  e.  CC )
1918absvalsqd 11940 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( B  x.  D )
) ^ 2 )  =  ( ( B  x.  D )  x.  ( * `  ( B  x.  D )
) ) )
2018cjcld 11697 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( * `  ( B  x.  D )
)  e.  CC )
2118, 20mulcld 8871 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( B  x.  D )  x.  (
* `  ( B  x.  D ) ) )  e.  CC )
2219, 21eqeltrd 2370 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( B  x.  D )
) ^ 2 )  e.  CC )
2311, 22addcld 8870 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  ( A  x.  C
) ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  ( B  x.  D ) ) ^ 2 ) )  e.  CC )
243cjcld 11697 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( * `  A
)  e.  CC )
2524, 6mulcld 8871 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( * `  A )  x.  C
)  e.  CC )
2614cjcld 11697 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( * `  B
)  e.  CC )
2726, 17mulcld 8871 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( * `  B )  x.  D
)  e.  CC )
2825, 27mulcld 8871 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( * `
 A )  x.  C )  x.  (
( * `  B
)  x.  D ) )  e.  CC )
296cjcld 11697 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( * `  C
)  e.  CC )
3014, 29mulcld 8871 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( B  x.  (
* `  C )
)  e.  CC )
3117cjcld 11697 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( * `  D
)  e.  CC )
323, 31mulcld 8871 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A  x.  (
* `  D )
)  e.  CC )
3330, 32mulcld 8871 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( B  x.  ( * `  C
) )  x.  ( A  x.  ( * `  D ) ) )  e.  CC )
3428, 33addcld 8870 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( * `  A )  x.  C )  x.  ( ( * `  B )  x.  D
) )  +  ( ( B  x.  (
* `  C )
)  x.  ( A  x.  ( * `  D ) ) ) )  e.  CC )
353, 17mulcld 8871 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A  x.  D
)  e.  CC )
3635absvalsqd 11940 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( A  x.  D )
) ^ 2 )  =  ( ( A  x.  D )  x.  ( * `  ( A  x.  D )
) ) )
3735cjcld 11697 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( * `  ( A  x.  D )
)  e.  CC )
3835, 37mulcld 8871 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  D )  x.  (
* `  ( A  x.  D ) ) )  e.  CC )
3936, 38eqeltrd 2370 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( A  x.  D )
) ^ 2 )  e.  CC )
4014, 6mulcld 8871 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( B  x.  C
)  e.  CC )
4140absvalsqd 11940 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( B  x.  C )
) ^ 2 )  =  ( ( B  x.  C )  x.  ( * `  ( B  x.  C )
) ) )
4240cjcld 11697 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( * `  ( B  x.  C )
)  e.  CC )
4340, 42mulcld 8871 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( B  x.  C )  x.  (
* `  ( B  x.  C ) ) )  e.  CC )
4441, 43eqeltrd 2370 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( B  x.  C )
) ^ 2 )  e.  CC )
4539, 44addcld 8870 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  ( A  x.  D
) ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  ( B  x.  C ) ) ^ 2 ) )  e.  CC )
4623, 34, 45ppncand 9213 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( abs `  ( A  x.  C )
) ^ 2 )  +  ( ( abs `  ( B  x.  D
) ) ^ 2 ) )  +  ( ( ( ( * `
 A )  x.  C )  x.  (
( * `  B
)  x.  D ) )  +  ( ( B  x.  ( * `
 C ) )  x.  ( A  x.  ( * `  D
) ) ) ) )  +  ( ( ( ( abs `  ( A  x.  D )
) ^ 2 )  +  ( ( abs `  ( B  x.  C
) ) ^ 2 ) )  -  (
( ( ( * `
 A )  x.  C )  x.  (
( * `  B
)  x.  D ) )  +  ( ( B  x.  ( * `
 C ) )  x.  ( A  x.  ( * `  D
) ) ) ) ) )  =  ( ( ( ( abs `  ( A  x.  C
) ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  ( B  x.  D ) ) ^ 2 ) )  +  ( ( ( abs `  ( A  x.  D ) ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  ( B  x.  C )
) ^ 2 ) ) ) )
4714, 31mulcld 8871 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( B  x.  (
* `  D )
)  e.  CC )
4825, 47addcld 8870 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( * `
 A )  x.  C )  +  ( B  x.  ( * `
 D ) ) )  e.  CC )
4948absvalsqd 11940 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  (
( ( * `  A )  x.  C
)  +  ( B  x.  ( * `  D ) ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( * `  A
)  x.  C )  +  ( B  x.  ( * `  D
) ) )  x.  ( * `  (
( ( * `  A )  x.  C
)  +  ( B  x.  ( * `  D ) ) ) ) ) )
5025, 47cjaddd 11721 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( * `  (
( ( * `  A )  x.  C
)  +  ( B  x.  ( * `  D ) ) ) )  =  ( ( * `  ( ( * `  A )  x.  C ) )  +  ( * `  ( B  x.  (
* `  D )
) ) ) )
5124, 6cjmuld 11722 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( * `  (
( * `  A
)  x.  C ) )  =  ( ( * `  ( * `
 A ) )  x.  ( * `  C ) ) )
523cjcjd 11700 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( * `  (
* `  A )
)  =  A )
5352oveq1d 5889 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( * `  ( * `  A
) )  x.  (
* `  C )
)  =  ( A  x.  ( * `  C ) ) )
5451, 53eqtrd 2328 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( * `  (
( * `  A
)  x.  C ) )  =  ( A  x.  ( * `  C ) ) )
5514, 31cjmuld 11722 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( * `  ( B  x.  ( * `  D ) ) )  =  ( ( * `
 B )  x.  ( * `  (
* `  D )
) ) )
5617cjcjd 11700 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( * `  (
* `  D )
)  =  D )
5756oveq2d 5890 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( * `  B )  x.  (
* `  ( * `  D ) ) )  =  ( ( * `
 B )  x.  D ) )
5855, 57eqtrd 2328 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( * `  ( B  x.  ( * `  D ) ) )  =  ( ( * `
 B )  x.  D ) )
5954, 58oveq12d 5892 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( * `  ( ( * `  A )  x.  C
) )  +  ( * `  ( B  x.  ( * `  D ) ) ) )  =  ( ( A  x.  ( * `
 C ) )  +  ( ( * `
 B )  x.  D ) ) )
6050, 59eqtrd 2328 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( * `  (
( ( * `  A )  x.  C
)  +  ( B  x.  ( * `  D ) ) ) )  =  ( ( A  x.  ( * `
 C ) )  +  ( ( * `
 B )  x.  D ) ) )
6160oveq2d 5890 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( * `  A )  x.  C )  +  ( B  x.  (
* `  D )
) )  x.  (
* `  ( (
( * `  A
)  x.  C )  +  ( B  x.  ( * `  D
) ) ) ) )  =  ( ( ( ( * `  A )  x.  C
)  +  ( B  x.  ( * `  D ) ) )  x.  ( ( A  x.  ( * `  C ) )  +  ( ( * `  B )  x.  D
) ) ) )
623, 29mulcld 8871 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( A  x.  (
* `  C )
)  e.  CC )
6325, 62, 27adddid 8875 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( * `
 A )  x.  C )  x.  (
( A  x.  (
* `  C )
)  +  ( ( * `  B )  x.  D ) ) )  =  ( ( ( ( * `  A )  x.  C
)  x.  ( A  x.  ( * `  C ) ) )  +  ( ( ( * `  A )  x.  C )  x.  ( ( * `  B )  x.  D
) ) ) )
646, 24, 3, 29mul4d 9040 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( C  x.  ( * `  A
) )  x.  ( A  x.  ( * `  C ) ) )  =  ( ( C  x.  A )  x.  ( ( * `  A )  x.  (
* `  C )
) ) )
6524, 6mulcomd 8872 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( * `  A )  x.  C
)  =  ( C  x.  ( * `  A ) ) )
6665oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( * `
 A )  x.  C )  x.  ( A  x.  ( * `  C ) ) )  =  ( ( C  x.  ( * `  A ) )  x.  ( A  x.  (
* `  C )
) ) )
673, 6mulcomd 8872 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( A  x.  C
)  =  ( C  x.  A ) )
683, 6cjmuld 11722 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( * `  ( A  x.  C )
)  =  ( ( * `  A )  x.  ( * `  C ) ) )
6967, 68oveq12d 5892 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  C )  x.  (
* `  ( A  x.  C ) ) )  =  ( ( C  x.  A )  x.  ( ( * `  A )  x.  (
* `  C )
) ) )
7064, 66, 693eqtr4d 2338 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( * `
 A )  x.  C )  x.  ( A  x.  ( * `  C ) ) )  =  ( ( A  x.  C )  x.  ( * `  ( A  x.  C )
) ) )
7170, 8eqtr4d 2331 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( * `
 A )  x.  C )  x.  ( A  x.  ( * `  C ) ) )  =  ( ( abs `  ( A  x.  C
) ) ^ 2 ) )
7271oveq1d 5889 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( * `  A )  x.  C )  x.  ( A  x.  (
* `  C )
) )  +  ( ( ( * `  A )  x.  C
)  x.  ( ( * `  B )  x.  D ) ) )  =  ( ( ( abs `  ( A  x.  C )
) ^ 2 )  +  ( ( ( * `  A )  x.  C )  x.  ( ( * `  B )  x.  D
) ) ) )
7363, 72eqtrd 2328 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( * `
 A )  x.  C )  x.  (
( A  x.  (
* `  C )
)  +  ( ( * `  B )  x.  D ) ) )  =  ( ( ( abs `  ( A  x.  C )
) ^ 2 )  +  ( ( ( * `  A )  x.  C )  x.  ( ( * `  B )  x.  D
) ) ) )
7447, 62, 27adddid 8875 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( B  x.  ( * `  D
) )  x.  (
( A  x.  (
* `  C )
)  +  ( ( * `  B )  x.  D ) ) )  =  ( ( ( B  x.  (
* `  D )
)  x.  ( A  x.  ( * `  C ) ) )  +  ( ( B  x.  ( * `  D ) )  x.  ( ( * `  B )  x.  D
) ) ) )
753, 29mulcomd 8872 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( A  x.  (
* `  C )
)  =  ( ( * `  C )  x.  A ) )
7675oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( B  x.  ( * `  D
) )  x.  ( A  x.  ( * `  C ) ) )  =  ( ( B  x.  ( * `  D ) )  x.  ( ( * `  C )  x.  A
) ) )
7714, 31, 29, 3mul4d 9040 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( B  x.  ( * `  D
) )  x.  (
( * `  C
)  x.  A ) )  =  ( ( B  x.  ( * `
 C ) )  x.  ( ( * `
 D )  x.  A ) ) )
7831, 3mulcomd 8872 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( * `  D )  x.  A
)  =  ( A  x.  ( * `  D ) ) )
7978oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( B  x.  ( * `  C
) )  x.  (
( * `  D
)  x.  A ) )  =  ( ( B  x.  ( * `
 C ) )  x.  ( A  x.  ( * `  D
) ) ) )
8076, 77, 793eqtrd 2332 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( B  x.  ( * `  D
) )  x.  ( A  x.  ( * `  C ) ) )  =  ( ( B  x.  ( * `  C ) )  x.  ( A  x.  (
* `  D )
) ) )
8114, 31, 17, 26mul4d 9040 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( B  x.  ( * `  D
) )  x.  ( D  x.  ( * `  B ) ) )  =  ( ( B  x.  D )  x.  ( ( * `  D )  x.  (
* `  B )
) ) )
8226, 17mulcomd 8872 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( * `  B )  x.  D
)  =  ( D  x.  ( * `  B ) ) )
8382oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( B  x.  ( * `  D
) )  x.  (
( * `  B
)  x.  D ) )  =  ( ( B  x.  ( * `
 D ) )  x.  ( D  x.  ( * `  B
) ) ) )
8414, 17cjmuld 11722 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( * `  ( B  x.  D )
)  =  ( ( * `  B )  x.  ( * `  D ) ) )
8526, 31mulcomd 8872 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( * `  B )  x.  (
* `  D )
)  =  ( ( * `  D )  x.  ( * `  B ) ) )
8684, 85eqtrd 2328 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( * `  ( B  x.  D )
)  =  ( ( * `  D )  x.  ( * `  B ) ) )
8786oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( B  x.  D )  x.  (
* `  ( B  x.  D ) ) )  =  ( ( B  x.  D )  x.  ( ( * `  D )  x.  (
* `  B )
) ) )
8881, 83, 873eqtr4d 2338 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( B  x.  ( * `  D
) )  x.  (
( * `  B
)  x.  D ) )  =  ( ( B  x.  D )  x.  ( * `  ( B  x.  D
) ) ) )
8988, 19eqtr4d 2331 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( B  x.  ( * `  D
) )  x.  (
( * `  B
)  x.  D ) )  =  ( ( abs `  ( B  x.  D ) ) ^ 2 ) )
9080, 89oveq12d 5892 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( B  x.  ( * `  D ) )  x.  ( A  x.  (
* `  C )
) )  +  ( ( B  x.  (
* `  D )
)  x.  ( ( * `  B )  x.  D ) ) )  =  ( ( ( B  x.  (
* `  C )
)  x.  ( A  x.  ( * `  D ) ) )  +  ( ( abs `  ( B  x.  D
) ) ^ 2 ) ) )
9174, 90eqtrd 2328 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( B  x.  ( * `  D
) )  x.  (
( A  x.  (
* `  C )
)  +  ( ( * `  B )  x.  D ) ) )  =  ( ( ( B  x.  (
* `  C )
)  x.  ( A  x.  ( * `  D ) ) )  +  ( ( abs `  ( B  x.  D
) ) ^ 2 ) ) )
9273, 91oveq12d 5892 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( * `  A )  x.  C )  x.  ( ( A  x.  ( * `  C
) )  +  ( ( * `  B
)  x.  D ) ) )  +  ( ( B  x.  (
* `  D )
)  x.  ( ( A  x.  ( * `
 C ) )  +  ( ( * `
 B )  x.  D ) ) ) )  =  ( ( ( ( abs `  ( A  x.  C )
) ^ 2 )  +  ( ( ( * `  A )  x.  C )  x.  ( ( * `  B )  x.  D
) ) )  +  ( ( ( B  x.  ( * `  C ) )  x.  ( A  x.  (
* `  D )
) )  +  ( ( abs `  ( B  x.  D )
) ^ 2 ) ) ) )
9362, 27addcld 8870 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  ( * `  C
) )  +  ( ( * `  B
)  x.  D ) )  e.  CC )
9425, 47, 93adddird 8876 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( * `  A )  x.  C )  +  ( B  x.  (
* `  D )
) )  x.  (
( A  x.  (
* `  C )
)  +  ( ( * `  B )  x.  D ) ) )  =  ( ( ( ( * `  A )  x.  C
)  x.  ( ( A  x.  ( * `
 C ) )  +  ( ( * `
 B )  x.  D ) ) )  +  ( ( B  x.  ( * `  D ) )  x.  ( ( A  x.  ( * `  C
) )  +  ( ( * `  B
)  x.  D ) ) ) ) )
9511, 22, 28, 33add42d 9052 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( abs `  ( A  x.  C ) ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  ( B  x.  D )
) ^ 2 ) )  +  ( ( ( ( * `  A )  x.  C
)  x.  ( ( * `  B )  x.  D ) )  +  ( ( B  x.  ( * `  C ) )  x.  ( A  x.  (
* `  D )
) ) ) )  =  ( ( ( ( abs `  ( A  x.  C )
) ^ 2 )  +  ( ( ( * `  A )  x.  C )  x.  ( ( * `  B )  x.  D
) ) )  +  ( ( ( B  x.  ( * `  C ) )  x.  ( A  x.  (
* `  D )
) )  +  ( ( abs `  ( B  x.  D )
) ^ 2 ) ) ) )
9692, 94, 953eqtr4d 2338 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( * `  A )  x.  C )  +  ( B  x.  (
* `  D )
) )  x.  (
( A  x.  (
* `  C )
)  +  ( ( * `  B )  x.  D ) ) )  =  ( ( ( ( abs `  ( A  x.  C )
) ^ 2 )  +  ( ( abs `  ( B  x.  D
) ) ^ 2 ) )  +  ( ( ( ( * `
 A )  x.  C )  x.  (
( * `  B
)  x.  D ) )  +  ( ( B  x.  ( * `
 C ) )  x.  ( A  x.  ( * `  D
) ) ) ) ) )
9749, 61, 963eqtrd 2332 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  (
( ( * `  A )  x.  C
)  +  ( B  x.  ( * `  D ) ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( abs `  ( A  x.  C )
) ^ 2 )  +  ( ( abs `  ( B  x.  D
) ) ^ 2 ) )  +  ( ( ( ( * `
 A )  x.  C )  x.  (
( * `  B
)  x.  D ) )  +  ( ( B  x.  ( * `
 C ) )  x.  ( A  x.  ( * `  D
) ) ) ) ) )
9824, 17mulcld 8871 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( * `  A )  x.  D
)  e.  CC )
9998, 30subcld 9173 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( * `
 A )  x.  D )  -  ( B  x.  ( * `  C ) ) )  e.  CC )
10099absvalsqd 11940 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  (
( ( * `  A )  x.  D
)  -  ( B  x.  ( * `  C ) ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( * `  A
)  x.  D )  -  ( B  x.  ( * `  C
) ) )  x.  ( * `  (
( ( * `  A )  x.  D
)  -  ( B  x.  ( * `  C ) ) ) ) ) )
101 cjsub 11650 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( * `  A )  x.  D
)  e.  CC  /\  ( B  x.  (
* `  C )
)  e.  CC )  ->  ( * `  ( ( ( * `
 A )  x.  D )  -  ( B  x.  ( * `  C ) ) ) )  =  ( ( * `  ( ( * `  A )  x.  D ) )  -  ( * `  ( B  x.  (
* `  C )
) ) ) )
10298, 30, 101syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( * `  (
( ( * `  A )  x.  D
)  -  ( B  x.  ( * `  C ) ) ) )  =  ( ( * `  ( ( * `  A )  x.  D ) )  -  ( * `  ( B  x.  (
* `  C )
) ) ) )
10324, 17cjmuld 11722 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( * `  (
( * `  A
)  x.  D ) )  =  ( ( * `  ( * `
 A ) )  x.  ( * `  D ) ) )
10452oveq1d 5889 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( * `  ( * `  A
) )  x.  (
* `  D )
)  =  ( A  x.  ( * `  D ) ) )
105103, 104eqtrd 2328 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( * `  (
( * `  A
)  x.  D ) )  =  ( A  x.  ( * `  D ) ) )
10614, 29cjmuld 11722 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( * `  ( B  x.  ( * `  C ) ) )  =  ( ( * `
 B )  x.  ( * `  (
* `  C )
) ) )
1076cjcjd 11700 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( * `  (
* `  C )
)  =  C )
108107oveq2d 5890 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( * `  B )  x.  (
* `  ( * `  C ) ) )  =  ( ( * `
 B )  x.  C ) )
109106, 108eqtrd 2328 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( * `  ( B  x.  ( * `  C ) ) )  =  ( ( * `
 B )  x.  C ) )
110105, 109oveq12d 5892 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( * `  ( ( * `  A )  x.  D
) )  -  (
* `  ( B  x.  ( * `  C
) ) ) )  =  ( ( A  x.  ( * `  D ) )  -  ( ( * `  B )  x.  C
) ) )
111102, 110eqtrd 2328 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( * `  (
( ( * `  A )  x.  D
)  -  ( B  x.  ( * `  C ) ) ) )  =  ( ( A  x.  ( * `
 D ) )  -  ( ( * `
 B )  x.  C ) ) )
112111oveq2d 5890 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( * `  A )  x.  D )  -  ( B  x.  (
* `  C )
) )  x.  (
* `  ( (
( * `  A
)  x.  D )  -  ( B  x.  ( * `  C
) ) ) ) )  =  ( ( ( ( * `  A )  x.  D
)  -  ( B  x.  ( * `  C ) ) )  x.  ( ( A  x.  ( * `  D ) )  -  ( ( * `  B )  x.  C
) ) ) )
11326, 6mulcld 8871 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( * `  B )  x.  C
)  e.  CC )
11432, 113subcld 9173 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  ( * `  D
) )  -  (
( * `  B
)  x.  C ) )  e.  CC )
11598, 30, 114subdird 9252 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( * `  A )  x.  D )  -  ( B  x.  (
* `  C )
) )  x.  (
( A  x.  (
* `  D )
)  -  ( ( * `  B )  x.  C ) ) )  =  ( ( ( ( * `  A )  x.  D
)  x.  ( ( A  x.  ( * `
 D ) )  -  ( ( * `
 B )  x.  C ) ) )  -  ( ( B  x.  ( * `  C ) )  x.  ( ( A  x.  ( * `  D
) )  -  (
( * `  B
)  x.  C ) ) ) ) )
11698, 32, 113subdid 9251 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( * `
 A )  x.  D )  x.  (
( A  x.  (
* `  D )
)  -  ( ( * `  B )  x.  C ) ) )  =  ( ( ( ( * `  A )  x.  D
)  x.  ( A  x.  ( * `  D ) ) )  -  ( ( ( * `  A )  x.  D )  x.  ( ( * `  B )  x.  C
) ) ) )
11717, 24, 3, 31mul4d 9040 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( D  x.  ( * `  A
) )  x.  ( A  x.  ( * `  D ) ) )  =  ( ( D  x.  A )  x.  ( ( * `  A )  x.  (
* `  D )
) ) )
11824, 17mulcomd 8872 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( * `  A )  x.  D
)  =  ( D  x.  ( * `  A ) ) )
119118oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( * `
 A )  x.  D )  x.  ( A  x.  ( * `  D ) ) )  =  ( ( D  x.  ( * `  A ) )  x.  ( A  x.  (
* `  D )
) ) )
1203, 17mulcomd 8872 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( A  x.  D
)  =  ( D  x.  A ) )
1213, 17cjmuld 11722 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( * `  ( A  x.  D )
)  =  ( ( * `  A )  x.  ( * `  D ) ) )
122120, 121oveq12d 5892 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  D )  x.  (
* `  ( A  x.  D ) ) )  =  ( ( D  x.  A )  x.  ( ( * `  A )  x.  (
* `  D )
) ) )
123117, 119, 1223eqtr4d 2338 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( * `
 A )  x.  D )  x.  ( A  x.  ( * `  D ) ) )  =  ( ( A  x.  D )  x.  ( * `  ( A  x.  D )
) ) )
124123, 36eqtr4d 2331 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( * `
 A )  x.  D )  x.  ( A  x.  ( * `  D ) ) )  =  ( ( abs `  ( A  x.  D
) ) ^ 2 ) )
12526, 6mulcomd 8872 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( * `  B )  x.  C
)  =  ( C  x.  ( * `  B ) ) )
126125oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( * `
 A )  x.  D )  x.  (
( * `  B
)  x.  C ) )  =  ( ( ( * `  A
)  x.  D )  x.  ( C  x.  ( * `  B
) ) ) )
12724, 17, 6, 26mul4d 9040 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( * `
 A )  x.  D )  x.  ( C  x.  ( * `  B ) ) )  =  ( ( ( * `  A )  x.  C )  x.  ( D  x.  (
* `  B )
) ) )
12817, 26mulcomd 8872 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( D  x.  (
* `  B )
)  =  ( ( * `  B )  x.  D ) )
129128oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( * `
 A )  x.  C )  x.  ( D  x.  ( * `  B ) ) )  =  ( ( ( * `  A )  x.  C )  x.  ( ( * `  B )  x.  D
) ) )
130126, 127, 1293eqtrd 2332 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( * `
 A )  x.  D )  x.  (
( * `  B
)  x.  C ) )  =  ( ( ( * `  A
)  x.  C )  x.  ( ( * `
 B )  x.  D ) ) )
131124, 130oveq12d 5892 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( * `  A )  x.  D )  x.  ( A  x.  (
* `  D )
) )  -  (
( ( * `  A )  x.  D
)  x.  ( ( * `  B )  x.  C ) ) )  =  ( ( ( abs `  ( A  x.  D )
) ^ 2 )  -  ( ( ( * `  A )  x.  C )  x.  ( ( * `  B )  x.  D
) ) ) )
132116, 131eqtrd 2328 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( * `
 A )  x.  D )  x.  (
( A  x.  (
* `  D )
)  -  ( ( * `  B )  x.  C ) ) )  =  ( ( ( abs `  ( A  x.  D )
) ^ 2 )  -  ( ( ( * `  A )  x.  C )  x.  ( ( * `  B )  x.  D
) ) ) )
13330, 32, 113subdid 9251 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( B  x.  ( * `  C
) )  x.  (
( A  x.  (
* `  D )
)  -  ( ( * `  B )  x.  C ) ) )  =  ( ( ( B  x.  (
* `  C )
)  x.  ( A  x.  ( * `  D ) ) )  -  ( ( B  x.  ( * `  C ) )  x.  ( ( * `  B )  x.  C
) ) ) )
134125oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( B  x.  ( * `  C
) )  x.  (
( * `  B
)  x.  C ) )  =  ( ( B  x.  ( * `
 C ) )  x.  ( C  x.  ( * `  B
) ) ) )
13514, 29, 6, 26mul4d 9040 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( B  x.  ( * `  C
) )  x.  ( C  x.  ( * `  B ) ) )  =  ( ( B  x.  C )  x.  ( ( * `  C )  x.  (
* `  B )
) ) )
13629, 26mulcomd 8872 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( * `  C )  x.  (
* `  B )
)  =  ( ( * `  B )  x.  ( * `  C ) ) )
13714, 6cjmuld 11722 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( * `  ( B  x.  C )
)  =  ( ( * `  B )  x.  ( * `  C ) ) )
138136, 137eqtr4d 2331 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( * `  C )  x.  (
* `  B )
)  =  ( * `
 ( B  x.  C ) ) )
139138oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( B  x.  C )  x.  (
( * `  C
)  x.  ( * `
 B ) ) )  =  ( ( B  x.  C )  x.  ( * `  ( B  x.  C
) ) ) )
140134, 135, 1393eqtrd 2332 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( B  x.  ( * `  C
) )  x.  (
( * `  B
)  x.  C ) )  =  ( ( B  x.  C )  x.  ( * `  ( B  x.  C
) ) ) )
141140, 41eqtr4d 2331 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( B  x.  ( * `  C
) )  x.  (
( * `  B
)  x.  C ) )  =  ( ( abs `  ( B  x.  C ) ) ^ 2 ) )
142141oveq2d 5890 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( B  x.  ( * `  C ) )  x.  ( A  x.  (
* `  D )
) )  -  (
( B  x.  (
* `  C )
)  x.  ( ( * `  B )  x.  C ) ) )  =  ( ( ( B  x.  (
* `  C )
)  x.  ( A  x.  ( * `  D ) ) )  -  ( ( abs `  ( B  x.  C
) ) ^ 2 ) ) )
143133, 142eqtrd 2328 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( B  x.  ( * `  C
) )  x.  (
( A  x.  (
* `  D )
)  -  ( ( * `  B )  x.  C ) ) )  =  ( ( ( B  x.  (
* `  C )
)  x.  ( A  x.  ( * `  D ) ) )  -  ( ( abs `  ( B  x.  C
) ) ^ 2 ) ) )
144132, 143oveq12d 5892 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( * `  A )  x.  D )  x.  ( ( A  x.  ( * `  D
) )  -  (
( * `  B
)  x.  C ) ) )  -  (
( B  x.  (
* `  C )
)  x.  ( ( A  x.  ( * `
 D ) )  -  ( ( * `
 B )  x.  C ) ) ) )  =  ( ( ( ( abs `  ( A  x.  D )
) ^ 2 )  -  ( ( ( * `  A )  x.  C )  x.  ( ( * `  B )  x.  D
) ) )  -  ( ( ( B  x.  ( * `  C ) )  x.  ( A  x.  (
* `  D )
) )  -  (
( abs `  ( B  x.  C )
) ^ 2 ) ) ) )
14539, 28, 33, 44subadd4d 9221 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( abs `  ( A  x.  D ) ) ^ 2 )  -  ( ( ( * `
 A )  x.  C )  x.  (
( * `  B
)  x.  D ) ) )  -  (
( ( B  x.  ( * `  C
) )  x.  ( A  x.  ( * `  D ) ) )  -  ( ( abs `  ( B  x.  C
) ) ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( ( abs `  ( A  x.  D ) ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  ( B  x.  C )
) ^ 2 ) )  -  ( ( ( ( * `  A )  x.  C
)  x.  ( ( * `  B )  x.  D ) )  +  ( ( B  x.  ( * `  C ) )  x.  ( A  x.  (
* `  D )
) ) ) ) )
146115, 144, 1453eqtrd 2332 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( * `  A )  x.  D )  -  ( B  x.  (
* `  C )
) )  x.  (
( A  x.  (
* `  D )
)  -  ( ( * `  B )  x.  C ) ) )  =  ( ( ( ( abs `  ( A  x.  D )
) ^ 2 )  +  ( ( abs `  ( B  x.  C
) ) ^ 2 ) )  -  (
( ( ( * `
 A )  x.  C )  x.  (
( * `  B
)  x.  D ) )  +  ( ( B  x.  ( * `
 C ) )  x.  ( A  x.  ( * `  D
) ) ) ) ) )
147100, 112, 1463eqtrd 2332 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  (
( ( * `  A )  x.  D
)  -  ( B  x.  ( * `  C ) ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( abs `  ( A  x.  D )
) ^ 2 )  +  ( ( abs `  ( B  x.  C
) ) ^ 2 ) )  -  (
( ( ( * `
 A )  x.  C )  x.  (
( * `  B
)  x.  D ) )  +  ( ( B  x.  ( * `
 C ) )  x.  ( A  x.  ( * `  D
) ) ) ) ) )
14897, 147oveq12d 5892 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  ( ( ( * `
 A )  x.  C )  +  ( B  x.  ( * `
 D ) ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  ( ( ( * `  A
)  x.  D )  -  ( B  x.  ( * `  C
) ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( ( abs `  ( A  x.  C )
) ^ 2 )  +  ( ( abs `  ( B  x.  D
) ) ^ 2 ) )  +  ( ( ( ( * `
 A )  x.  C )  x.  (
( * `  B
)  x.  D ) )  +  ( ( B  x.  ( * `
 C ) )  x.  ( A  x.  ( * `  D
) ) ) ) )  +  ( ( ( ( abs `  ( A  x.  D )
) ^ 2 )  +  ( ( abs `  ( B  x.  C
) ) ^ 2 ) )  -  (
( ( ( * `
 A )  x.  C )  x.  (
( * `  B
)  x.  D ) )  +  ( ( B  x.  ( * `
 C ) )  x.  ( A  x.  ( * `  D
) ) ) ) ) ) )
1493, 24mulcld 8871 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A  x.  (
* `  A )
)  e.  CC )
15014, 26mulcld 8871 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( B  x.  (
* `  B )
)  e.  CC )
1516, 29mulcld 8871 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( C  x.  (
* `  C )
)  e.  CC )
15217, 31mulcld 8871 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( D  x.  (
* `  D )
)  e.  CC )
153151, 152addcld 8870 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( C  x.  ( * `  C
) )  +  ( D  x.  ( * `
 D ) ) )  e.  CC )
154149, 150, 153adddird 8876 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  x.  ( * `  A ) )  +  ( B  x.  (
* `  B )
) )  x.  (
( C  x.  (
* `  C )
)  +  ( D  x.  ( * `  D ) ) ) )  =  ( ( ( A  x.  (
* `  A )
)  x.  ( ( C  x.  ( * `
 C ) )  +  ( D  x.  ( * `  D
) ) ) )  +  ( ( B  x.  ( * `  B ) )  x.  ( ( C  x.  ( * `  C
) )  +  ( D  x.  ( * `
 D ) ) ) ) ) )
15568oveq2d 5890 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  C )  x.  (
* `  ( A  x.  C ) ) )  =  ( ( A  x.  C )  x.  ( ( * `  A )  x.  (
* `  C )
) ) )
1563, 6, 24, 29mul4d 9040 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  C )  x.  (
( * `  A
)  x.  ( * `
 C ) ) )  =  ( ( A  x.  ( * `
 A ) )  x.  ( C  x.  ( * `  C
) ) ) )
1578, 155, 1563eqtrd 2332 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( A  x.  C )
) ^ 2 )  =  ( ( A  x.  ( * `  A ) )  x.  ( C  x.  (
* `  C )
) ) )
158121oveq2d 5890 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  D )  x.  (
* `  ( A  x.  D ) ) )  =  ( ( A  x.  D )  x.  ( ( * `  A )  x.  (
* `  D )
) ) )
1593, 17, 24, 31mul4d 9040 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  D )  x.  (
( * `  A
)  x.  ( * `
 D ) ) )  =  ( ( A  x.  ( * `
 A ) )  x.  ( D  x.  ( * `  D
) ) ) )
16036, 158, 1593eqtrd 2332 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( A  x.  D )
) ^ 2 )  =  ( ( A  x.  ( * `  A ) )  x.  ( D  x.  (
* `  D )
) ) )
161157, 160oveq12d 5892 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  ( A  x.  C
) ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  ( A  x.  D ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( A  x.  ( * `
 A ) )  x.  ( C  x.  ( * `  C
) ) )  +  ( ( A  x.  ( * `  A
) )  x.  ( D  x.  ( * `  D ) ) ) ) )
162149, 151, 152adddid 8875 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  ( * `  A
) )  x.  (
( C  x.  (
* `  C )
)  +  ( D  x.  ( * `  D ) ) ) )  =  ( ( ( A  x.  (
* `  A )
)  x.  ( C  x.  ( * `  C ) ) )  +  ( ( A  x.  ( * `  A ) )  x.  ( D  x.  (
* `  D )
) ) ) )
163161, 162eqtr4d 2331 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  ( A  x.  C
) ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  ( A  x.  D ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( A  x.  ( * `  A ) )  x.  ( ( C  x.  ( * `  C
) )  +  ( D  x.  ( * `
 D ) ) ) ) )
164137oveq2d 5890 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( B  x.  C )  x.  (
* `  ( B  x.  C ) ) )  =  ( ( B  x.  C )  x.  ( ( * `  B )  x.  (
* `  C )
) ) )
16514, 6, 26, 29mul4d 9040 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( B  x.  C )  x.  (
( * `  B
)  x.  ( * `
 C ) ) )  =  ( ( B  x.  ( * `
 B ) )  x.  ( C  x.  ( * `  C
) ) ) )
16641, 164, 1653eqtrd 2332 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( B  x.  C )
) ^ 2 )  =  ( ( B  x.  ( * `  B ) )  x.  ( C  x.  (
* `  C )
) ) )
16784oveq2d 5890 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( B  x.  D )  x.  (
* `  ( B  x.  D ) ) )  =  ( ( B  x.  D )  x.  ( ( * `  B )  x.  (
* `  D )
) ) )
16814, 17, 26, 31mul4d 9040 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( B  x.  D )  x.  (
( * `  B
)  x.  ( * `
 D ) ) )  =  ( ( B  x.  ( * `
 B ) )  x.  ( D  x.  ( * `  D
) ) ) )
16919, 167, 1683eqtrd 2332 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( B  x.  D )
) ^ 2 )  =  ( ( B  x.  ( * `  B ) )  x.  ( D  x.  (
* `  D )
) ) )
170166, 169oveq12d 5892 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  ( B  x.  C
) ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  ( B  x.  D ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( B  x.  ( * `
 B ) )  x.  ( C  x.  ( * `  C
) ) )  +  ( ( B  x.  ( * `  B
) )  x.  ( D  x.  ( * `  D ) ) ) ) )
171150, 151, 152adddid 8875 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( B  x.  ( * `  B
) )  x.  (
( C  x.  (
* `  C )
)  +  ( D  x.  ( * `  D ) ) ) )  =  ( ( ( B  x.  (
* `  B )
)  x.  ( C  x.  ( * `  C ) ) )  +  ( ( B  x.  ( * `  B ) )  x.  ( D  x.  (
* `  D )
) ) ) )
172170, 171eqtr4d 2331 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  ( B  x.  C
) ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  ( B  x.  D ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( B  x.  ( * `  B ) )  x.  ( ( C  x.  ( * `  C
) )  +  ( D  x.  ( * `
 D ) ) ) ) )
173163, 172oveq12d 5892 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( abs `  ( A  x.  C ) ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  ( A  x.  D )
) ^ 2 ) )  +  ( ( ( abs `  ( B  x.  C )
) ^ 2 )  +  ( ( abs `  ( B  x.  D
) ) ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( A  x.  ( * `  A ) )  x.  ( ( C  x.  ( * `  C
) )  +  ( D  x.  ( * `
 D ) ) ) )  +  ( ( B  x.  (
* `  B )
)  x.  ( ( C  x.  ( * `
 C ) )  +  ( D  x.  ( * `  D
) ) ) ) ) )
174154, 173eqtr4d 2331 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  x.  ( * `  A ) )  +  ( B  x.  (
* `  B )
) )  x.  (
( C  x.  (
* `  C )
)  +  ( D  x.  ( * `  D ) ) ) )  =  ( ( ( ( abs `  ( A  x.  C )
) ^ 2 )  +  ( ( abs `  ( A  x.  D
) ) ^ 2 ) )  +  ( ( ( abs `  ( B  x.  C )
) ^ 2 )  +  ( ( abs `  ( B  x.  D
) ) ^ 2 ) ) ) )
175 mul4sq.5 . . . . . . . 8  |-  X  =  ( ( ( abs `  A ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  B ) ^ 2 ) )
1763absvalsqd 11940 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  A
) ^ 2 )  =  ( A  x.  ( * `  A
) ) )
17714absvalsqd 11940 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  B
) ^ 2 )  =  ( B  x.  ( * `  B
) ) )
178176, 177oveq12d 5892 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  A ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  B ) ^ 2 ) )  =  ( ( A  x.  ( * `  A ) )  +  ( B  x.  (
* `  B )
) ) )
179175, 178syl5eq 2340 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  =  ( ( A  x.  ( * `
 A ) )  +  ( B  x.  ( * `  B
) ) ) )
180 mul4sq.6 . . . . . . . 8  |-  Y  =  ( ( ( abs `  C ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  D ) ^ 2 ) )
1816absvalsqd 11940 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  C
) ^ 2 )  =  ( C  x.  ( * `  C
) ) )
18217absvalsqd 11940 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  D
) ^ 2 )  =  ( D  x.  ( * `  D
) ) )
183181, 182oveq12d 5892 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  C ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  D ) ^ 2 ) )  =  ( ( C  x.  ( * `  C ) )  +  ( D  x.  (
* `  D )
) ) )
184180, 183syl5eq 2340 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Y  =  ( ( C  x.  ( * `
 C ) )  +  ( D  x.  ( * `  D
) ) ) )
185179, 184oveq12d 5892 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( X  x.  Y
)  =  ( ( ( A  x.  (
* `  A )
)  +  ( B  x.  ( * `  B ) ) )  x.  ( ( C  x.  ( * `  C ) )  +  ( D  x.  (
* `  D )
) ) ) )
18611, 22, 39, 44add42d 9052 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( abs `  ( A  x.  C ) ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  ( B  x.  D )
) ^ 2 ) )  +  ( ( ( abs `  ( A  x.  D )
) ^ 2 )  +  ( ( abs `  ( B  x.  C
) ) ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( ( abs `  ( A  x.  C ) ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  ( A  x.  D )
) ^ 2 ) )  +  ( ( ( abs `  ( B  x.  C )
) ^ 2 )  +  ( ( abs `  ( B  x.  D
) ) ^ 2 ) ) ) )
187174, 185, 1863eqtr4d 2338 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( X  x.  Y
)  =  ( ( ( ( abs `  ( A  x.  C )
) ^ 2 )  +  ( ( abs `  ( B  x.  D
) ) ^ 2 ) )  +  ( ( ( abs `  ( A  x.  D )
) ^ 2 )  +  ( ( abs `  ( B  x.  C
) ) ^ 2 ) ) ) )
18846, 148, 1873eqtr4d 2338 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  ( ( ( * `
 A )  x.  C )  +  ( B  x.  ( * `
 D ) ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  ( ( ( * `  A
)  x.  D )  -  ( B  x.  ( * `  C
) ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( X  x.  Y ) )
189188oveq1d 5889 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( abs `  ( ( ( * `  A
)  x.  C )  +  ( B  x.  ( * `  D
) ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  (
( ( * `  A )  x.  D
)  -  ( B  x.  ( * `  C ) ) ) ) ^ 2 ) )  /  ( M ^ 2 ) )  =  ( ( X  x.  Y )  / 
( M ^ 2 ) ) )
190 mul4sq.7 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
191190nncnd 9778 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  M  e.  CC )
192190nnne0d 9806 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  M  =/=  0 )
19348, 191, 192absdivd 11953 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( ( ( * `
 A )  x.  C )  +  ( B  x.  ( * `
 D ) ) )  /  M ) )  =  ( ( abs `  ( ( ( * `  A
)  x.  C )  +  ( B  x.  ( * `  D
) ) ) )  /  ( abs `  M
) ) )
194190nnred 9777 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
195190nnnn0d 10034 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  M  e.  NN0 )
196195nn0ge0d 10037 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  0  <_  M )
197194, 196absidd 11921 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( abs `  M
)  =  M )
198197oveq2d 5890 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  (
( ( * `  A )  x.  C
)  +  ( B  x.  ( * `  D ) ) ) )  /  ( abs `  M ) )  =  ( ( abs `  (
( ( * `  A )  x.  C
)  +  ( B  x.  ( * `  D ) ) ) )  /  M ) )
199193, 198eqtrd 2328 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( ( ( * `
 A )  x.  C )  +  ( B  x.  ( * `
 D ) ) )  /  M ) )  =  ( ( abs `  ( ( ( * `  A
)  x.  C )  +  ( B  x.  ( * `  D
) ) ) )  /  M ) )
200199oveq1d 5889 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  (
( ( ( * `
 A )  x.  C )  +  ( B  x.  ( * `
 D ) ) )  /  M ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( abs `  ( ( ( * `  A
)  x.  C )  +  ( B  x.  ( * `  D
) ) ) )  /  M ) ^
2 ) )
20148abscld 11934 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( ( * `  A )  x.  C
)  +  ( B  x.  ( * `  D ) ) ) )  e.  RR )
202201recnd 8877 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( ( * `  A )  x.  C
)  +  ( B  x.  ( * `  D ) ) ) )  e.  CC )
203202, 191, 192sqdivd 11274 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  ( ( ( * `
 A )  x.  C )  +  ( B  x.  ( * `
 D ) ) ) )  /  M
) ^ 2 )  =  ( ( ( abs `  ( ( ( * `  A
)  x.  C )  +  ( B  x.  ( * `  D
) ) ) ) ^ 2 )  / 
( M ^ 2 ) ) )
204200, 203eqtrd 2328 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  (
( ( ( * `
 A )  x.  C )  +  ( B  x.  ( * `
 D ) ) )  /  M ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( abs `  ( ( ( * `  A
)  x.  C )  +  ( B  x.  ( * `  D
) ) ) ) ^ 2 )  / 
( M ^ 2 ) ) )
20599, 191, 192absdivd 11953 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( ( ( * `
 A )  x.  D )  -  ( B  x.  ( * `  C ) ) )  /  M ) )  =  ( ( abs `  ( ( ( * `
 A )  x.  D )  -  ( B  x.  ( * `  C ) ) ) )  /  ( abs `  M ) ) )
206197oveq2d 5890 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  (
( ( * `  A )  x.  D
)  -  ( B  x.  ( * `  C ) ) ) )  /  ( abs `  M ) )  =  ( ( abs `  (
( ( * `  A )  x.  D
)  -  ( B  x.  ( * `  C ) ) ) )  /  M ) )
207205, 206eqtrd 2328 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( ( ( * `
 A )  x.  D )  -  ( B  x.  ( * `  C ) ) )  /  M ) )  =  ( ( abs `  ( ( ( * `
 A )  x.  D )  -  ( B  x.  ( * `  C ) ) ) )  /  M ) )
208207oveq1d 5889 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  (
( ( ( * `
 A )  x.  D )  -  ( B  x.  ( * `  C ) ) )  /  M ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( abs `  ( ( ( * `
 A )  x.  D )  -  ( B  x.  ( * `  C ) ) ) )  /  M ) ^ 2 ) )
20999abscld 11934 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( ( * `  A )  x.  D
)  -  ( B  x.  ( * `  C ) ) ) )  e.  RR )
210209recnd 8877 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( ( * `  A )  x.  D
)  -  ( B  x.  ( * `  C ) ) ) )  e.  CC )
211210, 191, 192sqdivd 11274 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  ( ( ( * `
 A )  x.  D )  -  ( B  x.  ( * `  C ) ) ) )  /  M ) ^ 2 )  =  ( ( ( abs `  ( ( ( * `
 A )  x.  D )  -  ( B  x.  ( * `  C ) ) ) ) ^ 2 )  /  ( M ^
2 ) ) )
212208, 211eqtrd 2328 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  (
( ( ( * `
 A )  x.  D )  -  ( B  x.  ( * `  C ) ) )  /  M ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( abs `  ( ( ( * `
 A )  x.  D )  -  ( B  x.  ( * `  C ) ) ) ) ^ 2 )  /  ( M ^
2 ) ) )
213204, 212oveq12d 5892 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  ( ( ( ( * `  A )  x.  C )  +  ( B  x.  (
* `  D )
) )  /  M
) ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  ( ( ( ( * `  A )  x.  D
)  -  ( B  x.  ( * `  C ) ) )  /  M ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( abs `  (
( ( * `  A )  x.  C
)  +  ( B  x.  ( * `  D ) ) ) ) ^ 2 )  /  ( M ^
2 ) )  +  ( ( ( abs `  ( ( ( * `
 A )  x.  D )  -  ( B  x.  ( * `  C ) ) ) ) ^ 2 )  /  ( M ^
2 ) ) ) )
21423, 34addcld 8870 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( abs `  ( A  x.  C ) ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  ( B  x.  D )
) ^ 2 ) )  +  ( ( ( ( * `  A )  x.  C
)  x.  ( ( * `  B )  x.  D ) )  +  ( ( B  x.  ( * `  C ) )  x.  ( A  x.  (
* `  D )
) ) ) )  e.  CC )
21597, 214eqeltrd 2370 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  (
( ( * `  A )  x.  C
)  +  ( B  x.  ( * `  D ) ) ) ) ^ 2 )  e.  CC )
21645, 34subcld 9173 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( abs `  ( A  x.  D ) ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  ( B  x.  C )
) ^ 2 ) )  -  ( ( ( ( * `  A )  x.  C
)  x.  ( ( * `  B )  x.  D ) )  +  ( ( B  x.  ( * `  C ) )  x.  ( A  x.  (
* `  D )
) ) ) )  e.  CC )
217147, 216eqeltrd 2370 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  (
( ( * `  A )  x.  D
)  -  ( B  x.  ( * `  C ) ) ) ) ^ 2 )  e.  CC )
218190nnsqcld 11281 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( M ^ 2 )  e.  NN )
219218nncnd 9778 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( M ^ 2 )  e.  CC )
220218nnne0d 9806 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( M ^ 2 )  =/=  0 )
221215, 217, 219, 220divdird 9590 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( abs `  ( ( ( * `  A
)  x.  C )  +  ( B  x.  ( * `  D
) ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  (
( ( * `  A )  x.  D
)  -  ( B  x.  ( * `  C ) ) ) ) ^ 2 ) )  /  ( M ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( abs `  (
( ( * `  A )  x.  C
)  +  ( B  x.  ( * `  D ) ) ) ) ^ 2 )  /  ( M ^
2 ) )  +  ( ( ( abs `  ( ( ( * `
 A )  x.  D )  -  ( B  x.  ( * `  C ) ) ) ) ^ 2 )  /  ( M ^
2 ) ) ) )
222213, 221eqtr4d 2331 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  ( ( ( ( * `  A )  x.  C )  +  ( B  x.  (
* `  D )
) )  /  M
) ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  ( ( ( ( * `  A )  x.  D
)  -  ( B  x.  ( * `  C ) ) )  /  M ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( abs `  (
( ( * `  A )  x.  C
)  +  ( B  x.  ( * `  D ) ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  ( ( ( * `
 A )  x.  D )  -  ( B  x.  ( * `  C ) ) ) ) ^ 2 ) )  /  ( M ^ 2 ) ) )
223176, 149eqeltrd 2370 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  A
) ^ 2 )  e.  CC )
224177, 150eqeltrd 2370 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  B
) ^ 2 )  e.  CC )
225223, 224addcld 8870 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  A ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  B ) ^ 2 ) )  e.  CC )
226175, 225syl5eqel 2380 . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  CC )
227184, 153eqeltrd 2370 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  e.  CC )
228226, 191, 227, 191, 192, 192divmuldivd 9593 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( X  /  M )  x.  ( Y  /  M ) )  =  ( ( X  x.  Y )  / 
( M  x.  M
) ) )
229191sqvald 11258 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( M ^ 2 )  =  ( M  x.  M ) )
230229oveq2d 5890 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( X  x.  Y )  /  ( M ^ 2 ) )  =  ( ( X  x.  Y )  / 
( M  x.  M
) ) )
231228, 230eqtr4d 2331 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( X  /  M )  x.  ( Y  /  M ) )  =  ( ( X  x.  Y )  / 
( M ^ 2 ) ) )
232189, 222, 2313eqtr4d 2338 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  ( ( ( ( * `  A )  x.  C )  +  ( B  x.  (
* `  D )
) )  /  M
) ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  ( ( ( ( * `  A )  x.  D
)  -  ( B  x.  ( * `  C ) ) )  /  M ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( X  /  M )  x.  ( Y  /  M
) ) )
233226, 48nncand 9178 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( X  -  ( X  -  ( (
( * `  A
)  x.  C )  +  ( B  x.  ( * `  D
) ) ) ) )  =  ( ( ( * `  A
)  x.  C )  +  ( B  x.  ( * `  D
) ) ) )
234149, 150, 25, 47addsub4d 9220 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  x.  ( * `  A ) )  +  ( B  x.  (
* `  B )
) )  -  (
( ( * `  A )  x.  C
)  +  ( B  x.  ( * `  D ) ) ) )  =  ( ( ( A  x.  (
* `  A )
)  -  ( ( * `  A )  x.  C ) )  +  ( ( B  x.  ( * `  B ) )  -  ( B  x.  (
* `  D )
) ) ) )
235179oveq1d 5889 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( X  -  (
( ( * `  A )  x.  C
)  +  ( B  x.  ( * `  D ) ) ) )  =  ( ( ( A  x.  (
* `  A )
)  +  ( B  x.  ( * `  B ) ) )  -  ( ( ( * `  A )  x.  C )  +  ( B  x.  (
* `  D )
) ) ) )
23624, 3, 6subdid 9251 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( * `  A )  x.  ( A  -  C )
)  =  ( ( ( * `  A
)  x.  A )  -  ( ( * `
 A )  x.  C ) ) )
23724, 3mulcomd 8872 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( * `  A )  x.  A
)  =  ( A  x.  ( * `  A ) ) )
238237oveq1d 5889 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( * `
 A )  x.  A )  -  (
( * `  A
)  x.  C ) )  =  ( ( A  x.  ( * `
 A ) )  -  ( ( * `
 A )  x.  C ) ) )
239236, 238eqtrd 2328 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( * `  A )  x.  ( A  -  C )
)  =  ( ( A  x.  ( * `
 A ) )  -  ( ( * `
 A )  x.  C ) ) )
240 cjsub 11650 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( B  e.  CC  /\  D  e.  CC )  ->  ( * `  ( B  -  D )
)  =  ( ( * `  B )  -  ( * `  D ) ) )
24114, 17, 240syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( * `  ( B  -  D )
)  =  ( ( * `  B )  -  ( * `  D ) ) )
242241oveq2d 5890 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( B  x.  (
* `  ( B  -  D ) ) )  =  ( B  x.  ( ( * `  B )  -  (
* `  D )
) ) )
24314, 26, 31subdid 9251 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( B  x.  (
( * `  B
)  -  ( * `
 D ) ) )  =  ( ( B  x.  ( * `
 B ) )  -  ( B  x.  ( * `  D
) ) ) )
244242, 243eqtrd 2328 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( B  x.  (
* `  ( B  -  D ) ) )  =  ( ( B  x.  ( * `  B ) )  -  ( B  x.  (
* `  D )
) ) )
245239, 244oveq12d 5892 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( * `
 A )  x.  ( A  -  C
) )  +  ( B  x.  ( * `
 ( B  -  D ) ) ) )  =  ( ( ( A  x.  (
* `  A )
)  -  ( ( * `  A )  x.  C ) )  +  ( ( B  x.  ( * `  B ) )  -  ( B  x.  (
* `  D )
) ) ) )
246234, 235, 2453eqtr4d 2338 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( X  -  (
( ( * `  A )  x.  C
)  +  ( B  x.  ( * `  D ) ) ) )  =  ( ( ( * `  A
)  x.  ( A  -  C ) )  +  ( B  x.  ( * `  ( B  -  D )
) ) ) )
247246oveq2d 5890 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( X  -  ( X  -  ( (
( * `  A
)  x.  C )  +  ( B  x.  ( * `  D
) ) ) ) )  =  ( X  -  ( ( ( * `  A )  x.  ( A  -  C ) )  +  ( B  x.  (
* `  ( B  -  D ) ) ) ) ) )
248233, 247eqtr3d 2330 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( * `
 A )  x.  C )  +  ( B  x.  ( * `
 D ) ) )  =  ( X  -  ( ( ( * `  A )  x.  ( A  -  C ) )  +  ( B  x.  (
* `  ( B  -  D ) ) ) ) ) )
249248oveq1d 5889 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( * `  A )  x.  C )  +  ( B  x.  (
* `  D )
) )  /  M
)  =  ( ( X  -  ( ( ( * `  A
)  x.  ( A  -  C ) )  +  ( B  x.  ( * `  ( B  -  D )
) ) ) )  /  M ) )
2503, 6subcld 9173 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A  -  C
)  e.  CC )
25124, 250mulcld 8871 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( * `  A )  x.  ( A  -  C )
)  e.  CC )
25214, 17subcld 9173 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( B  -  D
)  e.  CC )
253252cjcld 11697 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( * `  ( B  -  D )
)  e.  CC )
25414, 253mulcld 8871 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( B  x.  (
* `  ( B  -  D ) ) )  e.  CC )
255251, 254addcld 8870 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( * `
 A )  x.  ( A  -  C
) )  +  ( B  x.  ( * `
 ( B  -  D ) ) ) )  e.  CC )
256226, 255, 191, 192divsubdird 9591 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( X  -  ( ( ( * `
 A )  x.  ( A  -  C
) )  +  ( B  x.  ( * `
 ( B  -  D ) ) ) ) )  /  M
)  =  ( ( X  /  M )  -  ( ( ( ( * `  A
)  x.  ( A  -  C ) )  +  ( B  x.  ( * `  ( B  -  D )
) ) )  /  M ) ) )
257251, 254, 191, 192divdird 9590 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( * `  A )  x.  ( A  -  C ) )  +  ( B  x.  (
* `  ( B  -  D ) ) ) )  /  M )  =  ( ( ( ( * `  A
)  x.  ( A  -  C ) )  /  M )  +  ( ( B  x.  ( * `  ( B  -  D )
) )  /  M
) ) )
25824, 250, 191, 192divassd 9587 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( * `
 A )  x.  ( A  -  C
) )  /  M
)  =  ( ( * `  A )  x.  ( ( A  -  C )  /  M ) ) )
25914, 253, 191, 192divassd 9587 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( B  x.  ( * `  ( B  -  D )
) )  /  M
)  =  ( B  x.  ( ( * `
 ( B  -  D ) )  /  M ) ) )
260252, 191, 192cjdivd 11724 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( * `  (
( B  -  D
)  /  M ) )  =  ( ( * `  ( B  -  D ) )  /  ( * `  M ) ) )
261194cjred 11727 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( * `  M
)  =  M )
262261oveq2d 5890 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( * `  ( B  -  D
) )  /  (
* `  M )
)  =  ( ( * `  ( B  -  D ) )  /  M ) )
263260, 262eqtrd 2328 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( * `  (
( B  -  D
)  /  M ) )  =  ( ( * `  ( B  -  D ) )  /  M ) )
264263oveq2d 5890 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( B  x.  (
* `  ( ( B  -  D )  /  M ) ) )  =  ( B  x.  ( ( * `  ( B  -  D
) )  /  M
) ) )
265259, 264eqtr4d 2331 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( B  x.  ( * `  ( B  -  D )
) )  /  M
)  =  ( B  x.  ( * `  ( ( B  -  D )  /  M
) ) ) )
266258, 265oveq12d 5892 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( * `  A )  x.  ( A  -  C ) )  /  M )  +  ( ( B  x.  (
* `  ( B  -  D ) ) )  /  M ) )  =  ( ( ( * `  A )  x.  ( ( A  -  C )  /  M ) )  +  ( B  x.  (
* `  ( ( B  -  D )  /  M ) ) ) ) )
267257, 266eqtrd 2328 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( * `  A )  x.  ( A  -  C ) )  +  ( B  x.  (
* `  ( B  -  D ) ) ) )  /  M )  =  ( ( ( * `  A )  x.  ( ( A  -  C )  /  M ) )  +  ( B  x.  (
* `  ( ( B  -  D )  /  M ) ) ) ) )
268267oveq2d 5890 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( X  /  M )  -  (
( ( ( * `
 A )  x.  ( A  -  C
) )  +  ( B  x.  ( * `
 ( B  -  D ) ) ) )  /  M ) )  =  ( ( X  /  M )  -  ( ( ( * `  A )  x.  ( ( A  -  C )  /  M ) )  +  ( B  x.  (
* `  ( ( B  -  D )  /  M ) ) ) ) ) )
269249, 256, 2683eqtrd 2332 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( * `  A )  x.  C )  +  ( B  x.  (
* `  D )
) )  /  M
)  =  ( ( X  /  M )  -  ( ( ( * `  A )  x.  ( ( A  -  C )  /  M ) )  +  ( B  x.  (
* `  ( ( B  -  D )  /  M ) ) ) ) ) )
270 mul4sq.10 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( X  /  M
)  e.  NN0 )
271270nn0zd 10131 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( X  /  M
)  e.  ZZ )
272 zgz 12996 . . . . . 6  |-  ( ( X  /  M )  e.  ZZ  ->  ( X  /  M )  e.  ZZ [ _i ]
)
273271, 272syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( X  /  M
)  e.  ZZ [
_i ] )
274 gzcjcl 12999 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ZZ [ _i ]  ->  ( * `  A )  e.  ZZ [ _i ] )
2751, 274syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( * `  A
)  e.  ZZ [
_i ] )
276 mul4sq.8 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( A  -  C )  /  M
)  e.  ZZ [
_i ] )
277 gzmulcl 13001 . . . . . . 7  |-  ( ( ( * `  A
)  e.  ZZ [
_i ]  /\  (
( A  -  C
)  /  M )  e.  ZZ [ _i ] )  ->  (
( * `  A
)  x.  ( ( A  -  C )  /  M ) )  e.  ZZ [ _i ] )
278275, 276, 277syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( * `  A )  x.  (
( A  -  C
)  /  M ) )  e.  ZZ [
_i ] )
279 mul4sq.9 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( B  -  D )  /  M
)  e.  ZZ [
_i ] )
280 gzcjcl 12999 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( B  -  D
)  /  M )  e.  ZZ [ _i ]  ->  ( * `  ( ( B  -  D )  /  M
) )  e.  ZZ [ _i ] )
281279, 280syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( * `  (
( B  -  D
)  /  M ) )  e.  ZZ [
_i ] )
282 gzmulcl 13001 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  ZZ [
_i ]  /\  (
* `  ( ( B  -  D )  /  M ) )  e.  ZZ [ _i ]
)  ->  ( B  x.  ( * `  (
( B  -  D
)  /  M ) ) )  e.  ZZ [ _i ] )
28312, 281, 282syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( B  x.  (
* `  ( ( B  -  D )  /  M ) ) )  e.  ZZ [ _i ] )
284 gzaddcl 13000 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( * `  A )  x.  (
( A  -  C
)  /  M ) )  e.  ZZ [
_i ]  /\  ( B  x.  ( * `  ( ( B  -  D )  /  M
) ) )  e.  ZZ [ _i ]
)  ->  ( (
( * `  A
)  x.  ( ( A  -  C )  /  M ) )  +  ( B  x.  ( * `  (
( B  -  D
)  /  M ) ) ) )  e.  ZZ [ _i ]
)
285278, 283, 284syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( * `
 A )  x.  ( ( A  -  C )  /  M
) )  +  ( B  x.  ( * `
 ( ( B  -  D )  /  M ) ) ) )  e.  ZZ [
_i ] )
286 gzsubcl 13003 . . . . 5  |-  ( ( ( X  /  M
)  e.  ZZ [
_i ]  /\  (
( ( * `  A )  x.  (
( A  -  C
)  /  M ) )  +  ( B  x.  ( * `  ( ( B  -  D )  /  M
) ) ) )  e.  ZZ [ _i ] )  ->  (
( X  /  M
)  -  ( ( ( * `  A
)  x.  ( ( A  -  C )  /  M ) )  +  ( B  x.  ( * `  (
( B  -  D
)  /  M ) ) ) ) )  e.  ZZ [ _i ] )
287273, 285, 286syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( X  /  M )  -  (
( ( * `  A )  x.  (
( A  -  C
)  /  M ) )  +  ( B  x.  ( * `  ( ( B  -  D )  /  M
) ) ) ) )  e.  ZZ [
_i ] )
288269, 287eqeltrd 2370 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( * `  A )  x.  C )  +  ( B  x.  (
* `  D )
) )  /  M
)  e.  ZZ [
_i ] )
289250cjcld 11697 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( * `  ( A  -  C )
)  e.  CC )
29014, 289mulcld 8871 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( B  x.  (
* `  ( A  -  C ) ) )  e.  CC )
29124, 252mulcld 8871 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( * `  A )  x.  ( B  -  D )
)  e.  CC )
292290, 291, 191, 192divsubdird 9591 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( B  x.  ( * `  ( A  -  C
) ) )  -  ( ( * `  A )  x.  ( B  -  D )
) )  /  M
)  =  ( ( ( B  x.  (
* `  ( A  -  C ) ) )  /  M )  -  ( ( ( * `
 A )  x.  ( B  -  D
) )  /  M
) ) )
293 cjsub 11650 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  ( * `  ( A  -  C )
)  =  ( ( * `  A )  -  ( * `  C ) ) )
2943, 6, 293syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( * `  ( A  -  C )
)  =  ( ( * `  A )  -  ( * `  C ) ) )
295294oveq2d 5890 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( B  x.  (
* `  ( A  -  C ) ) )  =  ( B  x.  ( ( * `  A )  -  (
* `  C )
) ) )
29614, 24, 29subdid 9251 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( B  x.  (
( * `  A
)  -  ( * `
 C ) ) )  =  ( ( B  x.  ( * `
 A ) )  -  ( B  x.  ( * `  C
) ) ) )
297295, 296eqtrd 2328 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( B  x.  (
* `  ( A  -  C ) ) )  =  ( ( B  x.  ( * `  A ) )  -  ( B  x.  (
* `  C )
) ) )
29824, 14, 17subdid 9251 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( * `  A )  x.  ( B  -  D )
)  =  ( ( ( * `  A
)  x.  B )  -  ( ( * `
 A )  x.  D ) ) )
29924, 14mulcomd 8872 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( * `  A )  x.  B
)  =  ( B  x.  ( * `  A ) ) )
300299oveq1d 5889 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( * `
 A )  x.  B )  -  (
( * `  A
)  x.  D ) )  =  ( ( B  x.  ( * `
 A ) )  -  ( ( * `
 A )  x.  D ) ) )
301298, 300eqtrd 2328 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( * `  A )  x.  ( B  -  D )
)  =  ( ( B  x.  ( * `
 A ) )  -  ( ( * `
 A )  x.  D ) ) )
302297, 301oveq12d 5892 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( B  x.  ( * `  ( A  -  C )
) )  -  (
( * `  A
)  x.  ( B  -  D ) ) )  =  ( ( ( B  x.  (
* `  A )
)  -  ( B  x.  ( * `  C ) ) )  -  ( ( B  x.  ( * `  A ) )  -  ( ( * `  A )  x.  D
) ) ) )
30314, 24mulcld 8871 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( B  x.  (
* `  A )
)  e.  CC )
304303, 30, 98nnncan1d 9207 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( B  x.  ( * `  A ) )  -  ( B  x.  (
* `  C )
) )  -  (
( B  x.  (
* `  A )
)  -  ( ( * `  A )  x.  D ) ) )  =  ( ( ( * `  A
)  x.  D )  -  ( B  x.  ( * `  C
) ) ) )
305302, 304eqtrd 2328 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( B  x.  ( * `  ( A  -  C )
) )  -  (
( * `  A
)  x.  ( B  -  D ) ) )  =  ( ( ( * `  A
)  x.  D )  -  ( B  x.  ( * `  C
) ) ) )
306305oveq1d 5889 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( B  x.  ( * `  ( A  -  C
) ) )  -  ( ( * `  A )  x.  ( B  -  D )
) )  /  M
)  =  ( ( ( ( * `  A )  x.  D
)  -  ( B  x.  ( * `  C ) ) )  /  M ) )
307292, 306eqtr3d 2330 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( B  x.  ( * `  ( A  -  C
) ) )  /  M )  -  (
( ( * `  A )  x.  ( B  -  D )
)  /  M ) )  =  ( ( ( ( * `  A )  x.  D
)  -  ( B  x.  ( * `  C ) ) )  /  M ) )
30814, 289, 191, 192divassd 9587 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( B  x.  ( * `  ( A  -  C )
) )  /  M
)  =  ( B  x.  ( ( * `
 ( A  -  C ) )  /  M ) ) )
309250, 191, 192cjdivd 11724 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( * `  (
( A  -  C
)  /  M ) )  =  ( ( * `  ( A  -  C ) )  /  ( * `  M ) ) )
310261oveq2d 5890 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( * `  ( A  -  C
) )  /  (
* `  M )
)  =  ( ( * `  ( A  -  C ) )  /  M ) )
311309, 310eqtrd 2328 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( * `  (
( A  -  C
)  /  M ) )  =  ( ( * `  ( A  -  C ) )  /  M ) )
312311oveq2d 5890 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( B  x.  (
* `  ( ( A  -  C )  /  M ) ) )  =  ( B  x.  ( ( * `  ( A  -  C
) )  /  M
) ) )
313308, 312eqtr4d 2331 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( B  x.  ( * `  ( A  -  C )
) )  /  M
)  =  ( B  x.  ( * `  ( ( A  -  C )  /  M
) ) ) )
31424, 252, 191, 192divassd 9587 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( * `
 A )  x.  ( B  -  D
) )  /  M
)  =  ( ( * `  A )  x.  ( ( B  -  D )  /  M ) ) )
315313, 314oveq12d 5892 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( B  x.  ( * `  ( A  -  C
) ) )  /  M )  -  (
( ( * `  A )  x.  ( B  -  D )
)  /  M ) )  =  ( ( B  x.  ( * `
 ( ( A  -  C )  /  M ) ) )  -  ( ( * `
 A )  x.  ( ( B  -  D )  /  M
) ) ) )
316307, 315eqtr3d 2330 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( * `  A )  x.  D )  -  ( B  x.  (
* `  C )
) )  /  M
)  =  ( ( B  x.  ( * `
 ( ( A  -  C )  /  M ) ) )  -  ( ( * `
 A )  x.  ( ( B  -  D )  /  M
) ) ) )
317 gzcjcl 12999 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  -  C
)  /  M )  e.  ZZ [ _i ]  ->  ( * `  ( ( A  -  C )  /  M
) )  e.  ZZ [ _i ] )
318276, 317syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( * `  (
( A  -  C
)  /  M ) )  e.  ZZ [
_i ] )
319 gzmulcl 13001 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  ZZ [
_i ]  /\  (
* `  ( ( A  -  C )  /  M ) )  e.  ZZ [ _i ]
)  ->  ( B  x.  ( * `  (
( A  -  C
)  /  M ) ) )  e.  ZZ [ _i ] )
32012, 318, 319syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( B  x.  (
* `  ( ( A  -  C )  /  M ) ) )  e.  ZZ [ _i ] )
321 gzmulcl 13001 . . . . . 6  |-  ( ( ( * `  A
)  e.  ZZ [
_i ]  /\  (
( B  -  D
)  /  M )  e.  ZZ [ _i ] )  ->  (
( * `  A
)  x.  ( ( B  -  D )  /  M ) )  e.  ZZ [ _i ] )
322275, 279, 321syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( * `  A )  x.  (
( B  -  D
)  /  M ) )  e.  ZZ [
_i ] )
323 gzsubcl 13003 . . . . 5  |-  ( ( ( B  x.  (
* `  ( ( A  -  C )  /  M ) ) )  e.  ZZ [ _i ]  /\  ( ( * `
 A )  x.  ( ( B  -  D )  /  M
) )  e.  ZZ [ _i ] )  -> 
( ( B  x.  ( * `  (
( A  -  C
)  /  M ) ) )  -  (
( * `  A
)  x.  ( ( B  -  D )  /  M ) ) )  e.  ZZ [
_i ] )
324320, 322, 323syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( B  x.  ( * `  (
( A  -  C
)  /  M ) ) )  -  (
( * `  A
)  x.  ( ( B  -  D )  /  M ) ) )  e.  ZZ [
_i ] )
325316, 324eqeltrd 2370 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( * `  A )  x.  D )  -  ( B  x.  (
* `  C )
) )  /  M
)  e.  ZZ [
_i ] )
326 4sq.1 . . . 4  |-  S  =  { n  |  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  E. z  e.  ZZ  E. w  e.  ZZ  n  =  ( ( ( x ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) )  +  ( ( z ^ 2 )  +  ( w ^
2 ) ) ) }
3273264sqlem4a 13014 . . 3  |-  ( ( ( ( ( ( * `  A )  x.  C )  +  ( B  x.  (
* `  D )
) )  /  M
)  e.  ZZ [
_i ]  /\  (
( ( ( * `
 A )  x.  D )  -  ( B  x.  ( * `  C ) ) )  /  M )  e.  ZZ [ _i ]
)  ->  ( (
( abs `  (
( ( ( * `
 A )  x.  C )  +  ( B  x.  ( * `
 D ) ) )  /  M ) ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  ( ( ( ( * `  A )  x.  D )  -  ( B  x.  (
* `  C )
) )  /  M
) ) ^ 2 ) )  e.  S
)
328288, 325, 327syl2anc 642 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  ( ( ( ( * `  A )  x.  C )  +  ( B  x.  (
* `  D )
) )  /  M
) ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  ( ( ( ( * `  A )  x.  D
)  -  ( B  x.  ( * `  C ) ) )  /  M ) ) ^ 2 ) )  e.  S )
329232, 328eqeltrrd 2371 1  |-  ( ph  ->  ( ( X  /  M )  x.  ( Y  /  M ) )  e.  S )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1632    e. wcel 1696   {cab 2282   E.wrex 2557   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   CCcc 8751    + caddc 8756    x. cmul 8758    - cmin 9053    / cdiv 9439   NNcn 9762   2c2 9811   NN0cn0 9981   ZZcz 10040   ^cexp 11120   *ccj 11597   abscabs 11735   ZZ [ _i ]cgz 12992
This theorem is referenced by:  mul4sq  13017  4sqlem17  13024
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-sup 7210  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-rp 10371  df-seq 11063  df-exp 11121  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-gz 12993
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