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Theorem muladd 9228
Description: Product of two sums. (Contributed by NM, 14-Jan-2006.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 19-Nov-2011.)
Assertion
Ref Expression
muladd  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( C  e.  CC  /\  D  e.  CC ) )  -> 
( ( A  +  B )  x.  ( C  +  D )
)  =  ( ( ( A  x.  C
)  +  ( D  x.  B ) )  +  ( ( A  x.  D )  +  ( C  x.  B
) ) ) )

Proof of Theorem muladd
StepHypRef Expression
1 addcl 8835 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  +  B
)  e.  CC )
2 adddi 8842 . . . 4  |-  ( ( ( A  +  B
)  e.  CC  /\  C  e.  CC  /\  D  e.  CC )  ->  (
( A  +  B
)  x.  ( C  +  D ) )  =  ( ( ( A  +  B )  x.  C )  +  ( ( A  +  B )  x.  D
) ) )
323expb 1152 . . 3  |-  ( ( ( A  +  B
)  e.  CC  /\  ( C  e.  CC  /\  D  e.  CC ) )  ->  ( ( A  +  B )  x.  ( C  +  D
) )  =  ( ( ( A  +  B )  x.  C
)  +  ( ( A  +  B )  x.  D ) ) )
41, 3sylan 457 . 2  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( C  e.  CC  /\  D  e.  CC ) )  -> 
( ( A  +  B )  x.  ( C  +  D )
)  =  ( ( ( A  +  B
)  x.  C )  +  ( ( A  +  B )  x.  D ) ) )
5 adddir 8846 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  (
( A  +  B
)  x.  C )  =  ( ( A  x.  C )  +  ( B  x.  C
) ) )
653expa 1151 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  C  e.  CC )  ->  ( ( A  +  B )  x.  C )  =  ( ( A  x.  C
)  +  ( B  x.  C ) ) )
76adantrr 697 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( C  e.  CC  /\  D  e.  CC ) )  -> 
( ( A  +  B )  x.  C
)  =  ( ( A  x.  C )  +  ( B  x.  C ) ) )
8 adddir 8846 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  D  e.  CC )  ->  (
( A  +  B
)  x.  D )  =  ( ( A  x.  D )  +  ( B  x.  D
) ) )
983expa 1151 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  D  e.  CC )  ->  ( ( A  +  B )  x.  D )  =  ( ( A  x.  D
)  +  ( B  x.  D ) ) )
109adantrl 696 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( C  e.  CC  /\  D  e.  CC ) )  -> 
( ( A  +  B )  x.  D
)  =  ( ( A  x.  D )  +  ( B  x.  D ) ) )
117, 10oveq12d 5892 . 2  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( C  e.  CC  /\  D  e.  CC ) )  -> 
( ( ( A  +  B )  x.  C )  +  ( ( A  +  B
)  x.  D ) )  =  ( ( ( A  x.  C
)  +  ( B  x.  C ) )  +  ( ( A  x.  D )  +  ( B  x.  D
) ) ) )
12 mulcl 8837 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  ( A  x.  C
)  e.  CC )
1312ad2ant2r 727 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( C  e.  CC  /\  D  e.  CC ) )  -> 
( A  x.  C
)  e.  CC )
14 mulcl 8837 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  ( B  x.  C
)  e.  CC )
1514ad2ant2lr 728 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( C  e.  CC  /\  D  e.  CC ) )  -> 
( B  x.  C
)  e.  CC )
16 mulcl 8837 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  D  e.  CC )  ->  ( A  x.  D
)  e.  CC )
17 mulcl 8837 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  CC  /\  D  e.  CC )  ->  ( B  x.  D
)  e.  CC )
18 addcl 8835 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  x.  D
)  e.  CC  /\  ( B  x.  D
)  e.  CC )  ->  ( ( A  x.  D )  +  ( B  x.  D
) )  e.  CC )
1916, 17, 18syl2an 463 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  D  e.  CC )  /\  ( B  e.  CC  /\  D  e.  CC ) )  -> 
( ( A  x.  D )  +  ( B  x.  D ) )  e.  CC )
2019anandirs 804 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  D  e.  CC )  ->  ( ( A  x.  D )  +  ( B  x.  D
) )  e.  CC )
2120adantrl 696 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( C  e.  CC  /\  D  e.  CC ) )  -> 
( ( A  x.  D )  +  ( B  x.  D ) )  e.  CC )
2213, 15, 21add32d 9050 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( C  e.  CC  /\  D  e.  CC ) )  -> 
( ( ( A  x.  C )  +  ( B  x.  C
) )  +  ( ( A  x.  D
)  +  ( B  x.  D ) ) )  =  ( ( ( A  x.  C
)  +  ( ( A  x.  D )  +  ( B  x.  D ) ) )  +  ( B  x.  C ) ) )
23 mulcom 8839 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  CC  /\  D  e.  CC )  ->  ( B  x.  D
)  =  ( D  x.  B ) )
2423ad2ant2l 726 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( C  e.  CC  /\  D  e.  CC ) )  -> 
( B  x.  D
)  =  ( D  x.  B ) )
2524oveq2d 5890 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( C  e.  CC  /\  D  e.  CC ) )  -> 
( ( ( A  x.  C )  +  ( A  x.  D
) )  +  ( B  x.  D ) )  =  ( ( ( A  x.  C
)  +  ( A  x.  D ) )  +  ( D  x.  B ) ) )
2616ad2ant2rl 729 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( C  e.  CC  /\  D  e.  CC ) )  -> 
( A  x.  D
)  e.  CC )
2717ad2ant2l 726 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( C  e.  CC  /\  D  e.  CC ) )  -> 
( B  x.  D
)  e.  CC )
2813, 26, 27addassd 8873 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( C  e.  CC  /\  D  e.  CC ) )  -> 
( ( ( A  x.  C )  +  ( A  x.  D
) )  +  ( B  x.  D ) )  =  ( ( A  x.  C )  +  ( ( A  x.  D )  +  ( B  x.  D
) ) ) )
29 mulcl 8837 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( D  x.  B
)  e.  CC )
3029ancoms 439 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  CC  /\  D  e.  CC )  ->  ( D  x.  B
)  e.  CC )
3130ad2ant2l 726 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( C  e.  CC  /\  D  e.  CC ) )  -> 
( D  x.  B
)  e.  CC )
3213, 26, 31add32d 9050 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( C  e.  CC  /\  D  e.  CC ) )  -> 
( ( ( A  x.  C )  +  ( A  x.  D
) )  +  ( D  x.  B ) )  =  ( ( ( A  x.  C
)  +  ( D  x.  B ) )  +  ( A  x.  D ) ) )
3325, 28, 323eqtr3d 2336 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( C  e.  CC  /\  D  e.  CC ) )  -> 
( ( A  x.  C )  +  ( ( A  x.  D
)  +  ( B  x.  D ) ) )  =  ( ( ( A  x.  C
)  +  ( D  x.  B ) )  +  ( A  x.  D ) ) )
34 mulcom 8839 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  ( B  x.  C
)  =  ( C  x.  B ) )
3534ad2ant2lr 728 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( C  e.  CC  /\  D  e.  CC ) )  -> 
( B  x.  C
)  =  ( C  x.  B ) )
3633, 35oveq12d 5892 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( C  e.  CC  /\  D  e.  CC ) )  -> 
( ( ( A  x.  C )  +  ( ( A  x.  D )  +  ( B  x.  D ) ) )  +  ( B  x.  C ) )  =  ( ( ( ( A  x.  C )  +  ( D  x.  B ) )  +  ( A  x.  D ) )  +  ( C  x.  B ) ) )
37 addcl 8835 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  x.  C
)  e.  CC  /\  ( D  x.  B
)  e.  CC )  ->  ( ( A  x.  C )  +  ( D  x.  B
) )  e.  CC )
3812, 30, 37syl2an 463 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( B  e.  CC  /\  D  e.  CC ) )  -> 
( ( A  x.  C )  +  ( D  x.  B ) )  e.  CC )
3938an4s 799 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( C  e.  CC  /\  D  e.  CC ) )  -> 
( ( A  x.  C )  +  ( D  x.  B ) )  e.  CC )
40 mulcl 8837 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( C  x.  B
)  e.  CC )
4140ancoms 439 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  ( C  x.  B
)  e.  CC )
4241ad2ant2lr 728 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( C  e.  CC  /\  D  e.  CC ) )  -> 
( C  x.  B
)  e.  CC )
4339, 26, 42addassd 8873 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( C  e.  CC  /\  D  e.  CC ) )  -> 
( ( ( ( A  x.  C )  +  ( D  x.  B ) )  +  ( A  x.  D
) )  +  ( C  x.  B ) )  =  ( ( ( A  x.  C
)  +  ( D  x.  B ) )  +  ( ( A  x.  D )  +  ( C  x.  B
) ) ) )
4422, 36, 433eqtrd 2332 . 2  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( C  e.  CC  /\  D  e.  CC ) )  -> 
( ( ( A  x.  C )  +  ( B  x.  C
) )  +  ( ( A  x.  D
)  +  ( B  x.  D ) ) )  =  ( ( ( A  x.  C
)  +  ( D  x.  B ) )  +  ( ( A  x.  D )  +  ( C  x.  B
) ) ) )
454, 11, 443eqtrd 2332 1  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( C  e.  CC  /\  D  e.  CC ) )  -> 
( ( A  +  B )  x.  ( C  +  D )
)  =  ( ( ( A  x.  C
)  +  ( D  x.  B ) )  +  ( ( A  x.  D )  +  ( C  x.  B
) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696  (class class class)co 5874   CCcc 8751    + caddc 8756    x. cmul 8758
This theorem is referenced by:  mulsub  9238  muladdi  9246  muladdd  9253  sqabsadd  11783  demoivreALT  12497
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-ltxr 8888
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