MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  muladd Unicode version

Theorem muladd 9212
Description: Product of two sums. (Contributed by NM, 14-Jan-2006.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 19-Nov-2011.)
Assertion
Ref Expression
muladd  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( C  e.  CC  /\  D  e.  CC ) )  -> 
( ( A  +  B )  x.  ( C  +  D )
)  =  ( ( ( A  x.  C
)  +  ( D  x.  B ) )  +  ( ( A  x.  D )  +  ( C  x.  B
) ) ) )

Proof of Theorem muladd
StepHypRef Expression
1 addcl 8819 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  +  B
)  e.  CC )
2 adddi 8826 . . . 4  |-  ( ( ( A  +  B
)  e.  CC  /\  C  e.  CC  /\  D  e.  CC )  ->  (
( A  +  B
)  x.  ( C  +  D ) )  =  ( ( ( A  +  B )  x.  C )  +  ( ( A  +  B )  x.  D
) ) )
323expb 1152 . . 3  |-  ( ( ( A  +  B
)  e.  CC  /\  ( C  e.  CC  /\  D  e.  CC ) )  ->  ( ( A  +  B )  x.  ( C  +  D
) )  =  ( ( ( A  +  B )  x.  C
)  +  ( ( A  +  B )  x.  D ) ) )
41, 3sylan 457 . 2  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( C  e.  CC  /\  D  e.  CC ) )  -> 
( ( A  +  B )  x.  ( C  +  D )
)  =  ( ( ( A  +  B
)  x.  C )  +  ( ( A  +  B )  x.  D ) ) )
5 adddir 8830 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  (
( A  +  B
)  x.  C )  =  ( ( A  x.  C )  +  ( B  x.  C
) ) )
653expa 1151 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  C  e.  CC )  ->  ( ( A  +  B )  x.  C )  =  ( ( A  x.  C
)  +  ( B  x.  C ) ) )
76adantrr 697 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( C  e.  CC  /\  D  e.  CC ) )  -> 
( ( A  +  B )  x.  C
)  =  ( ( A  x.  C )  +  ( B  x.  C ) ) )
8 adddir 8830 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  D  e.  CC )  ->  (
( A  +  B
)  x.  D )  =  ( ( A  x.  D )  +  ( B  x.  D
) ) )
983expa 1151 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  D  e.  CC )  ->  ( ( A  +  B )  x.  D )  =  ( ( A  x.  D
)  +  ( B  x.  D ) ) )
109adantrl 696 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( C  e.  CC  /\  D  e.  CC ) )  -> 
( ( A  +  B )  x.  D
)  =  ( ( A  x.  D )  +  ( B  x.  D ) ) )
117, 10oveq12d 5876 . 2  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( C  e.  CC  /\  D  e.  CC ) )  -> 
( ( ( A  +  B )  x.  C )  +  ( ( A  +  B
)  x.  D ) )  =  ( ( ( A  x.  C
)  +  ( B  x.  C ) )  +  ( ( A  x.  D )  +  ( B  x.  D
) ) ) )
12 mulcl 8821 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  ( A  x.  C
)  e.  CC )
1312ad2ant2r 727 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( C  e.  CC  /\  D  e.  CC ) )  -> 
( A  x.  C
)  e.  CC )
14 mulcl 8821 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  ( B  x.  C
)  e.  CC )
1514ad2ant2lr 728 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( C  e.  CC  /\  D  e.  CC ) )  -> 
( B  x.  C
)  e.  CC )
16 mulcl 8821 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  D  e.  CC )  ->  ( A  x.  D
)  e.  CC )
17 mulcl 8821 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  CC  /\  D  e.  CC )  ->  ( B  x.  D
)  e.  CC )
18 addcl 8819 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  x.  D
)  e.  CC  /\  ( B  x.  D
)  e.  CC )  ->  ( ( A  x.  D )  +  ( B  x.  D
) )  e.  CC )
1916, 17, 18syl2an 463 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  D  e.  CC )  /\  ( B  e.  CC  /\  D  e.  CC ) )  -> 
( ( A  x.  D )  +  ( B  x.  D ) )  e.  CC )
2019anandirs 804 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  D  e.  CC )  ->  ( ( A  x.  D )  +  ( B  x.  D
) )  e.  CC )
2120adantrl 696 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( C  e.  CC  /\  D  e.  CC ) )  -> 
( ( A  x.  D )  +  ( B  x.  D ) )  e.  CC )
2213, 15, 21add32d 9034 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( C  e.  CC  /\  D  e.  CC ) )  -> 
( ( ( A  x.  C )  +  ( B  x.  C
) )  +  ( ( A  x.  D
)  +  ( B  x.  D ) ) )  =  ( ( ( A  x.  C
)  +  ( ( A  x.  D )  +  ( B  x.  D ) ) )  +  ( B  x.  C ) ) )
23 mulcom 8823 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  CC  /\  D  e.  CC )  ->  ( B  x.  D
)  =  ( D  x.  B ) )
2423ad2ant2l 726 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( C  e.  CC  /\  D  e.  CC ) )  -> 
( B  x.  D
)  =  ( D  x.  B ) )
2524oveq2d 5874 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( C  e.  CC  /\  D  e.  CC ) )  -> 
( ( ( A  x.  C )  +  ( A  x.  D
) )  +  ( B  x.  D ) )  =  ( ( ( A  x.  C
)  +  ( A  x.  D ) )  +  ( D  x.  B ) ) )
2616ad2ant2rl 729 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( C  e.  CC  /\  D  e.  CC ) )  -> 
( A  x.  D
)  e.  CC )
2717ad2ant2l 726 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( C  e.  CC  /\  D  e.  CC ) )  -> 
( B  x.  D
)  e.  CC )
2813, 26, 27addassd 8857 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( C  e.  CC  /\  D  e.  CC ) )  -> 
( ( ( A  x.  C )  +  ( A  x.  D
) )  +  ( B  x.  D ) )  =  ( ( A  x.  C )  +  ( ( A  x.  D )  +  ( B  x.  D
) ) ) )
29 mulcl 8821 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( D  x.  B
)  e.  CC )
3029ancoms 439 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  CC  /\  D  e.  CC )  ->  ( D  x.  B
)  e.  CC )
3130ad2ant2l 726 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( C  e.  CC  /\  D  e.  CC ) )  -> 
( D  x.  B
)  e.  CC )
3213, 26, 31add32d 9034 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( C  e.  CC  /\  D  e.  CC ) )  -> 
( ( ( A  x.  C )  +  ( A  x.  D
) )  +  ( D  x.  B ) )  =  ( ( ( A  x.  C
)  +  ( D  x.  B ) )  +  ( A  x.  D ) ) )
3325, 28, 323eqtr3d 2323 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( C  e.  CC  /\  D  e.  CC ) )  -> 
( ( A  x.  C )  +  ( ( A  x.  D
)  +  ( B  x.  D ) ) )  =  ( ( ( A  x.  C
)  +  ( D  x.  B ) )  +  ( A  x.  D ) ) )
34 mulcom 8823 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  ( B  x.  C
)  =  ( C  x.  B ) )
3534ad2ant2lr 728 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( C  e.  CC  /\  D  e.  CC ) )  -> 
( B  x.  C
)  =  ( C  x.  B ) )
3633, 35oveq12d 5876 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( C  e.  CC  /\  D  e.  CC ) )  -> 
( ( ( A  x.  C )  +  ( ( A  x.  D )  +  ( B  x.  D ) ) )  +  ( B  x.  C ) )  =  ( ( ( ( A  x.  C )  +  ( D  x.  B ) )  +  ( A  x.  D ) )  +  ( C  x.  B ) ) )
37 addcl 8819 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  x.  C
)  e.  CC  /\  ( D  x.  B
)  e.  CC )  ->  ( ( A  x.  C )  +  ( D  x.  B
) )  e.  CC )
3812, 30, 37syl2an 463 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( B  e.  CC  /\  D  e.  CC ) )  -> 
( ( A  x.  C )  +  ( D  x.  B ) )  e.  CC )
3938an4s 799 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( C  e.  CC  /\  D  e.  CC ) )  -> 
( ( A  x.  C )  +  ( D  x.  B ) )  e.  CC )
40 mulcl 8821 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( C  x.  B
)  e.  CC )
4140ancoms 439 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  ( C  x.  B
)  e.  CC )
4241ad2ant2lr 728 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( C  e.  CC  /\  D  e.  CC ) )  -> 
( C  x.  B
)  e.  CC )
4339, 26, 42addassd 8857 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( C  e.  CC  /\  D  e.  CC ) )  -> 
( ( ( ( A  x.  C )  +  ( D  x.  B ) )  +  ( A  x.  D
) )  +  ( C  x.  B ) )  =  ( ( ( A  x.  C
)  +  ( D  x.  B ) )  +  ( ( A  x.  D )  +  ( C  x.  B
) ) ) )
4422, 36, 433eqtrd 2319 . 2  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( C  e.  CC  /\  D  e.  CC ) )  -> 
( ( ( A  x.  C )  +  ( B  x.  C
) )  +  ( ( A  x.  D
)  +  ( B  x.  D ) ) )  =  ( ( ( A  x.  C
)  +  ( D  x.  B ) )  +  ( ( A  x.  D )  +  ( C  x.  B
) ) ) )
454, 11, 443eqtrd 2319 1  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( C  e.  CC  /\  D  e.  CC ) )  -> 
( ( A  +  B )  x.  ( C  +  D )
)  =  ( ( ( A  x.  C
)  +  ( D  x.  B ) )  +  ( ( A  x.  D )  +  ( C  x.  B
) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684  (class class class)co 5858   CCcc 8735    + caddc 8740    x. cmul 8742
This theorem is referenced by:  mulsub  9222  muladdi  9230  muladdd  9237  sqabsadd  11767  demoivreALT  12481
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-ltxr 8872
  Copyright terms: Public domain W3C validator