Theorem mulasssr 5199

Description: Multiplication of signed reals is associative.

Hypotheses

Ref	Expression
mulasssr.1	|- B e. V
mulasssr.2	|- C e. V

Assertion

Ref	Expression
mulasssr	|- ((A .R B) .R C) = (A .R (B .R C))

Proof of Theorem mulasssr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nr 5167	. . 3 |- R. = ((P. X. P.)/. ~R )
2		mulsrpr 5185	. . 3 |- (((x e. P. /\ y e. P.) /\ (z e. P. /\ w e. P.)) -> ([<.x, y>.] ~R .R [<.z, w>.] ~R ) = [<.((x .P. z) +P. (y .P. w)), ((x .P. w) +P. (y .P. z))>.] ~R )
3		mulsrpr 5185	. . 3 |- (((z e. P. /\ w e. P.) /\ (v e. P. /\ u e. P.)) -> ([<.z, w>.] ~R .R [<.v, u>.] ~R ) = [<.((z .P. v) +P. (w .P. u)), ((z .P. u) +P. (w .P. v))>.] ~R )
4		mulsrpr 5185	. . 3 |- (((((x .P. z) +P. (y .P. w)) e. P. /\ ((x .P. w) +P. (y .P. z)) e. P.) /\ (v e. P. /\ u e. P.)) -> ([<.((x .P. z) +P. (y .P. w)), ((x .P. w) +P. (y .P. z))>.] ~R .R [<.v, u>.] ~R ) = [<.((((x .P. z) +P. (y .P. w)) .P. v) +P. (((x .P. w) +P. (y .P. z)) .P. u)), ((((x .P. z) +P. (y .P. w)) .P. u) +P. (((x .P. w) +P. (y .P. z)) .P. v))>.] ~R )
5		mulsrpr 5185	. . 3 |- (((x e. P. /\ y e. P.) /\ (((z .P. v) +P. (w .P. u)) e. P. /\ ((z .P. u) +P. (w .P. v)) e. P.)) -> ([<.x, y>.] ~R .R [<.((z .P. v) +P. (w .P. u)), ((z .P. u) +P. (w .P. v))>.] ~R ) = [<.((x .P. ((z .P. v) +P. (w .P. u))) +P. (y .P. ((z .P. u) +P. (w .P. v)))), ((x .P. ((z .P. u) +P. (w .P. v))) +P. (y .P. ((z .P. v) +P. (w .P. u))))>.] ~R )
6		addclpr 5120	. . . . . 6 |- (((x .P. z) e. P. /\ (y .P. w) e. P.) -> ((x .P. z) +P. (y .P. w)) e. P.)
7		mulclpr 5122	. . . . . 6 |- ((x e. P. /\ z e. P.) -> (x .P. z) e. P.)
8		mulclpr 5122	. . . . . 6 |- ((y e. P. /\ w e. P.) -> (y .P. w) e. P.)
9	6, 7, 8	syl2an 454	. . . . 5 |- (((x e. P. /\ z e. P.) /\ (y e. P. /\ w e. P.)) -> ((x .P. z) +P. (y .P. w)) e. P.)
10	9	an4s 508	. . . 4 |- (((x e. P. /\ y e. P.) /\ (z e. P. /\ w e. P.)) -> ((x .P. z) +P. (y .P. w)) e. P.)
11		addclpr 5120	. . . . . 6 |- (((x .P. w) e. P. /\ (y .P. z) e. P.) -> ((x .P. w) +P. (y .P. z)) e. P.)
12		mulclpr 5122	. . . . . 6 |- ((x e. P. /\ w e. P.) -> (x .P. w) e. P.)
13		mulclpr 5122	. . . . . 6 |- ((y e. P. /\ z e. P.) -> (y .P. z) e. P.)
14	11, 12, 13	syl2an 454	. . . . 5 |- (((x e. P. /\ w e. P.) /\ (y e. P. /\ z e. P.)) -> ((x .P. w) +P. (y .P. z)) e. P.)
15	14	an42s 509	. . . 4 |- (((x e. P. /\ y e. P.) /\ (z e. P. /\ w e. P.)) -> ((x .P. w) +P. (y .P. z)) e. P.)
16	10, 15	jca 288	. . 3 |- (((x e. P. /\ y e. P.) /\ (z e. P. /\ w e. P.)) -> (((x .P. z) +P. (y .P. w)) e. P. /\ ((x .P. w) +P. (y .P. z)) e. P.))
17		addclpr 5120	. . . . . 6 |- (((z .P. v) e. P. /\ (w .P. u) e. P.) -> ((z .P. v) +P. (w .P. u)) e. P.)
18		mulclpr 5122	. . . . . 6 |- ((z e. P. /\ v e. P.) -> (z .P. v) e. P.)
19		mulclpr 5122	. . . . . 6 |- ((w e. P. /\ u e. P.) -> (w .P. u) e. P.)
20	17, 18, 19	syl2an 454	. . . . 5 |- (((z e. P. /\ v e. P.) /\ (w e. P. /\ u e. P.)) -> ((z .P. v) +P. (w .P. u)) e. P.)
21	20	an4s 508	. . . 4 |- (((z e. P. /\ w e. P.) /\ (v e. P. /\ u e. P.)) -> ((z .P. v) +P. (w .P. u)) e. P.)
22		addclpr 5120	. . . . . 6 |- (((z .P. u) e. P. /\ (w .P. v) e. P.) -> ((z .P. u) +P. (w .P. v)) e. P.)
23		mulclpr 5122	. . . . . 6 |- ((z e. P. /\ u e. P.) -> (z .P. u) e. P.)
24		mulclpr 5122	. . . . . 6 |- ((w e. P. /\ v e. P.) -> (w .P. v) e. P.)
25	22, 23, 24	syl2an 454	. . . . 5 |- (((z e. P. /\ u e. P.) /\ (w e. P. /\ v e. P.)) -> ((z .P. u) +P. (w .P. v)) e. P.)
26	25	an42s 509	. . . 4 |- (((z e. P. /\ w e. P.) /\ (v e. P. /\ u e. P.)) -> ((z .P. u) +P. (w .P. v)) e. P.)
27	21, 26	jca 288	. . 3 |- (((z e. P. /\ w e. P.) /\ (v e. P. /\ u e. P.)) -> (((z .P. v) +P. (w .P. u)) e. P. /\ ((z .P. u) +P. (w .P. v)) e. P.))
28		visset 1813	. . . 4 |- x e. V
29		visset 1813	. . . 4 |- y e. V
30		visset 1813	. . . 4 |- z e. V
31		visset 1813	. . . . 5 |- f e. V
32		visset 1813	. . . . 5 |- g e. V
33	31, 32	mulcompr 5125	. . . 4 |- (f .P. g) = (g .P. f)
34		visset 1813	. . . . 5 |- h e. V
35	32, 34	distrpr 5132	. . . 4 |- (f .P. (g +P. h)) = ((f .P. g) +P. (f .P. h))
36		visset 1813	. . . 4 |- w e. V
37		visset 1813	. . . 4 |- v e. V
38	32, 34	mulasspr 5126	. . . 4 |- ((f .P. g) .P. h) = (f .P. (g .P. h))
39		visset 1813	. . . 4 |- u e. V
40	31, 32	addcompr 5123	. . . 4 |- (f +P. g) = (g +P. f)
41	32, 34	addasspr 5124	. . . 4 |- ((f +P. g) +P. h) = (f +P. (g +P. h))
42	28, 29, 30, 33, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41	caoprlem2 4069	. . 3 |- ((((x .P. z) +P. (y .P. w)) .P. v) +P. (((x .P. w) +P. (y .P. z)) .P. u)) = ((x .P. ((z .P. v) +P. (w .P. u))) +P. (y .P. ((z .P. u) +P. (w .P. v))))
43	28, 29, 30, 33, 35, 36, 39, 38, 37, 40, 41	caoprlem2 4069	. . 3 |- ((((x .P. z) +P. (y .P. w)) .P. u) +P. (((x .P. w) +P. (y .P. z)) .P. v)) = ((x .P. ((z .P. u) +P. (w .P. v))) +P. (y .P. ((z .P. v) +P. (w .P. u))))
44	1, 2, 3, 4, 5, 16, 27, 42, 43	ecoprass 4320	. 2 |- ((A e. R. /\ B e. R. /\ C e. R.) -> ((A .R B) .R C) = (A .R (B .R C)))
45		mulasssr.1	. . 3 |- B e. V
46		dmmulsr 5195	. . 3 |- dom .R = (R. X. R.)
47		mulasssr.2	. . 3 |- C e. V
48		0nsr 5188	. . 3 |- -. (/) e. R.
49	45, 46, 47, 48	ndmoprass 4048	. 2 |- (-. (A e. R. /\ B e. R. /\ C e. R.) -> ((A .R B) .R C) = (A .R (B .R C)))
50	44, 49	pm2.61i 126	1 |- ((A .R B) .R C) = (A .R (B .R C))

Syntax hints:   /\ wa 223   /\ w3a 775   = wceq 956   e. wcel 958  Vcvv 1811  (class class class)co 3963  P.cnp 4985   +P. cpp 4987   .P. cmp 4988   ~R cer 4992  R.cnr 4993   .R cmr 4998

This theorem is referenced by:  sqgt0sr 5215  recexsr 5216  axmulass 5278

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-plp 5088  df-mp 5089  df-ltp 5090  df-mpr 5165  df-enr 5166  df-nr 5167  df-mr 5169

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