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Theorem mulc1cncf 18409
Description: Multiplication by a constant is continuous. (Contributed by Paul Chapman, 28-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
mulc1cncf.1  |-  F  =  ( x  e.  CC  |->  ( A  x.  x
) )
Assertion
Ref Expression
mulc1cncf  |-  ( A  e.  CC  ->  F  e.  ( CC -cn-> CC ) )
Distinct variable group:    x, A
Allowed substitution hint:    F( x)

Proof of Theorem mulc1cncf
Dummy variables  u  t  v  w  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mulcl 8821 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  x  e.  CC )  ->  ( A  x.  x
)  e.  CC )
2 mulc1cncf.1 . . 3  |-  F  =  ( x  e.  CC  |->  ( A  x.  x
) )
31, 2fmptd 5684 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  F : CC --> CC )
4 simprr 733 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( y  e.  CC  /\  z  e.  RR+ )
)  ->  z  e.  RR+ )
5 simpl 443 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( y  e.  CC  /\  z  e.  RR+ )
)  ->  A  e.  CC )
6 simprl 732 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( y  e.  CC  /\  z  e.  RR+ )
)  ->  y  e.  CC )
7 mulcn2 12069 . . . . 5  |-  ( ( z  e.  RR+  /\  A  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  E. t  e.  RR+  E. w  e.  RR+  A. v  e.  CC  A. u  e.  CC  (
( ( abs `  (
v  -  A ) )  <  t  /\  ( abs `  ( u  -  y ) )  <  w )  -> 
( abs `  (
( v  x.  u
)  -  ( A  x.  y ) ) )  <  z ) )
84, 5, 6, 7syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( y  e.  CC  /\  z  e.  RR+ )
)  ->  E. t  e.  RR+  E. w  e.  RR+  A. v  e.  CC  A. u  e.  CC  (
( ( abs `  (
v  -  A ) )  <  t  /\  ( abs `  ( u  -  y ) )  <  w )  -> 
( abs `  (
( v  x.  u
)  -  ( A  x.  y ) ) )  <  z ) )
9 oveq1 5865 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( v  =  A  ->  (
v  -  A )  =  ( A  -  A ) )
109fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( v  =  A  ->  ( abs `  ( v  -  A ) )  =  ( abs `  ( A  -  A )
) )
1110breq1d 4033 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( v  =  A  ->  (
( abs `  (
v  -  A ) )  <  t  <->  ( abs `  ( A  -  A
) )  <  t
) )
1211anbi1d 685 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( v  =  A  ->  (
( ( abs `  (
v  -  A ) )  <  t  /\  ( abs `  ( u  -  y ) )  <  w )  <->  ( ( abs `  ( A  -  A ) )  < 
t  /\  ( abs `  ( u  -  y
) )  <  w
) ) )
13 oveq1 5865 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( v  =  A  ->  (
v  x.  u )  =  ( A  x.  u ) )
1413oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( v  =  A  ->  (
( v  x.  u
)  -  ( A  x.  y ) )  =  ( ( A  x.  u )  -  ( A  x.  y
) ) )
1514fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( v  =  A  ->  ( abs `  ( ( v  x.  u )  -  ( A  x.  y
) ) )  =  ( abs `  (
( A  x.  u
)  -  ( A  x.  y ) ) ) )
1615breq1d 4033 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( v  =  A  ->  (
( abs `  (
( v  x.  u
)  -  ( A  x.  y ) ) )  <  z  <->  ( abs `  ( ( A  x.  u )  -  ( A  x.  y )
) )  <  z
) )
1712, 16imbi12d 311 . . . . . . . . . . 11  |-  ( v  =  A  ->  (
( ( ( abs `  ( v  -  A
) )  <  t  /\  ( abs `  (
u  -  y ) )  <  w )  ->  ( abs `  (
( v  x.  u
)  -  ( A  x.  y ) ) )  <  z )  <-> 
( ( ( abs `  ( A  -  A
) )  <  t  /\  ( abs `  (
u  -  y ) )  <  w )  ->  ( abs `  (
( A  x.  u
)  -  ( A  x.  y ) ) )  <  z ) ) )
1817ralbidv 2563 . . . . . . . . . 10  |-  ( v  =  A  ->  ( A. u  e.  CC  ( ( ( abs `  ( v  -  A
) )  <  t  /\  ( abs `  (
u  -  y ) )  <  w )  ->  ( abs `  (
( v  x.  u
)  -  ( A  x.  y ) ) )  <  z )  <->  A. u  e.  CC  ( ( ( abs `  ( A  -  A
) )  <  t  /\  ( abs `  (
u  -  y ) )  <  w )  ->  ( abs `  (
( A  x.  u
)  -  ( A  x.  y ) ) )  <  z ) ) )
1918rspcv 2880 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A. v  e.  CC  A. u  e.  CC  (
( ( abs `  (
v  -  A ) )  <  t  /\  ( abs `  ( u  -  y ) )  <  w )  -> 
( abs `  (
( v  x.  u
)  -  ( A  x.  y ) ) )  <  z )  ->  A. u  e.  CC  ( ( ( abs `  ( A  -  A
) )  <  t  /\  ( abs `  (
u  -  y ) )  <  w )  ->  ( abs `  (
( A  x.  u
)  -  ( A  x.  y ) ) )  <  z ) ) )
2019ad2antrr 706 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( y  e.  CC  /\  z  e.  RR+ )
)  /\  ( t  e.  RR+  /\  w  e.  RR+ ) )  ->  ( A. v  e.  CC  A. u  e.  CC  (
( ( abs `  (
v  -  A ) )  <  t  /\  ( abs `  ( u  -  y ) )  <  w )  -> 
( abs `  (
( v  x.  u
)  -  ( A  x.  y ) ) )  <  z )  ->  A. u  e.  CC  ( ( ( abs `  ( A  -  A
) )  <  t  /\  ( abs `  (
u  -  y ) )  <  w )  ->  ( abs `  (
( A  x.  u
)  -  ( A  x.  y ) ) )  <  z ) ) )
21 subid 9067 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  -  A )  =  0 )
2221ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( y  e.  CC  /\  z  e.  RR+ )
)  /\  ( (
t  e.  RR+  /\  w  e.  RR+ )  /\  u  e.  CC ) )  -> 
( A  -  A
)  =  0 )
2322fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( y  e.  CC  /\  z  e.  RR+ )
)  /\  ( (
t  e.  RR+  /\  w  e.  RR+ )  /\  u  e.  CC ) )  -> 
( abs `  ( A  -  A )
)  =  ( abs `  0 ) )
24 abs0 11770 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( abs `  0 )  =  0
2523, 24syl6eq 2331 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( y  e.  CC  /\  z  e.  RR+ )
)  /\  ( (
t  e.  RR+  /\  w  e.  RR+ )  /\  u  e.  CC ) )  -> 
( abs `  ( A  -  A )
)  =  0 )
26 simprll 738 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( y  e.  CC  /\  z  e.  RR+ )
)  /\  ( (
t  e.  RR+  /\  w  e.  RR+ )  /\  u  e.  CC ) )  -> 
t  e.  RR+ )
2726rpgt0d 10393 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( y  e.  CC  /\  z  e.  RR+ )
)  /\  ( (
t  e.  RR+  /\  w  e.  RR+ )  /\  u  e.  CC ) )  -> 
0  <  t )
2825, 27eqbrtrd 4043 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( y  e.  CC  /\  z  e.  RR+ )
)  /\  ( (
t  e.  RR+  /\  w  e.  RR+ )  /\  u  e.  CC ) )  -> 
( abs `  ( A  -  A )
)  <  t )
2928biantrurd 494 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( y  e.  CC  /\  z  e.  RR+ )
)  /\  ( (
t  e.  RR+  /\  w  e.  RR+ )  /\  u  e.  CC ) )  -> 
( ( abs `  (
u  -  y ) )  <  w  <->  ( ( abs `  ( A  -  A ) )  < 
t  /\  ( abs `  ( u  -  y
) )  <  w
) ) )
30 simprr 733 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( y  e.  CC  /\  z  e.  RR+ )
)  /\  ( (
t  e.  RR+  /\  w  e.  RR+ )  /\  u  e.  CC ) )  ->  u  e.  CC )
31 oveq2 5866 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  u  ->  ( A  x.  x )  =  ( A  x.  u ) )
32 ovex 5883 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  x.  u )  e. 
_V
3331, 2, 32fvmpt 5602 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( u  e.  CC  ->  ( F `  u )  =  ( A  x.  u ) )
3430, 33syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( y  e.  CC  /\  z  e.  RR+ )
)  /\  ( (
t  e.  RR+  /\  w  e.  RR+ )  /\  u  e.  CC ) )  -> 
( F `  u
)  =  ( A  x.  u ) )
35 simplrl 736 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( y  e.  CC  /\  z  e.  RR+ )
)  /\  ( (
t  e.  RR+  /\  w  e.  RR+ )  /\  u  e.  CC ) )  -> 
y  e.  CC )
36 oveq2 5866 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  y  ->  ( A  x.  x )  =  ( A  x.  y ) )
37 ovex 5883 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  x.  y )  e. 
_V
3836, 2, 37fvmpt 5602 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  CC  ->  ( F `  y )  =  ( A  x.  y ) )
3935, 38syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( y  e.  CC  /\  z  e.  RR+ )
)  /\  ( (
t  e.  RR+  /\  w  e.  RR+ )  /\  u  e.  CC ) )  -> 
( F `  y
)  =  ( A  x.  y ) )
4034, 39oveq12d 5876 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( y  e.  CC  /\  z  e.  RR+ )
)  /\  ( (
t  e.  RR+  /\  w  e.  RR+ )  /\  u  e.  CC ) )  -> 
( ( F `  u )  -  ( F `  y )
)  =  ( ( A  x.  u )  -  ( A  x.  y ) ) )
4140fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( y  e.  CC  /\  z  e.  RR+ )
)  /\  ( (
t  e.  RR+  /\  w  e.  RR+ )  /\  u  e.  CC ) )  -> 
( abs `  (
( F `  u
)  -  ( F `
 y ) ) )  =  ( abs `  ( ( A  x.  u )  -  ( A  x.  y )
) ) )
4241breq1d 4033 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( y  e.  CC  /\  z  e.  RR+ )
)  /\  ( (
t  e.  RR+  /\  w  e.  RR+ )  /\  u  e.  CC ) )  -> 
( ( abs `  (
( F `  u
)  -  ( F `
 y ) ) )  <  z  <->  ( abs `  ( ( A  x.  u )  -  ( A  x.  y )
) )  <  z
) )
4329, 42imbi12d 311 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( y  e.  CC  /\  z  e.  RR+ )
)  /\  ( (
t  e.  RR+  /\  w  e.  RR+ )  /\  u  e.  CC ) )  -> 
( ( ( abs `  ( u  -  y
) )  <  w  ->  ( abs `  (
( F `  u
)  -  ( F `
 y ) ) )  <  z )  <-> 
( ( ( abs `  ( A  -  A
) )  <  t  /\  ( abs `  (
u  -  y ) )  <  w )  ->  ( abs `  (
( A  x.  u
)  -  ( A  x.  y ) ) )  <  z ) ) )
4443anassrs 629 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( y  e.  CC  /\  z  e.  RR+ ) )  /\  ( t  e.  RR+  /\  w  e.  RR+ )
)  /\  u  e.  CC )  ->  ( ( ( abs `  (
u  -  y ) )  <  w  -> 
( abs `  (
( F `  u
)  -  ( F `
 y ) ) )  <  z )  <-> 
( ( ( abs `  ( A  -  A
) )  <  t  /\  ( abs `  (
u  -  y ) )  <  w )  ->  ( abs `  (
( A  x.  u
)  -  ( A  x.  y ) ) )  <  z ) ) )
4544ralbidva 2559 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( y  e.  CC  /\  z  e.  RR+ )
)  /\  ( t  e.  RR+  /\  w  e.  RR+ ) )  ->  ( A. u  e.  CC  ( ( abs `  (
u  -  y ) )  <  w  -> 
( abs `  (
( F `  u
)  -  ( F `
 y ) ) )  <  z )  <->  A. u  e.  CC  ( ( ( abs `  ( A  -  A
) )  <  t  /\  ( abs `  (
u  -  y ) )  <  w )  ->  ( abs `  (
( A  x.  u
)  -  ( A  x.  y ) ) )  <  z ) ) )
4620, 45sylibrd 225 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( y  e.  CC  /\  z  e.  RR+ )
)  /\  ( t  e.  RR+  /\  w  e.  RR+ ) )  ->  ( A. v  e.  CC  A. u  e.  CC  (
( ( abs `  (
v  -  A ) )  <  t  /\  ( abs `  ( u  -  y ) )  <  w )  -> 
( abs `  (
( v  x.  u
)  -  ( A  x.  y ) ) )  <  z )  ->  A. u  e.  CC  ( ( abs `  (
u  -  y ) )  <  w  -> 
( abs `  (
( F `  u
)  -  ( F `
 y ) ) )  <  z ) ) )
4746anassrs 629 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( y  e.  CC  /\  z  e.  RR+ ) )  /\  t  e.  RR+ )  /\  w  e.  RR+ )  -> 
( A. v  e.  CC  A. u  e.  CC  ( ( ( abs `  ( v  -  A ) )  <  t  /\  ( abs `  ( u  -  y ) )  < 
w )  ->  ( abs `  ( ( v  x.  u )  -  ( A  x.  y
) ) )  < 
z )  ->  A. u  e.  CC  ( ( abs `  ( u  -  y
) )  <  w  ->  ( abs `  (
( F `  u
)  -  ( F `
 y ) ) )  <  z ) ) )
4847reximdva 2655 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( y  e.  CC  /\  z  e.  RR+ )
)  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( E. w  e.  RR+  A. v  e.  CC  A. u  e.  CC  ( ( ( abs `  ( v  -  A ) )  <  t  /\  ( abs `  ( u  -  y ) )  < 
w )  ->  ( abs `  ( ( v  x.  u )  -  ( A  x.  y
) ) )  < 
z )  ->  E. w  e.  RR+  A. u  e.  CC  ( ( abs `  ( u  -  y
) )  <  w  ->  ( abs `  (
( F `  u
)  -  ( F `
 y ) ) )  <  z ) ) )
4948rexlimdva 2667 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( y  e.  CC  /\  z  e.  RR+ )
)  ->  ( E. t  e.  RR+  E. w  e.  RR+  A. v  e.  CC  A. u  e.  CC  ( ( ( abs `  ( v  -  A ) )  <  t  /\  ( abs `  ( u  -  y ) )  < 
w )  ->  ( abs `  ( ( v  x.  u )  -  ( A  x.  y
) ) )  < 
z )  ->  E. w  e.  RR+  A. u  e.  CC  ( ( abs `  ( u  -  y
) )  <  w  ->  ( abs `  (
( F `  u
)  -  ( F `
 y ) ) )  <  z ) ) )
508, 49mpd 14 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( y  e.  CC  /\  z  e.  RR+ )
)  ->  E. w  e.  RR+  A. u  e.  CC  ( ( abs `  ( u  -  y
) )  <  w  ->  ( abs `  (
( F `  u
)  -  ( F `
 y ) ) )  <  z ) )
5150ralrimivva 2635 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  A. y  e.  CC  A. z  e.  RR+  E. w  e.  RR+  A. u  e.  CC  (
( abs `  (
u  -  y ) )  <  w  -> 
( abs `  (
( F `  u
)  -  ( F `
 y ) ) )  <  z ) )
52 ssid 3197 . . 3  |-  CC  C_  CC
53 elcncf2 18394 . . 3  |-  ( ( CC  C_  CC  /\  CC  C_  CC )  ->  ( F  e.  ( CC -cn-> CC )  <->  ( F : CC
--> CC  /\  A. y  e.  CC  A. z  e.  RR+  E. w  e.  RR+  A. u  e.  CC  (
( abs `  (
u  -  y ) )  <  w  -> 
( abs `  (
( F `  u
)  -  ( F `
 y ) ) )  <  z ) ) ) )
5452, 52, 53mp2an 653 . 2  |-  ( F  e.  ( CC -cn-> CC )  <->  ( F : CC
--> CC  /\  A. y  e.  CC  A. z  e.  RR+  E. w  e.  RR+  A. u  e.  CC  (
( abs `  (
u  -  y ) )  <  w  -> 
( abs `  (
( F `  u
)  -  ( F `
 y ) ) )  <  z ) ) )
553, 51, 54sylanbrc 645 1  |-  ( A  e.  CC  ->  F  e.  ( CC -cn-> CC ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   E.wrex 2544    C_ wss 3152   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   CCcc 8735   0cc0 8737    x. cmul 8742    < clt 8867    - cmin 9037   RR+crp 10354   abscabs 11719   -cn->ccncf 18380
This theorem is referenced by:  divccncf  18410  sincn  19820  coscn  19821  logcn  19994  mulc1cncfg  27721
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
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