MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulcanenq Unicode version

Theorem mulcanenq 8600
Description: Lemma for distributive law: cancellation of common factor. (Contributed by NM, 2-Sep-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 8-May-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
mulcanenq  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N.  /\  C  e.  N. )  ->  <. ( A  .N  B ) ,  ( A  .N  C
) >.  ~Q  <. B ,  C >. )

Proof of Theorem mulcanenq
Dummy variables  b 
c are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 5882 . . . . . . 7  |-  ( b  =  B  ->  ( A  .N  b )  =  ( A  .N  B
) )
21opeq1d 3818 . . . . . 6  |-  ( b  =  B  ->  <. ( A  .N  b ) ,  ( A  .N  c
) >.  =  <. ( A  .N  B ) ,  ( A  .N  c
) >. )
3 opeq1 3812 . . . . . 6  |-  ( b  =  B  ->  <. b ,  c >.  =  <. B ,  c >. )
42, 3breq12d 4052 . . . . 5  |-  ( b  =  B  ->  ( <. ( A  .N  b
) ,  ( A  .N  c ) >.  ~Q  <. b ,  c
>. 
<-> 
<. ( A  .N  B
) ,  ( A  .N  c ) >.  ~Q  <. B ,  c
>. ) )
54imbi2d 307 . . . 4  |-  ( b  =  B  ->  (
( A  e.  N.  -> 
<. ( A  .N  b
) ,  ( A  .N  c ) >.  ~Q  <. b ,  c
>. )  <->  ( A  e. 
N.  ->  <. ( A  .N  B ) ,  ( A  .N  c )
>.  ~Q  <. B ,  c
>. ) ) )
6 oveq2 5882 . . . . . . 7  |-  ( c  =  C  ->  ( A  .N  c )  =  ( A  .N  C
) )
76opeq2d 3819 . . . . . 6  |-  ( c  =  C  ->  <. ( A  .N  B ) ,  ( A  .N  c
) >.  =  <. ( A  .N  B ) ,  ( A  .N  C
) >. )
8 opeq2 3813 . . . . . 6  |-  ( c  =  C  ->  <. B , 
c >.  =  <. B ,  C >. )
97, 8breq12d 4052 . . . . 5  |-  ( c  =  C  ->  ( <. ( A  .N  B
) ,  ( A  .N  c ) >.  ~Q  <. B ,  c
>. 
<-> 
<. ( A  .N  B
) ,  ( A  .N  C ) >.  ~Q  <. B ,  C >. ) )
109imbi2d 307 . . . 4  |-  ( c  =  C  ->  (
( A  e.  N.  -> 
<. ( A  .N  B
) ,  ( A  .N  c ) >.  ~Q  <. B ,  c
>. )  <->  ( A  e. 
N.  ->  <. ( A  .N  B ) ,  ( A  .N  C )
>.  ~Q  <. B ,  C >. ) ) )
11 mulcompi 8536 . . . . . . . . 9  |-  ( b  .N  c )  =  ( c  .N  b
)
1211oveq2i 5885 . . . . . . . 8  |-  ( A  .N  ( b  .N  c ) )  =  ( A  .N  (
c  .N  b ) )
13 mulasspi 8537 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  .N  b )  .N  c )  =  ( A  .N  (
b  .N  c ) )
14 mulasspi 8537 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  .N  c )  .N  b )  =  ( A  .N  (
c  .N  b ) )
1512, 13, 143eqtr4i 2326 . . . . . . 7  |-  ( ( A  .N  b )  .N  c )  =  ( ( A  .N  c )  .N  b
)
16 mulclpi 8533 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  N.  /\  b  e.  N. )  ->  ( A  .N  b
)  e.  N. )
17163adant3 975 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  N.  /\  b  e.  N.  /\  c  e.  N. )  ->  ( A  .N  b )  e. 
N. )
18 mulclpi 8533 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  N.  /\  c  e.  N. )  ->  ( A  .N  c
)  e.  N. )
19183adant2 974 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  N.  /\  b  e.  N.  /\  c  e.  N. )  ->  ( A  .N  c )  e. 
N. )
20 3simpc 954 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  N.  /\  b  e.  N.  /\  c  e.  N. )  ->  (
b  e.  N.  /\  c  e.  N. )
)
21 enqbreq 8559 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  .N  b )  e.  N.  /\  ( A  .N  c
)  e.  N. )  /\  ( b  e.  N.  /\  c  e.  N. )
)  ->  ( <. ( A  .N  b ) ,  ( A  .N  c ) >.  ~Q  <. b ,  c >.  <->  ( ( A  .N  b )  .N  c )  =  ( ( A  .N  c
)  .N  b ) ) )
2217, 19, 20, 21syl21anc 1181 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  N.  /\  b  e.  N.  /\  c  e.  N. )  ->  ( <. ( A  .N  b
) ,  ( A  .N  c ) >.  ~Q  <. b ,  c
>. 
<->  ( ( A  .N  b )  .N  c
)  =  ( ( A  .N  c )  .N  b ) ) )
2315, 22mpbiri 224 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  N.  /\  b  e.  N.  /\  c  e.  N. )  ->  <. ( A  .N  b ) ,  ( A  .N  c
) >.  ~Q  <. b ,  c >. )
24233expb 1152 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  N.  /\  ( b  e.  N.  /\  c  e.  N. )
)  ->  <. ( A  .N  b ) ,  ( A  .N  c
) >.  ~Q  <. b ,  c >. )
2524expcom 424 . . . 4  |-  ( ( b  e.  N.  /\  c  e.  N. )  ->  ( A  e.  N.  -> 
<. ( A  .N  b
) ,  ( A  .N  c ) >.  ~Q  <. b ,  c
>. ) )
265, 10, 25vtocl2ga 2864 . . 3  |-  ( ( B  e.  N.  /\  C  e.  N. )  ->  ( A  e.  N.  -> 
<. ( A  .N  B
) ,  ( A  .N  C ) >.  ~Q  <. B ,  C >. ) )
2726impcom 419 . 2  |-  ( ( A  e.  N.  /\  ( B  e.  N.  /\  C  e.  N. )
)  ->  <. ( A  .N  B ) ,  ( A  .N  C
) >.  ~Q  <. B ,  C >. )
28273impb 1147 1  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N.  /\  C  e.  N. )  ->  <. ( A  .N  B ) ,  ( A  .N  C
) >.  ~Q  <. B ,  C >. )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   <.cop 3656   class class class wbr 4039  (class class class)co 5874   N.cnpi 8482    .N cmi 8484    ~Q ceq 8489
This theorem is referenced by:  distrnq  8601  1nqenq  8602  ltexnq  8615
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-oadd 6499  df-omul 6500  df-ni 8512  df-mi 8514  df-enq 8551
  Copyright terms: Public domain W3C validator