Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulcanenq Structured version   Unicode version

Theorem mulcanenq 8838
 Description: Lemma for distributive law: cancellation of common factor. (Contributed by NM, 2-Sep-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 8-May-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
mulcanenq

Proof of Theorem mulcanenq
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6090 . . . . . . 7
21opeq1d 3991 . . . . . 6
3 opeq1 3985 . . . . . 6
42, 3breq12d 4226 . . . . 5
54imbi2d 309 . . . 4
6 oveq2 6090 . . . . . . 7
76opeq2d 3992 . . . . . 6
8 opeq2 3986 . . . . . 6
97, 8breq12d 4226 . . . . 5
109imbi2d 309 . . . 4
11 mulcompi 8774 . . . . . . . . 9
1211oveq2i 6093 . . . . . . . 8
13 mulasspi 8775 . . . . . . . 8
14 mulasspi 8775 . . . . . . . 8
1512, 13, 143eqtr4i 2467 . . . . . . 7
16 mulclpi 8771 . . . . . . . . 9
17163adant3 978 . . . . . . . 8
18 mulclpi 8771 . . . . . . . . 9
19183adant2 977 . . . . . . . 8
20 3simpc 957 . . . . . . . 8
21 enqbreq 8797 . . . . . . . 8
2217, 19, 20, 21syl21anc 1184 . . . . . . 7
2315, 22mpbiri 226 . . . . . 6
24233expb 1155 . . . . 5
2524expcom 426 . . . 4
265, 10, 25vtocl2ga 3020 . . 3
2726impcom 421 . 2
28273impb 1150 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 178   wa 360   w3a 937   wceq 1653   wcel 1726  cop 3818   class class class wbr 4213  (class class class)co 6082  cnpi 8720   cmi 8722   ceq 8727 This theorem is referenced by:  distrnq  8839  1nqenq  8840  ltexnq  8853 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418  ax-sep 4331  ax-nul 4339  ax-pow 4378  ax-pr 4404  ax-un 4702 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-ral 2711  df-rex 2712  df-reu 2713  df-rab 2715  df-v 2959  df-sbc 3163  df-csb 3253  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-pss 3337  df-nul 3630  df-if 3741  df-pw 3802  df-sn 3821  df-pr 3822  df-tp 3823  df-op 3824  df-uni 4017  df-iun 4096  df-br 4214  df-opab 4268  df-mpt 4269  df-tr 4304  df-eprel 4495  df-id 4499  df-po 4504  df-so 4505  df-fr 4542  df-we 4544  df-ord 4585  df-on 4586  df-lim 4587  df-suc 4588  df-om 4847  df-xp 4885  df-rel 4886  df-cnv 4887  df-co 4888  df-dm 4889  df-rn 4890  df-res 4891  df-ima 4892  df-iota 5419  df-fun 5457  df-fn 5458  df-f 5459  df-f1 5460  df-fo 5461  df-f1o 5462  df-fv 5463  df-ov 6085  df-oprab 6086  df-mpt2 6087  df-1st 6350  df-2nd 6351  df-recs 6634  df-rdg 6669  df-oadd 6729  df-omul 6730  df-ni 8750  df-mi 8752  df-enq 8789
 Copyright terms: Public domain W3C validator