MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulcanenq Unicode version

Theorem mulcanenq 8584
Description: Lemma for distributive law: cancellation of common factor. (Contributed by NM, 2-Sep-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 8-May-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
mulcanenq  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N.  /\  C  e.  N. )  ->  <. ( A  .N  B ) ,  ( A  .N  C
) >.  ~Q  <. B ,  C >. )

Proof of Theorem mulcanenq
Dummy variables  b 
c are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 5866 . . . . . . 7  |-  ( b  =  B  ->  ( A  .N  b )  =  ( A  .N  B
) )
21opeq1d 3802 . . . . . 6  |-  ( b  =  B  ->  <. ( A  .N  b ) ,  ( A  .N  c
) >.  =  <. ( A  .N  B ) ,  ( A  .N  c
) >. )
3 opeq1 3796 . . . . . 6  |-  ( b  =  B  ->  <. b ,  c >.  =  <. B ,  c >. )
42, 3breq12d 4036 . . . . 5  |-  ( b  =  B  ->  ( <. ( A  .N  b
) ,  ( A  .N  c ) >.  ~Q  <. b ,  c
>. 
<-> 
<. ( A  .N  B
) ,  ( A  .N  c ) >.  ~Q  <. B ,  c
>. ) )
54imbi2d 307 . . . 4  |-  ( b  =  B  ->  (
( A  e.  N.  -> 
<. ( A  .N  b
) ,  ( A  .N  c ) >.  ~Q  <. b ,  c
>. )  <->  ( A  e. 
N.  ->  <. ( A  .N  B ) ,  ( A  .N  c )
>.  ~Q  <. B ,  c
>. ) ) )
6 oveq2 5866 . . . . . . 7  |-  ( c  =  C  ->  ( A  .N  c )  =  ( A  .N  C
) )
76opeq2d 3803 . . . . . 6  |-  ( c  =  C  ->  <. ( A  .N  B ) ,  ( A  .N  c
) >.  =  <. ( A  .N  B ) ,  ( A  .N  C
) >. )
8 opeq2 3797 . . . . . 6  |-  ( c  =  C  ->  <. B , 
c >.  =  <. B ,  C >. )
97, 8breq12d 4036 . . . . 5  |-  ( c  =  C  ->  ( <. ( A  .N  B
) ,  ( A  .N  c ) >.  ~Q  <. B ,  c
>. 
<-> 
<. ( A  .N  B
) ,  ( A  .N  C ) >.  ~Q  <. B ,  C >. ) )
109imbi2d 307 . . . 4  |-  ( c  =  C  ->  (
( A  e.  N.  -> 
<. ( A  .N  B
) ,  ( A  .N  c ) >.  ~Q  <. B ,  c
>. )  <->  ( A  e. 
N.  ->  <. ( A  .N  B ) ,  ( A  .N  C )
>.  ~Q  <. B ,  C >. ) ) )
11 mulcompi 8520 . . . . . . . . 9  |-  ( b  .N  c )  =  ( c  .N  b
)
1211oveq2i 5869 . . . . . . . 8  |-  ( A  .N  ( b  .N  c ) )  =  ( A  .N  (
c  .N  b ) )
13 mulasspi 8521 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  .N  b )  .N  c )  =  ( A  .N  (
b  .N  c ) )
14 mulasspi 8521 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  .N  c )  .N  b )  =  ( A  .N  (
c  .N  b ) )
1512, 13, 143eqtr4i 2313 . . . . . . 7  |-  ( ( A  .N  b )  .N  c )  =  ( ( A  .N  c )  .N  b
)
16 mulclpi 8517 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  N.  /\  b  e.  N. )  ->  ( A  .N  b
)  e.  N. )
17163adant3 975 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  N.  /\  b  e.  N.  /\  c  e.  N. )  ->  ( A  .N  b )  e. 
N. )
18 mulclpi 8517 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  N.  /\  c  e.  N. )  ->  ( A  .N  c
)  e.  N. )
19183adant2 974 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  N.  /\  b  e.  N.  /\  c  e.  N. )  ->  ( A  .N  c )  e. 
N. )
20 3simpc 954 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  N.  /\  b  e.  N.  /\  c  e.  N. )  ->  (
b  e.  N.  /\  c  e.  N. )
)
21 enqbreq 8543 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  .N  b )  e.  N.  /\  ( A  .N  c
)  e.  N. )  /\  ( b  e.  N.  /\  c  e.  N. )
)  ->  ( <. ( A  .N  b ) ,  ( A  .N  c ) >.  ~Q  <. b ,  c >.  <->  ( ( A  .N  b )  .N  c )  =  ( ( A  .N  c
)  .N  b ) ) )
2217, 19, 20, 21syl21anc 1181 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  N.  /\  b  e.  N.  /\  c  e.  N. )  ->  ( <. ( A  .N  b
) ,  ( A  .N  c ) >.  ~Q  <. b ,  c
>. 
<->  ( ( A  .N  b )  .N  c
)  =  ( ( A  .N  c )  .N  b ) ) )
2315, 22mpbiri 224 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  N.  /\  b  e.  N.  /\  c  e.  N. )  ->  <. ( A  .N  b ) ,  ( A  .N  c
) >.  ~Q  <. b ,  c >. )
24233expb 1152 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  N.  /\  ( b  e.  N.  /\  c  e.  N. )
)  ->  <. ( A  .N  b ) ,  ( A  .N  c
) >.  ~Q  <. b ,  c >. )
2524expcom 424 . . . 4  |-  ( ( b  e.  N.  /\  c  e.  N. )  ->  ( A  e.  N.  -> 
<. ( A  .N  b
) ,  ( A  .N  c ) >.  ~Q  <. b ,  c
>. ) )
265, 10, 25vtocl2ga 2851 . . 3  |-  ( ( B  e.  N.  /\  C  e.  N. )  ->  ( A  e.  N.  -> 
<. ( A  .N  B
) ,  ( A  .N  C ) >.  ~Q  <. B ,  C >. ) )
2726impcom 419 . 2  |-  ( ( A  e.  N.  /\  ( B  e.  N.  /\  C  e.  N. )
)  ->  <. ( A  .N  B ) ,  ( A  .N  C
) >.  ~Q  <. B ,  C >. )
28273impb 1147 1  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N.  /\  C  e.  N. )  ->  <. ( A  .N  B ) ,  ( A  .N  C
) >.  ~Q  <. B ,  C >. )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   <.cop 3643   class class class wbr 4023  (class class class)co 5858   N.cnpi 8466    .N cmi 8468    ~Q ceq 8473
This theorem is referenced by:  distrnq  8585  1nqenq  8586  ltexnq  8599
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-oadd 6483  df-omul 6484  df-ni 8496  df-mi 8498  df-enq 8535
  Copyright terms: Public domain W3C validator