MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulcanenq Structured version   Unicode version

Theorem mulcanenq 8838
Description: Lemma for distributive law: cancellation of common factor. (Contributed by NM, 2-Sep-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 8-May-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
mulcanenq  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N.  /\  C  e.  N. )  ->  <. ( A  .N  B ) ,  ( A  .N  C
) >.  ~Q  <. B ,  C >. )

Proof of Theorem mulcanenq
Dummy variables  b 
c are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6090 . . . . . . 7  |-  ( b  =  B  ->  ( A  .N  b )  =  ( A  .N  B
) )
21opeq1d 3991 . . . . . 6  |-  ( b  =  B  ->  <. ( A  .N  b ) ,  ( A  .N  c
) >.  =  <. ( A  .N  B ) ,  ( A  .N  c
) >. )
3 opeq1 3985 . . . . . 6  |-  ( b  =  B  ->  <. b ,  c >.  =  <. B ,  c >. )
42, 3breq12d 4226 . . . . 5  |-  ( b  =  B  ->  ( <. ( A  .N  b
) ,  ( A  .N  c ) >.  ~Q  <. b ,  c
>. 
<-> 
<. ( A  .N  B
) ,  ( A  .N  c ) >.  ~Q  <. B ,  c
>. ) )
54imbi2d 309 . . . 4  |-  ( b  =  B  ->  (
( A  e.  N.  -> 
<. ( A  .N  b
) ,  ( A  .N  c ) >.  ~Q  <. b ,  c
>. )  <->  ( A  e. 
N.  ->  <. ( A  .N  B ) ,  ( A  .N  c )
>.  ~Q  <. B ,  c
>. ) ) )
6 oveq2 6090 . . . . . . 7  |-  ( c  =  C  ->  ( A  .N  c )  =  ( A  .N  C
) )
76opeq2d 3992 . . . . . 6  |-  ( c  =  C  ->  <. ( A  .N  B ) ,  ( A  .N  c
) >.  =  <. ( A  .N  B ) ,  ( A  .N  C
) >. )
8 opeq2 3986 . . . . . 6  |-  ( c  =  C  ->  <. B , 
c >.  =  <. B ,  C >. )
97, 8breq12d 4226 . . . . 5  |-  ( c  =  C  ->  ( <. ( A  .N  B
) ,  ( A  .N  c ) >.  ~Q  <. B ,  c
>. 
<-> 
<. ( A  .N  B
) ,  ( A  .N  C ) >.  ~Q  <. B ,  C >. ) )
109imbi2d 309 . . . 4  |-  ( c  =  C  ->  (
( A  e.  N.  -> 
<. ( A  .N  B
) ,  ( A  .N  c ) >.  ~Q  <. B ,  c
>. )  <->  ( A  e. 
N.  ->  <. ( A  .N  B ) ,  ( A  .N  C )
>.  ~Q  <. B ,  C >. ) ) )
11 mulcompi 8774 . . . . . . . . 9  |-  ( b  .N  c )  =  ( c  .N  b
)
1211oveq2i 6093 . . . . . . . 8  |-  ( A  .N  ( b  .N  c ) )  =  ( A  .N  (
c  .N  b ) )
13 mulasspi 8775 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  .N  b )  .N  c )  =  ( A  .N  (
b  .N  c ) )
14 mulasspi 8775 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  .N  c )  .N  b )  =  ( A  .N  (
c  .N  b ) )
1512, 13, 143eqtr4i 2467 . . . . . . 7  |-  ( ( A  .N  b )  .N  c )  =  ( ( A  .N  c )  .N  b
)
16 mulclpi 8771 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  N.  /\  b  e.  N. )  ->  ( A  .N  b
)  e.  N. )
17163adant3 978 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  N.  /\  b  e.  N.  /\  c  e.  N. )  ->  ( A  .N  b )  e. 
N. )
18 mulclpi 8771 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  N.  /\  c  e.  N. )  ->  ( A  .N  c
)  e.  N. )
19183adant2 977 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  N.  /\  b  e.  N.  /\  c  e.  N. )  ->  ( A  .N  c )  e. 
N. )
20 3simpc 957 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  N.  /\  b  e.  N.  /\  c  e.  N. )  ->  (
b  e.  N.  /\  c  e.  N. )
)
21 enqbreq 8797 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  .N  b )  e.  N.  /\  ( A  .N  c
)  e.  N. )  /\  ( b  e.  N.  /\  c  e.  N. )
)  ->  ( <. ( A  .N  b ) ,  ( A  .N  c ) >.  ~Q  <. b ,  c >.  <->  ( ( A  .N  b )  .N  c )  =  ( ( A  .N  c
)  .N  b ) ) )
2217, 19, 20, 21syl21anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  N.  /\  b  e.  N.  /\  c  e.  N. )  ->  ( <. ( A  .N  b
) ,  ( A  .N  c ) >.  ~Q  <. b ,  c
>. 
<->  ( ( A  .N  b )  .N  c
)  =  ( ( A  .N  c )  .N  b ) ) )
2315, 22mpbiri 226 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  N.  /\  b  e.  N.  /\  c  e.  N. )  ->  <. ( A  .N  b ) ,  ( A  .N  c
) >.  ~Q  <. b ,  c >. )
24233expb 1155 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  N.  /\  ( b  e.  N.  /\  c  e.  N. )
)  ->  <. ( A  .N  b ) ,  ( A  .N  c
) >.  ~Q  <. b ,  c >. )
2524expcom 426 . . . 4  |-  ( ( b  e.  N.  /\  c  e.  N. )  ->  ( A  e.  N.  -> 
<. ( A  .N  b
) ,  ( A  .N  c ) >.  ~Q  <. b ,  c
>. ) )
265, 10, 25vtocl2ga 3020 . . 3  |-  ( ( B  e.  N.  /\  C  e.  N. )  ->  ( A  e.  N.  -> 
<. ( A  .N  B
) ,  ( A  .N  C ) >.  ~Q  <. B ,  C >. ) )
2726impcom 421 . 2  |-  ( ( A  e.  N.  /\  ( B  e.  N.  /\  C  e.  N. )
)  ->  <. ( A  .N  B ) ,  ( A  .N  C
) >.  ~Q  <. B ,  C >. )
28273impb 1150 1  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N.  /\  C  e.  N. )  ->  <. ( A  .N  B ) ,  ( A  .N  C
) >.  ~Q  <. B ,  C >. )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726   <.cop 3818   class class class wbr 4213  (class class class)co 6082   N.cnpi 8720    .N cmi 8722    ~Q ceq 8727
This theorem is referenced by:  distrnq  8839  1nqenq  8840  ltexnq  8853
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418  ax-sep 4331  ax-nul 4339  ax-pow 4378  ax-pr 4404  ax-un 4702
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-ral 2711  df-rex 2712  df-reu 2713  df-rab 2715  df-v 2959  df-sbc 3163  df-csb 3253  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-pss 3337  df-nul 3630  df-if 3741  df-pw 3802  df-sn 3821  df-pr 3822  df-tp 3823  df-op 3824  df-uni 4017  df-iun 4096  df-br 4214  df-opab 4268  df-mpt 4269  df-tr 4304  df-eprel 4495  df-id 4499  df-po 4504  df-so 4505  df-fr 4542  df-we 4544  df-ord 4585  df-on 4586  df-lim 4587  df-suc 4588  df-om 4847  df-xp 4885  df-rel 4886  df-cnv 4887  df-co 4888  df-dm 4889  df-rn 4890  df-res 4891  df-ima 4892  df-iota 5419  df-fun 5457  df-fn 5458  df-f 5459  df-f1 5460  df-fo 5461  df-f1o 5462  df-fv 5463  df-ov 6085  df-oprab 6086  df-mpt2 6087  df-1st 6350  df-2nd 6351  df-recs 6634  df-rdg 6669  df-oadd 6729  df-omul 6730  df-ni 8750  df-mi 8752  df-enq 8789
  Copyright terms: Public domain W3C validator