Theorem mulcl 5321

Description: Closure law for multiplication.

Hypotheses

Ref	Expression
axi.1	|- A e. CC
axi.2	|- B e. CC

Assertion

Ref	Expression
mulcl	|- (A x. B) e. CC

Proof of Theorem mulcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axi.1	. 2 |- A e. CC
2		axi.2	. 2 |- B e. CC
3		axmulcl 5273	. 2 |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> (A x. B) e. CC)
4	1, 2, 3	mp2an 697	1 |- (A x. B) e. CC

Syntax hints:   e. wcel 958  (class class class)co 3963  CCcc 5232   x. cmul 5239

This theorem is referenced by:  0cn 5328  mul01 5431  mul2neg 5447  ixi 5681  divrec 5737  binom2 6644  binom2aOLD 6645  discrlem1 6656  nnesq 6662  nn0opth 6666  sqrlem11 6683  sqr2irrlem1 6724  irec 6731  crulem 6736  cru 6737  crne0 6739  crmul 6740  crrecz 6741  rimul 6744  cjcj 6778  cjreb 6781  recj 6782  imcj 6783  readd 6784  imadd 6785  cjadd 6788  cjmul 6789  cjmulrcl 6791  reneg 6794  imneg 6796  cjneg 6797  addcj 6798  imcjt 6819  rei 6824  imi 6825  abs00 6842  absmul 6847  absi 6878  abstri 6891  abs1m 6904  faclbnd4lem1 6948  bcpasc2 6967  fnsmnt 7226  geolimilem 7235  eirrlem2 7390  eirrlem3 7391  sinclt 7431  sinnegt 7442  efivalt 7447  sinadd 7451  cosadd 7452  ip0i 8484  ip1ilem 8485  ipasslem10 8499  siilem1 8511  minveclem36 8580  sinco 8667  sincn 8669  sinhalfpilem 8679  sinperlem2 8687  sinper 8690  cosper 8691  sin2pim 8692  cos2pim 8693  sincos4thpi 8710  sincos6thpi 8711  abssinper 8712  cosh111lem1 8714  efper 8747  eff1o 8748  pilog 8768  normlem0 8975  normlem1 8976  normlem2 8977  normlem3 8978  normlem5 8980  normlem7 8982  bcseq 8986  norm-ii 9004  normpar2 9023  polid2 9024  projlem3 9188  projlem4 9189  pjthlem5 9223  pjthlem7 9225  h1de2 9476  lnopunilem1 9935  lnophmlem2 9942

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-1p 5087  df-plp 5088  df-mp 5089  df-ltp 5090  df-plpr 5164  df-mpr 5165  df-enr 5166  df-nr 5167  df-plr 5168  df-mr 5169  df-m1r 5173  df-c 5240  df-mul 5246

Copyright terms: Public domain