MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulclnq Structured version   Unicode version

Theorem mulclnq 8824
Description: Closure of multiplication on positive fractions. (Contributed by NM, 29-Aug-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 8-May-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
mulclnq  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q. )  ->  ( A  .Q  B
)  e.  Q. )

Proof of Theorem mulclnq
StepHypRef Expression
1 mulpqnq 8818 . 2  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q. )  ->  ( A  .Q  B
)  =  ( /Q
`  ( A  .pQ  B ) ) )
2 elpqn 8802 . . . 4  |-  ( A  e.  Q.  ->  A  e.  ( N.  X.  N. ) )
3 elpqn 8802 . . . 4  |-  ( B  e.  Q.  ->  B  e.  ( N.  X.  N. ) )
4 mulpqf 8823 . . . . 5  |-  .pQ  :
( ( N.  X.  N. )  X.  ( N.  X.  N. ) ) --> ( N.  X.  N. )
54fovcl 6175 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  B  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  ( A  .pQ  B )  e.  ( N.  X.  N. ) )
62, 3, 5syl2an 464 . . 3  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q. )  ->  ( A  .pQ  B
)  e.  ( N. 
X.  N. ) )
7 nqercl 8808 . . 3  |-  ( ( A  .pQ  B )  e.  ( N.  X.  N. )  ->  ( /Q
`  ( A  .pQ  B ) )  e.  Q. )
86, 7syl 16 . 2  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q. )  ->  ( /Q `  ( A  .pQ  B ) )  e.  Q. )
91, 8eqeltrd 2510 1  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q. )  ->  ( A  .Q  B
)  e.  Q. )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    e. wcel 1725    X. cxp 4876   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   N.cnpi 8719    .pQ cmpq 8724   Q.cnq 8727   /Qcerq 8729    .Q cmq 8731
This theorem is referenced by:  ltrnq  8856  mpv  8888  dmmp  8890  mulclprlem  8896  mulclpr  8897  mulasspr  8901  distrlem1pr  8902  distrlem4pr  8903  distrlem5pr  8904  1idpr  8906  prlem934  8910  prlem936  8924  reclem3pr  8926  reclem4pr  8927
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-oadd 6728  df-omul 6729  df-er 6905  df-ni 8749  df-mi 8751  df-lti 8752  df-mpq 8786  df-enq 8788  df-nq 8789  df-erq 8790  df-mq 8792  df-1nq 8793
  Copyright terms: Public domain W3C validator