MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulclpi Unicode version

Theorem mulclpi 8533
Description: Closure of multiplication of positive integers. (Contributed by NM, 18-Oct-1995.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
mulclpi  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  ( A  .N  B
)  e.  N. )

Proof of Theorem mulclpi
StepHypRef Expression
1 mulpiord 8525 . 2  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  ( A  .N  B
)  =  ( A  .o  B ) )
2 pinn 8518 . . . 4  |-  ( A  e.  N.  ->  A  e.  om )
3 pinn 8518 . . . 4  |-  ( B  e.  N.  ->  B  e.  om )
4 nnmcl 6626 . . . 4  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  .o  B
)  e.  om )
52, 3, 4syl2an 463 . . 3  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  ( A  .o  B
)  e.  om )
6 elni2 8517 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  N.  <->  ( B  e.  om  /\  (/)  e.  B
) )
76simprbi 450 . . . . . 6  |-  ( B  e.  N.  ->  (/)  e.  B
)
87adantl 452 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  -> 
(/)  e.  B )
93adantl 452 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  B  e.  om )
102adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  A  e.  om )
11 elni2 8517 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  N.  <->  ( A  e.  om  /\  (/)  e.  A
) )
1211simprbi 450 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  N.  ->  (/)  e.  A
)
1312adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  -> 
(/)  e.  A )
14 nnmordi 6645 . . . . . 6  |-  ( ( ( B  e.  om  /\  A  e.  om )  /\  (/)  e.  A )  ->  ( (/)  e.  B  ->  ( A  .o  (/) )  e.  ( A  .o  B
) ) )
159, 10, 13, 14syl21anc 1181 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  ( (/)  e.  B  ->  ( A  .o  (/) )  e.  ( A  .o  B
) ) )
168, 15mpd 14 . . . 4  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  ( A  .o  (/) )  e.  ( A  .o  B
) )
17 ne0i 3474 . . . 4  |-  ( ( A  .o  (/) )  e.  ( A  .o  B
)  ->  ( A  .o  B )  =/=  (/) )
1816, 17syl 15 . . 3  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  ( A  .o  B
)  =/=  (/) )
19 elni 8516 . . 3  |-  ( ( A  .o  B )  e.  N.  <->  ( ( A  .o  B )  e. 
om  /\  ( A  .o  B )  =/=  (/) ) )
205, 18, 19sylanbrc 645 . 2  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  ( A  .o  B
)  e.  N. )
211, 20eqeltrd 2370 1  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  ( A  .N  B
)  e.  N. )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    e. wcel 1696    =/= wne 2459   (/)c0 3468   omcom 4672  (class class class)co 5874    .o comu 6493   N.cnpi 8482    .N cmi 8484
This theorem is referenced by:  mulasspi  8537  distrpi  8538  mulcanpi  8540  ltmpi  8544  enqer  8561  addpqf  8584  mulpqf  8586  adderpqlem  8594  mulerpqlem  8595  addassnq  8598  mulassnq  8599  mulcanenq  8600  distrnq  8601  recmulnq  8604  ltsonq  8609  lterpq  8610  ltanq  8611  ltmnq  8612  ltexnq  8615  archnq  8620
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-oadd 6499  df-omul 6500  df-ni 8512  df-mi 8514
  Copyright terms: Public domain W3C validator