Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulclprlem Unicode version

Theorem mulclprlem 8643
 Description: Lemma to prove downward closure in positive real multiplication. Part of proof of Proposition 9-3.7 of [Gleason] p. 124. (Contributed by NM, 14-Mar-1996.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
mulclprlem
Distinct variable groups:   ,,   ,   ,
Allowed substitution hints:   (,)   (,)

Proof of Theorem mulclprlem
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elprnq 8615 . . . . . 6
2 elprnq 8615 . . . . . 6
3 recclnq 8590 . . . . . . . . 9
43adantl 452 . . . . . . . 8
5 vex 2791 . . . . . . . . 9
6 ovex 5883 . . . . . . . . 9
7 ltmnq 8596 . . . . . . . . 9
8 fvex 5539 . . . . . . . . 9
9 mulcomnq 8577 . . . . . . . . 9
105, 6, 7, 8, 9caovord2 6032 . . . . . . . 8
114, 10syl 15 . . . . . . 7
12 mulassnq 8583 . . . . . . . . . 10
13 recidnq 8589 . . . . . . . . . . 11
1413oveq2d 5874 . . . . . . . . . 10
1512, 14syl5eq 2327 . . . . . . . . 9
16 mulidnq 8587 . . . . . . . . 9
1715, 16sylan9eqr 2337 . . . . . . . 8
1817breq2d 4035 . . . . . . 7
1911, 18bitrd 244 . . . . . 6
201, 2, 19syl2an 463 . . . . 5
21 prcdnq 8617 . . . . . 6
2221adantr 451 . . . . 5
2320, 22sylbid 206 . . . 4
24 df-mp 8608 . . . . . . . . 9
25 mulclnq 8571 . . . . . . . . 9
2624, 25genpprecl 8625 . . . . . . . 8
2726exp4b 590 . . . . . . 7
2827com34 77 . . . . . 6
2928imp32 422 . . . . 5
3029adantlr 695 . . . 4
3123, 30syld 40 . . 3
3231adantr 451 . 2
332adantl 452 . . 3
34 mulassnq 8583 . . . . . 6
35 mulcomnq 8577 . . . . . . . 8
3635, 13syl5eq 2327 . . . . . . 7
3736oveq2d 5874 . . . . . 6
3834, 37syl5eq 2327 . . . . 5
39 mulidnq 8587 . . . . 5
4038, 39sylan9eq 2335 . . . 4
4140eleq1d 2349 . . 3
4233, 41sylan 457 . 2
4332, 42sylibd 205 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 176   wa 358   wcel 1684   class class class wbr 4023  cfv 5255  (class class class)co 5858  cnq 8474  c1q 8475   cmq 8478  crq 8479   cltq 8480  cnp 8481   cmp 8484 This theorem is referenced by:  mulclpr  8644 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-omul 6484  df-er 6660  df-ni 8496  df-mi 8498  df-lti 8499  df-mpq 8533  df-ltpq 8534  df-enq 8535  df-nq 8536  df-erq 8537  df-mq 8539  df-1nq 8540  df-rq 8541  df-ltnq 8542  df-np 8605  df-mp 8608
 Copyright terms: Public domain W3C validator