Theorem mulclsr 5193

Description: Closure of multiplication on signed reals.

Assertion

Ref	Expression
mulclsr	|- ((A e. R. /\ B e. R.) -> (A .R B) e. R.)

Proof of Theorem mulclsr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nr 5167	. . 3 |- R. = ((P. X. P.)/. ~R )
2		opreq1 3968	. . . 4 |- ([<.x, y>.] ~R = A -> ([<.x, y>.] ~R .R [<.z, w>.] ~R ) = (A .R [<.z, w>.] ~R ))
3	2	eleq1d 1540	. . 3 |- ([<.x, y>.] ~R = A -> (([<.x, y>.] ~R .R [<.z, w>.] ~R ) e. ((P. X. P.)/. ~R ) <-> (A .R [<.z, w>.] ~R ) e. ((P. X. P.)/. ~R )))
4		opreq2 3969	. . . 4 |- ([<.z, w>.] ~R = B -> (A .R [<.z, w>.] ~R ) = (A .R B))
5	4	eleq1d 1540	. . 3 |- ([<.z, w>.] ~R = B -> ((A .R [<.z, w>.] ~R ) e. ((P. X. P.)/. ~R ) <-> (A .R B) e. ((P. X. P.)/. ~R )))
6		mulsrpr 5185	. . . 4 |- (((x e. P. /\ y e. P.) /\ (z e. P. /\ w e. P.)) -> ([<.x, y>.] ~R .R [<.z, w>.] ~R ) = [<.((x .P. z) +P. (y .P. w)), ((x .P. w) +P. (y .P. z))>.] ~R )
7		addclpr 5120	. . . . . . . 8 |- (((x .P. z) e. P. /\ (y .P. w) e. P.) -> ((x .P. z) +P. (y .P. w)) e. P.)
8		mulclpr 5122	. . . . . . . 8 |- ((x e. P. /\ z e. P.) -> (x .P. z) e. P.)
9		mulclpr 5122	. . . . . . . 8 |- ((y e. P. /\ w e. P.) -> (y .P. w) e. P.)
10	7, 8, 9	syl2an 454	. . . . . . 7 |- (((x e. P. /\ z e. P.) /\ (y e. P. /\ w e. P.)) -> ((x .P. z) +P. (y .P. w)) e. P.)
11	10	an4s 508	. . . . . 6 |- (((x e. P. /\ y e. P.) /\ (z e. P. /\ w e. P.)) -> ((x .P. z) +P. (y .P. w)) e. P.)
12		addclpr 5120	. . . . . . . 8 |- (((x .P. w) e. P. /\ (y .P. z) e. P.) -> ((x .P. w) +P. (y .P. z)) e. P.)
13		mulclpr 5122	. . . . . . . 8 |- ((x e. P. /\ w e. P.) -> (x .P. w) e. P.)
14		mulclpr 5122	. . . . . . . 8 |- ((y e. P. /\ z e. P.) -> (y .P. z) e. P.)
15	12, 13, 14	syl2an 454	. . . . . . 7 |- (((x e. P. /\ w e. P.) /\ (y e. P. /\ z e. P.)) -> ((x .P. w) +P. (y .P. z)) e. P.)
16	15	an42s 509	. . . . . 6 |- (((x e. P. /\ y e. P.) /\ (z e. P. /\ w e. P.)) -> ((x .P. w) +P. (y .P. z)) e. P.)
17	11, 16	jca 288	. . . . 5 |- (((x e. P. /\ y e. P.) /\ (z e. P. /\ w e. P.)) -> (((x .P. z) +P. (y .P. w)) e. P. /\ ((x .P. w) +P. (y .P. z)) e. P.))
18		opelxpi 3217	. . . . 5 |- ((((x .P. z) +P. (y .P. w)) e. P. /\ ((x .P. w) +P. (y .P. z)) e. P.) -> <.((x .P. z) +P. (y .P. w)), ((x .P. w) +P. (y .P. z))>. e. (P. X. P.))
19		enrex 5178	. . . . . 6 |- ~R e. V
20	19	ecelqsi 4292	. . . . 5 |- (<.((x .P. z) +P. (y .P. w)), ((x .P. w) +P. (y .P. z))>. e. (P. X. P.) -> [<.((x .P. z) +P. (y .P. w)), ((x .P. w) +P. (y .P. z))>.] ~R e. ((P. X. P.)/. ~R ))
21	17, 18, 20	3syl 20	. . . 4 |- (((x e. P. /\ y e. P.) /\ (z e. P. /\ w e. P.)) -> [<.((x .P. z) +P. (y .P. w)), ((x .P. w) +P. (y .P. z))>.] ~R e. ((P. X. P.)/. ~R ))
22	6, 21	eqeltrd 1548	. . 3 |- (((x e. P. /\ y e. P.) /\ (z e. P. /\ w e. P.)) -> ([<.x, y>.] ~R .R [<.z, w>.] ~R ) e. ((P. X. P.)/. ~R ))
23	1, 3, 5, 22	2ecoptocl 4304	. 2 |- ((A e. R. /\ B e. R.) -> (A .R B) e. ((P. X. P.)/. ~R ))
24	23, 1	syl6eleqr 1559	1 |- ((A e. R. /\ B e. R.) -> (A .R B) e. R.)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958  <.cop 2411   X. cxp 3168  (class class class)co 3963  [cec 4259  /.cqs 4260  P.cnp 4985   +P. cpp 4987   .P. cmp 4988   ~R cer 4992  R.cnr 4993   .R cmr 4998

This theorem is referenced by:  dmmulsr 5195  negexsr 5211  sqgt0sr 5215  recexsr 5216  ssgt0sr 5217  supsrlem2 5226  mulresr 5257  axmulopr 5266  axmulrcl 5274  axmulass 5278  axdistr 5279

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-plp 5088  df-mp 5089  df-ltp 5090  df-mpr 5165  df-enr 5166  df-nr 5167  df-mr 5169

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