MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulcompi Unicode version

Theorem mulcompi 8706
Description: Multiplication of positive integers is commutative. (Contributed by NM, 21-Sep-1995.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
mulcompi  |-  ( A  .N  B )  =  ( B  .N  A
)

Proof of Theorem mulcompi
StepHypRef Expression
1 pinn 8688 . . . 4  |-  ( A  e.  N.  ->  A  e.  om )
2 pinn 8688 . . . 4  |-  ( B  e.  N.  ->  B  e.  om )
3 nnmcom 6805 . . . 4  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  .o  B
)  =  ( B  .o  A ) )
41, 2, 3syl2an 464 . . 3  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  ( A  .o  B
)  =  ( B  .o  A ) )
5 mulpiord 8695 . . 3  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  ( A  .N  B
)  =  ( A  .o  B ) )
6 mulpiord 8695 . . . 4  |-  ( ( B  e.  N.  /\  A  e.  N. )  ->  ( B  .N  A
)  =  ( B  .o  A ) )
76ancoms 440 . . 3  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  ( B  .N  A
)  =  ( B  .o  A ) )
84, 5, 73eqtr4d 2429 . 2  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  ( A  .N  B
)  =  ( B  .N  A ) )
9 dmmulpi 8701 . . 3  |-  dom  .N  =  ( N.  X.  N. )
109ndmovcom 6173 . 2  |-  ( -.  ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  ( A  .N  B
)  =  ( B  .N  A ) )
118, 10pm2.61i 158 1  |-  ( A  .N  B )  =  ( B  .N  A
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   omcom 4785  (class class class)co 6020    .o comu 6658   N.cnpi 8652    .N cmi 8654
This theorem is referenced by:  enqbreq2  8730  enqer  8731  nqereu  8739  addcompq  8760  mulcompq  8762  adderpqlem  8764  mulerpqlem  8765  addassnq  8768  mulcanenq  8770  distrnq  8771  recmulnq  8774  ltsonq  8779  lterpq  8780  ltanq  8781  ltmnq  8782  ltexnq  8785
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-pss 3279  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-tp 3765  df-op 3766  df-uni 3958  df-iun 4037  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-tr 4244  df-eprel 4435  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-fr 4482  df-we 4484  df-ord 4525  df-on 4526  df-lim 4527  df-suc 4528  df-om 4786  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-1st 6288  df-2nd 6289  df-recs 6569  df-rdg 6604  df-oadd 6664  df-omul 6665  df-ni 8682  df-mi 8684
  Copyright terms: Public domain W3C validator