MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulcompi Structured version   Unicode version

Theorem mulcompi 8765
Description: Multiplication of positive integers is commutative. (Contributed by NM, 21-Sep-1995.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
mulcompi  |-  ( A  .N  B )  =  ( B  .N  A
)

Proof of Theorem mulcompi
StepHypRef Expression
1 pinn 8747 . . . 4  |-  ( A  e.  N.  ->  A  e.  om )
2 pinn 8747 . . . 4  |-  ( B  e.  N.  ->  B  e.  om )
3 nnmcom 6861 . . . 4  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  .o  B
)  =  ( B  .o  A ) )
41, 2, 3syl2an 464 . . 3  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  ( A  .o  B
)  =  ( B  .o  A ) )
5 mulpiord 8754 . . 3  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  ( A  .N  B
)  =  ( A  .o  B ) )
6 mulpiord 8754 . . . 4  |-  ( ( B  e.  N.  /\  A  e.  N. )  ->  ( B  .N  A
)  =  ( B  .o  A ) )
76ancoms 440 . . 3  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  ( B  .N  A
)  =  ( B  .o  A ) )
84, 5, 73eqtr4d 2477 . 2  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  ( A  .N  B
)  =  ( B  .N  A ) )
9 dmmulpi 8760 . . 3  |-  dom  .N  =  ( N.  X.  N. )
109ndmovcom 6226 . 2  |-  ( -.  ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  ( A  .N  B
)  =  ( B  .N  A ) )
118, 10pm2.61i 158 1  |-  ( A  .N  B )  =  ( B  .N  A
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   omcom 4837  (class class class)co 6073    .o comu 6714   N.cnpi 8711    .N cmi 8713
This theorem is referenced by:  enqbreq2  8789  enqer  8790  nqereu  8798  addcompq  8819  mulcompq  8821  adderpqlem  8823  mulerpqlem  8824  addassnq  8827  mulcanenq  8829  distrnq  8830  recmulnq  8833  ltsonq  8838  lterpq  8839  ltanq  8840  ltmnq  8841  ltexnq  8844
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-oadd 6720  df-omul 6721  df-ni 8741  df-mi 8743
  Copyright terms: Public domain W3C validator