Theorem mulcompr 5125

Description: Multiplication of positive reals is commutative. Proposition 9-3.7(ii) of [Gleason] p. 124.

Hypotheses

Ref	Expression
mulcompr.1	|- A e. V
mulcompr.2	|- B e. V

Assertion

Ref	Expression
mulcompr	|- (A .P. B) = (B .P. A)

Proof of Theorem mulcompr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mpv 5114	. . 3 |- ((A e. P. /\ B e. P.) -> (A .P. B) = {x | E.yE.z((y e. A /\ z e. B) /\ x = (y .Q z))})
2		mpv 5114	. . . . 5 |- ((B e. P. /\ A e. P.) -> (B .P. A) = {x | E.zE.y((z e. B /\ y e. A) /\ x = (z .Q y))})
3		ancom 435	. . . . . . . . 9 |- ((z e. B /\ y e. A) <-> (y e. A /\ z e. B))
4		visset 1813	. . . . . . . . . . 11 |- z e. V
5		visset 1813	. . . . . . . . . . 11 |- y e. V
6	4, 5	mulcompq 5064	. . . . . . . . . 10 |- (z .Q y) = (y .Q z)
7	6	eqeq2i 1485	. . . . . . . . 9 |- (x = (z .Q y) <-> x = (y .Q z))
8	3, 7	anbi12i 482	. . . . . . . 8 |- (((z e. B /\ y e. A) /\ x = (z .Q y)) <-> ((y e. A /\ z e. B) /\ x = (y .Q z)))
9	8	2exbii 1052	. . . . . . 7 |- (E.zE.y((z e. B /\ y e. A) /\ x = (z .Q y)) <-> E.zE.y((y e. A /\ z e. B) /\ x = (y .Q z)))
10		excom 1046	. . . . . . 7 |- (E.zE.y((y e. A /\ z e. B) /\ x = (y .Q z)) <-> E.yE.z((y e. A /\ z e. B) /\ x = (y .Q z)))
11	9, 10	bitr 173	. . . . . 6 |- (E.zE.y((z e. B /\ y e. A) /\ x = (z .Q y)) <-> E.yE.z((y e. A /\ z e. B) /\ x = (y .Q z)))
12	11	abbii 1575	. . . . 5 |- {x | E.zE.y((z e. B /\ y e. A) /\ x = (z .Q y))} = {x | E.yE.z((y e. A /\ z e. B) /\ x = (y .Q z))}
13	2, 12	syl6eq 1523	. . . 4 |- ((B e. P. /\ A e. P.) -> (B .P. A) = {x | E.yE.z((y e. A /\ z e. B) /\ x = (y .Q z))})
14	13	ancoms 436	. . 3 |- ((A e. P. /\ B e. P.) -> (B .P. A) = {x | E.yE.z((y e. A /\ z e. B) /\ x = (y .Q z))})
15	1, 14	eqtr4d 1510	. 2 |- ((A e. P. /\ B e. P.) -> (A .P. B) = (B .P. A))
16		mulcompr.2	. . 3 |- B e. V
17		dmmp 5116	. . 3 |- dom .P. = (P. X. P.)
18		mulcompr.1	. . 3 |- A e. V
19	16, 17, 18	ndmoprcom 4047	. 2 |- (-. (A e. P. /\ B e. P.) -> (A .P. B) = (B .P. A))
20	15, 19	pm2.61i 126	1 |- (A .P. B) = (B .P. A)

Syntax hints:   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958  E.wex 980  {cab 1463  Vcvv 1811  (class class class)co 3963   .Q cmq 4982  P.cnp 4985   .P. cmp 4988

This theorem is referenced by:  mulcmpblnrlem 5182  mulcomsr 5198  mulasssr 5199  m1m1sr 5202  recexsrlem 5212  mulgt0sr 5214

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-ni 5000  df-mi 5002  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-mq 5040  df-mp 5089

Copyright terms: Public domain