Theorem mulcomsr 5198

Description: Multiplication of signed reals is commutative.

Hypotheses

Ref	Expression
mulcomsr.1	|- A e. V
mulcomsr.2	|- B e. V

Assertion

Ref	Expression
mulcomsr	|- (A .R B) = (B .R A)

Proof of Theorem mulcomsr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nr 5167	. . 3 |- R. = ((P. X. P.)/. ~R )
2		mulsrpr 5185	. . 3 |- (((x e. P. /\ y e. P.) /\ (z e. P. /\ w e. P.)) -> ([<.x, y>.] ~R .R [<.z, w>.] ~R ) = [<.((x .P. z) +P. (y .P. w)), ((x .P. w) +P. (y .P. z))>.] ~R )
3		mulsrpr 5185	. . 3 |- (((z e. P. /\ w e. P.) /\ (x e. P. /\ y e. P.)) -> ([<.z, w>.] ~R .R [<.x, y>.] ~R ) = [<.((z .P. x) +P. (w .P. y)), ((z .P. y) +P. (w .P. x))>.] ~R )
4		visset 1813	. . . . 5 |- x e. V
5		visset 1813	. . . . 5 |- z e. V
6	4, 5	mulcompr 5125	. . . 4 |- (x .P. z) = (z .P. x)
7		visset 1813	. . . . 5 |- y e. V
8		visset 1813	. . . . 5 |- w e. V
9	7, 8	mulcompr 5125	. . . 4 |- (y .P. w) = (w .P. y)
10	6, 9	opreq12i 3973	. . 3 |- ((x .P. z) +P. (y .P. w)) = ((z .P. x) +P. (w .P. y))
11	4, 8	mulcompr 5125	. . . . 5 |- (x .P. w) = (w .P. x)
12	7, 5	mulcompr 5125	. . . . 5 |- (y .P. z) = (z .P. y)
13	11, 12	opreq12i 3973	. . . 4 |- ((x .P. w) +P. (y .P. z)) = ((w .P. x) +P. (z .P. y))
14		oprex 3983	. . . . 5 |- (w .P. x) e. V
15		oprex 3983	. . . . 5 |- (z .P. y) e. V
16	14, 15	addcompr 5123	. . . 4 |- ((w .P. x) +P. (z .P. y)) = ((z .P. y) +P. (w .P. x))
17	13, 16	eqtr 1495	. . 3 |- ((x .P. w) +P. (y .P. z)) = ((z .P. y) +P. (w .P. x))
18	1, 2, 3, 10, 17	ecoprcom 4319	. 2 |- ((A e. R. /\ B e. R.) -> (A .R B) = (B .R A))
19		mulcomsr.2	. . 3 |- B e. V
20		dmmulsr 5195	. . 3 |- dom .R = (R. X. R.)
21		mulcomsr.1	. . 3 |- A e. V
22	19, 20, 21	ndmoprcom 4047	. 2 |- (-. (A e. R. /\ B e. R.) -> (A .R B) = (B .R A))
23	18, 22	pm2.61i 126	1 |- (A .R B) = (B .R A)

Syntax hints:   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958  Vcvv 1811  (class class class)co 3963  P.cnp 4985   +P. cpp 4987   .P. cmp 4988   ~R cer 4992  R.cnr 4993   .R cmr 4998

This theorem is referenced by:  sqgt0sr 5215  mulresr 5257  axmulcom 5276  axmulass 5278  axcnre 5286

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-plp 5088  df-mp 5089  df-ltp 5090  df-mpr 5165  df-enr 5166  df-nr 5167  df-mr 5169

Copyright terms: Public domain