Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mule1 Structured version   Unicode version

Theorem mule1 20962
 Description: The Möbius function takes on values in magnitude at most . (Together with mucl 20955, this implies that it takes a value in for every natural number.) (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
mule1

Proof of Theorem mule1
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 muval 20946 . . . . 5
2 iftrue 3769 . . . . 5
31, 2sylan9eq 2494 . . . 4
43fveq2d 5761 . . 3
5 abs0 12121 . . . 4
6 0le1 9582 . . . 4
75, 6eqbrtri 4256 . . 3
84, 7syl6eqbr 4274 . 2
9 iffalse 3770 . . . . . 6
101, 9sylan9eq 2494 . . . . 5
1110fveq2d 5761 . . . 4
12 neg1cn 10098 . . . . . . 7
13 prmdvdsfi 20921 . . . . . . . 8
14 hashcl 11670 . . . . . . . 8
1513, 14syl 16 . . . . . . 7
16 absexp 12140 . . . . . . 7
1712, 15, 16sylancr 646 . . . . . 6
18 ax-1cn 9079 . . . . . . . . . 10
1918absnegi 12234 . . . . . . . . 9
20 abs1 12133 . . . . . . . . 9
2119, 20eqtri 2462 . . . . . . . 8
2221oveq1i 6120 . . . . . . 7
2315nn0zd 10404 . . . . . . . 8
24 1exp 11440 . . . . . . . 8
2523, 24syl 16 . . . . . . 7
2622, 25syl5eq 2486 . . . . . 6
2717, 26eqtrd 2474 . . . . 5
2827adantr 453 . . . 4
2911, 28eqtrd 2474 . . 3
30 1le1 9681 . . 3
3129, 30syl6eqbr 4274 . 2
328, 31pm2.61dan 768 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wa 360   wceq 1653   wcel 1727  wrex 2712  crab 2715  cif 3763   class class class wbr 4237  cfv 5483  (class class class)co 6110  cfn 7138  cc 9019  cc0 9021  c1 9022   cle 9152  cneg 9323  cn 10031  c2 10080  cn0 10252  cz 10313  cexp 11413  chash 11649  cabs 12070   cdivides 12883  cprime 13110  cmu 20908 This theorem is referenced by:  dchrmusum2  21219  dchrvmasumlem3  21224  mudivsum  21255  mulogsumlem  21256  mulog2sumlem2  21260  selberglem2  21271 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1668  ax-8 1689  ax-13 1729  ax-14 1731  ax-6 1746  ax-7 1751  ax-11 1763  ax-12 1953  ax-ext 2423  ax-sep 4355  ax-nul 4363  ax-pow 4406  ax-pr 4432  ax-un 4730  ax-cnex 9077  ax-resscn 9078  ax-1cn 9079  ax-icn 9080  ax-addcl 9081  ax-addrcl 9082  ax-mulcl 9083  ax-mulrcl 9084  ax-mulcom 9085  ax-addass 9086  ax-mulass 9087  ax-distr 9088  ax-i2m1 9089  ax-1ne0 9090  ax-1rid 9091  ax-rnegex 9092  ax-rrecex 9093  ax-cnre 9094  ax-pre-lttri 9095  ax-pre-lttrn 9096  ax-pre-ltadd 9097  ax-pre-mulgt0 9098  ax-pre-sup 9099 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2291  df-mo 2292  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2716  df-rex 2717  df-reu 2718  df-rmo 2719  df-rab 2720  df-v 2964  df-sbc 3168  df-csb 3268  df-dif 3309  df-un 3311  df-in 3313  df-ss 3320  df-pss 3322  df-nul 3614  df-if 3764  df-pw 3825  df-sn 3844  df-pr 3845  df-tp 3846  df-op 3847  df-uni 4040  df-int 4075  df-iun 4119  df-br 4238  df-opab 4292  df-mpt 4293  df-tr 4328  df-eprel 4523  df-id 4527  df-po 4532  df-so 4533  df-fr 4570  df-we 4572  df-ord 4613  df-on 4614  df-lim 4615  df-suc 4616  df-om 4875  df-xp 4913  df-rel 4914  df-cnv 4915  df-co 4916  df-dm 4917  df-rn 4918  df-res 4919  df-ima 4920  df-iota 5447  df-fun 5485  df-fn 5486  df-f 5487  df-f1 5488  df-fo 5489  df-f1o 5490  df-fv 5491  df-ov 6113  df-oprab 6114  df-mpt2 6115  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-riota 6578  df-recs 6662  df-rdg 6697  df-1o 6753  df-er 6934  df-en 7139  df-dom 7140  df-sdom 7141  df-fin 7142  df-sup 7475  df-card 7857  df-pnf 9153  df-mnf 9154  df-xr 9155  df-ltxr 9156  df-le 9157  df-sub 9324  df-neg 9325  df-div 9709  df-nn 10032  df-2 10089  df-3 10090  df-n0 10253  df-z 10314  df-uz 10520  df-rp 10644  df-fz 11075  df-seq 11355  df-exp 11414  df-hash 11650  df-cj 11935  df-re 11936  df-im 11937  df-sqr 12071  df-abs 12072  df-dvds 12884  df-prm 13111  df-mu 20914
 Copyright terms: Public domain W3C validator