Theorem muleqaddt 5712

Description: Property of numbers whose product equals their sum. Equation 5 of [Kreyszig] p. 12.

Assertion

Ref	Expression
muleqaddt	|- ((A e. CC /\ B e. CC) -> ((A x. B) = (A + B) <-> ((A - 1) x. (B - 1)) = 1))

Proof of Theorem muleqaddt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax1cn 5281	. . . . 5 |- 1 e. CC
2		mulsubt 5489	. . . . . 6 |- (((A e. CC /\ 1 e. CC) /\ (B e. CC /\ 1 e. CC)) -> ((A - 1) x. (B - 1)) = (((A x. B) + (1 x. 1)) - ((A x. 1) + (B x. 1))))
3	1, 2	mpanr2 712	. . . . 5 |- (((A e. CC /\ 1 e. CC) /\ B e. CC) -> ((A - 1) x. (B - 1)) = (((A x. B) + (1 x. 1)) - ((A x. 1) + (B x. 1))))
4	1, 3	mpanl2 709	. . . 4 |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> ((A - 1) x. (B - 1)) = (((A x. B) + (1 x. 1)) - ((A x. 1) + (B x. 1))))
5	1	mulid1 5344	. . . . . . 7 |- (1 x. 1) = 1
6	5	opreq2i 3978	. . . . . 6 |- ((A x. B) + (1 x. 1)) = ((A x. B) + 1)
7	6	a1i 8	. . . . 5 |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> ((A x. B) + (1 x. 1)) = ((A x. B) + 1))
8		ax1id 5294	. . . . . 6 |- (A e. CC -> (A x. 1) = A)
9		ax1id 5294	. . . . . 6 |- (B e. CC -> (B x. 1) = B)
10	8, 9	opreqan12d 3985	. . . . 5 |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> ((A x. 1) + (B x. 1)) = (A + B))
11	7, 10	opreq12d 3984	. . . 4 |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> (((A x. B) + (1 x. 1)) - ((A x. 1) + (B x. 1))) = (((A x. B) + 1) - (A + B)))
12		addsubt 5396	. . . . . 6 |- (((A x. B) e. CC /\ 1 e. CC /\ (A + B) e. CC) -> (((A x. B) + 1) - (A + B)) = (((A x. B) - (A + B)) + 1))
13	1, 12	mp3an2 906	. . . . 5 |- (((A x. B) e. CC /\ (A + B) e. CC) -> (((A x. B) + 1) - (A + B)) = (((A x. B) - (A + B)) + 1))
14		axmulcl 5285	. . . . 5 |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> (A x. B) e. CC)
15		axaddcl 5283	. . . . 5 |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> (A + B) e. CC)
16	13, 14, 15	sylanc 473	. . . 4 |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> (((A x. B) + 1) - (A + B)) = (((A x. B) - (A + B)) + 1))
17	4, 11, 16	3eqtrd 1514	. . 3 |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> ((A - 1) x. (B - 1)) = (((A x. B) - (A + B)) + 1))
18	17	eqeq1d 1486	. 2 |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> (((A - 1) x. (B - 1)) = 1 <-> (((A x. B) - (A + B)) + 1) = 1))
19		subclt 5379	. . . . 5 |- (((A x. B) e. CC /\ (A + B) e. CC) -> ((A x. B) - (A + B)) e. CC)
20	19, 14, 15	sylanc 473	. . . 4 |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> ((A x. B) - (A + B)) e. CC)
21		0cn 5340	. . . . 5 |- 0 e. CC
22		addcan2t 5365	. . . . 5 |- ((((A x. B) - (A + B)) e. CC /\ 0 e. CC /\ 1 e. CC) -> ((((A x. B) - (A + B)) + 1) = (0 + 1) <-> ((A x. B) - (A + B)) = 0))
23	21, 1, 22	mp3an23 910	. . . 4 |- (((A x. B) - (A + B)) e. CC -> ((((A x. B) - (A + B)) + 1) = (0 + 1) <-> ((A x. B) - (A + B)) = 0))
24	20, 23	syl 10	. . 3 |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> ((((A x. B) - (A + B)) + 1) = (0 + 1) <-> ((A x. B) - (A + B)) = 0))
25	1	addid2 5343	. . . 4 |- (0 + 1) = 1
26	25	eqeq2i 1488	. . 3 |- ((((A x. B) - (A + B)) + 1) = (0 + 1) <-> (((A x. B) - (A + B)) + 1) = 1)
27	24, 26	syl5rbbr 537	. 2 |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> (((A x. B) - (A + B)) = 0 <-> (((A x. B) - (A + B)) + 1) = 1))
28		subeq0t 5415	. . 3 |- (((A x. B) e. CC /\ (A + B) e. CC) -> (((A x. B) - (A + B)) = 0 <-> (A x. B) = (A + B)))
29	28, 14, 15	sylanc 473	. 2 |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> (((A x. B) - (A + B)) = 0 <-> (A x. B) = (A + B)))
30	18, 27, 29	3bitr2rd 549	1 |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> ((A x. B) = (A + B) <-> ((A - 1) x. (B - 1)) = 1))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 958   e. wcel 960  (class class class)co 3969  CCcc 5244  0cc0 5246  1c1 5247   + caddc 5249   x. cmul 5251   - cmin 5304

This theorem is referenced by:  conjmult 5799

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-1p 5099  df-plp 5100  df-mp 5101  df-ltp 5102  df-plpr 5176  df-mpr 5177  df-enr 5178  df-nr 5179  df-plr 5180  df-mr 5181  df-0r 5183  df-1r 5184  df-m1r 5185  df-c 5252  df-0 5253  df-1 5254  df-i 5255  df-r 5256  df-plus 5257  df-mul 5258  df-sub 5368  df-neg 5370

Copyright terms: Public domain