MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulg0 Structured version   Unicode version

Theorem mulg0 14895
Description: Group multiple (exponentiation) operation at zero. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mulg0.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
mulg0.o  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
mulg0.t  |-  .x.  =  (.g
`  G )
Assertion
Ref Expression
mulg0  |-  ( X  e.  B  ->  (
0  .x.  X )  =  .0.  )

Proof of Theorem mulg0
StepHypRef Expression
1 0z 10293 . 2  |-  0  e.  ZZ
2 mulg0.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  G
)
3 eqid 2436 . . . 4  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
4 mulg0.o . . . 4  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
5 eqid 2436 . . . 4  |-  ( inv g `  G )  =  ( inv g `  G )
6 mulg0.t . . . 4  |-  .x.  =  (.g
`  G )
7 eqid 2436 . . . 4  |-  seq  1
( ( +g  `  G
) ,  ( NN 
X.  { X }
) )  =  seq  1 ( ( +g  `  G ) ,  ( NN  X.  { X } ) )
82, 3, 4, 5, 6, 7mulgval 14892 . . 3  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  ->  ( 0  .x.  X
)  =  if ( 0  =  0 ,  .0.  ,  if ( 0  <  0 ,  (  seq  1 ( ( +g  `  G
) ,  ( NN 
X.  { X }
) ) `  0
) ,  ( ( inv g `  G
) `  (  seq  1 ( ( +g  `  G ) ,  ( NN  X.  { X } ) ) `  -u 0 ) ) ) ) )
9 eqid 2436 . . . 4  |-  0  =  0
10 iftrue 3745 . . . 4  |-  ( 0  =  0  ->  if ( 0  =  0 ,  .0.  ,  if ( 0  <  0 ,  (  seq  1
( ( +g  `  G
) ,  ( NN 
X.  { X }
) ) `  0
) ,  ( ( inv g `  G
) `  (  seq  1 ( ( +g  `  G ) ,  ( NN  X.  { X } ) ) `  -u 0 ) ) ) )  =  .0.  )
119, 10ax-mp 8 . . 3  |-  if ( 0  =  0 ,  .0.  ,  if ( 0  <  0 ,  (  seq  1 ( ( +g  `  G
) ,  ( NN 
X.  { X }
) ) `  0
) ,  ( ( inv g `  G
) `  (  seq  1 ( ( +g  `  G ) ,  ( NN  X.  { X } ) ) `  -u 0 ) ) ) )  =  .0.
128, 11syl6eq 2484 . 2  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  ->  ( 0  .x.  X
)  =  .0.  )
131, 12mpan 652 1  |-  ( X  e.  B  ->  (
0  .x.  X )  =  .0.  )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   ifcif 3739   {csn 3814   class class class wbr 4212    X. cxp 4876   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   0cc0 8990   1c1 8991    < clt 9120   -ucneg 9292   NNcn 10000   ZZcz 10282    seq cseq 11323   Basecbs 13469   +g cplusg 13529   0gc0g 13723   inv gcminusg 14686  .gcmg 14689
This theorem is referenced by:  mulgnn0p1  14901  mulgnn0subcl  14903  mulgneg  14908  mulgnn0z  14910  mulgnn0dir  14913  mulgneg2  14917  mulgnn0ass  14919  mhmmulg  14922  submmulg  14925  odid  15176  oddvdsnn0  15182  oddvds  15185  odf1  15198  gexid  15215  mulgnn0di  15448  0cyg  15502  gsumconst  15532  mulgass2  15710  mplcoe3  16529  mplcoe2  16530  mplbas2  16531  psrbagev1  16566  ply1scltm  16673  cnfldmulg  16733  cnfldexp  16734  tmdmulg  18122  clmmulg  19118  evlslem3  19935  evlslem1  19936  dchrptlem2  21049  xrsmulgzz  24200  ressmulgnn0  24206
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-inf2 7596  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-neg 9294  df-z 10283  df-seq 11324  df-mulg 14815
  Copyright terms: Public domain W3C validator