MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulg0 Unicode version

Theorem mulg0 14572
Description: Group multiple (exponentiation) operation at zero. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mulg0.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
mulg0.o  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
mulg0.t  |-  .x.  =  (.g
`  G )
Assertion
Ref Expression
mulg0  |-  ( X  e.  B  ->  (
0  .x.  X )  =  .0.  )

Proof of Theorem mulg0
StepHypRef Expression
1 0z 10035 . 2  |-  0  e.  ZZ
2 mulg0.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  G
)
3 eqid 2283 . . . 4  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
4 mulg0.o . . . 4  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
5 eqid 2283 . . . 4  |-  ( inv g `  G )  =  ( inv g `  G )
6 mulg0.t . . . 4  |-  .x.  =  (.g
`  G )
7 eqid 2283 . . . 4  |-  seq  1
( ( +g  `  G
) ,  ( NN 
X.  { X }
) )  =  seq  1 ( ( +g  `  G ) ,  ( NN  X.  { X } ) )
82, 3, 4, 5, 6, 7mulgval 14569 . . 3  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  ->  ( 0  .x.  X
)  =  if ( 0  =  0 ,  .0.  ,  if ( 0  <  0 ,  (  seq  1 ( ( +g  `  G
) ,  ( NN 
X.  { X }
) ) `  0
) ,  ( ( inv g `  G
) `  (  seq  1 ( ( +g  `  G ) ,  ( NN  X.  { X } ) ) `  -u 0 ) ) ) ) )
9 eqid 2283 . . . 4  |-  0  =  0
10 iftrue 3571 . . . 4  |-  ( 0  =  0  ->  if ( 0  =  0 ,  .0.  ,  if ( 0  <  0 ,  (  seq  1
( ( +g  `  G
) ,  ( NN 
X.  { X }
) ) `  0
) ,  ( ( inv g `  G
) `  (  seq  1 ( ( +g  `  G ) ,  ( NN  X.  { X } ) ) `  -u 0 ) ) ) )  =  .0.  )
119, 10ax-mp 8 . . 3  |-  if ( 0  =  0 ,  .0.  ,  if ( 0  <  0 ,  (  seq  1 ( ( +g  `  G
) ,  ( NN 
X.  { X }
) ) `  0
) ,  ( ( inv g `  G
) `  (  seq  1 ( ( +g  `  G ) ,  ( NN  X.  { X } ) ) `  -u 0 ) ) ) )  =  .0.
128, 11syl6eq 2331 . 2  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  ->  ( 0  .x.  X
)  =  .0.  )
131, 12mpan 651 1  |-  ( X  e.  B  ->  (
0  .x.  X )  =  .0.  )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   ifcif 3565   {csn 3640   class class class wbr 4023    X. cxp 4687   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   0cc0 8737   1c1 8738    < clt 8867   -ucneg 9038   NNcn 9746   ZZcz 10024    seq cseq 11046   Basecbs 13148   +g cplusg 13208   0gc0g 13400   inv gcminusg 14363  .gcmg 14366
This theorem is referenced by:  mulgnn0p1  14578  mulgnn0subcl  14580  mulgneg  14585  mulgnn0z  14587  mulgnn0dir  14590  mulgneg2  14594  mulgnn0ass  14596  mhmmulg  14599  submmulg  14602  odid  14853  oddvdsnn0  14859  oddvds  14862  odf1  14875  gexid  14892  mulgnn0di  15125  0cyg  15179  gsumconst  15209  mulgass2  15387  mplcoe3  16210  mplcoe2  16211  mplbas2  16212  psrbagev1  16247  ply1scltm  16357  cnfldmulg  16406  cnfldexp  16407  tmdmulg  17775  clmmulg  18591  evlslem3  19398  evlslem1  19399  dchrptlem2  20504
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-neg 9040  df-z 10025  df-seq 11047  df-mulg 14492
  Copyright terms: Public domain W3C validator