MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulg1 Unicode version

Theorem mulg1 14590
Description: Group multiple (exponentiation) operation at one. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mulg1.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
mulg1.m  |-  .x.  =  (.g
`  G )
Assertion
Ref Expression
mulg1  |-  ( X  e.  B  ->  (
1  .x.  X )  =  X )

Proof of Theorem mulg1
StepHypRef Expression
1 1nn 9773 . . 3  |-  1  e.  NN
2 mulg1.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  G
)
3 eqid 2296 . . . 4  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
4 mulg1.m . . . 4  |-  .x.  =  (.g
`  G )
5 eqid 2296 . . . 4  |-  seq  1
( ( +g  `  G
) ,  ( NN 
X.  { X }
) )  =  seq  1 ( ( +g  `  G ) ,  ( NN  X.  { X } ) )
62, 3, 4, 5mulgnn 14589 . . 3  |-  ( ( 1  e.  NN  /\  X  e.  B )  ->  ( 1  .x.  X
)  =  (  seq  1 ( ( +g  `  G ) ,  ( NN  X.  { X } ) ) ` 
1 ) )
71, 6mpan 651 . 2  |-  ( X  e.  B  ->  (
1  .x.  X )  =  (  seq  1
( ( +g  `  G
) ,  ( NN 
X.  { X }
) ) `  1
) )
8 1z 10069 . . 3  |-  1  e.  ZZ
9 fvconst2g 5743 . . . 4  |-  ( ( X  e.  B  /\  1  e.  NN )  ->  ( ( NN  X.  { X } ) ` 
1 )  =  X )
101, 9mpan2 652 . . 3  |-  ( X  e.  B  ->  (
( NN  X.  { X } ) `  1
)  =  X )
118, 10seq1i 11076 . 2  |-  ( X  e.  B  ->  (  seq  1 ( ( +g  `  G ) ,  ( NN  X.  { X } ) ) ` 
1 )  =  X )
127, 11eqtrd 2328 1  |-  ( X  e.  B  ->  (
1  .x.  X )  =  X )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1632    e. wcel 1696   {csn 3653    X. cxp 4703   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   1c1 8754   NNcn 9762    seq cseq 11062   Basecbs 13164   +g cplusg 13224  .gcmg 14382
This theorem is referenced by:  mulg2  14592  mulgnn0p1  14594  mulgm1  14602  mulgp1  14609  mulgnnass  14611  cycsubgcl  14659  odbezout  14887  od1  14888  odeq1  14889  gex1  14918  gsumsn  15236  ablfacrp  15317  pgpfac1lem2  15326  pgpfac1lem3  15328  mulgrhm  16476  zlmlmod  16493  frgpcyg  16543  evlslem1  19415  ply1remlem  19564  fta1blem  19570  xrsmulgzz  23322  gsumsn2  23393
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-seq 11063  df-mulg 14508
  Copyright terms: Public domain W3C validator