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Theorem mulgass 14925
Description: Product of group multiples, generalized to  ZZ. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mulgass.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
mulgass.t  |-  .x.  =  (.g
`  G )
Assertion
Ref Expression
mulgass  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  ->  ( ( M  x.  N )  .x.  X )  =  ( M  .x.  ( N 
.x.  X ) ) )

Proof of Theorem mulgass
StepHypRef Expression
1 simpr1 964 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  ->  M  e.  ZZ )
2 elznn0 10301 . . . 4  |-  ( M  e.  ZZ  <->  ( M  e.  RR  /\  ( M  e.  NN0  \/  -u M  e.  NN0 ) ) )
32simprbi 452 . . 3  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( M  e.  NN0  \/  -u M  e.  NN0 ) )
41, 3syl 16 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  ->  ( M  e.  NN0  \/  -u M  e.  NN0 ) )
5 simpr2 965 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  ->  N  e.  ZZ )
6 elznn0 10301 . . . 4  |-  ( N  e.  ZZ  <->  ( N  e.  RR  /\  ( N  e.  NN0  \/  -u N  e.  NN0 ) ) )
76simprbi 452 . . 3  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( N  e.  NN0  \/  -u N  e.  NN0 ) )
85, 7syl 16 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  ->  ( N  e.  NN0  \/  -u N  e.  NN0 ) )
9 grpmnd 14822 . . . . . 6  |-  ( G  e.  Grp  ->  G  e.  Mnd )
109ad2antrr 708 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0 ) )  ->  G  e.  Mnd )
11 simprl 734 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0 ) )  ->  M  e.  NN0 )
12 simprr 735 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0 ) )  ->  N  e.  NN0 )
13 simplr3 1002 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0 ) )  ->  X  e.  B )
14 mulgass.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  G
)
15 mulgass.t . . . . . 6  |-  .x.  =  (.g
`  G )
1614, 15mulgnn0ass 14924 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  X  e.  B )
)  ->  ( ( M  x.  N )  .x.  X )  =  ( M  .x.  ( N 
.x.  X ) ) )
1710, 11, 12, 13, 16syl13anc 1187 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0 ) )  -> 
( ( M  x.  N )  .x.  X
)  =  ( M 
.x.  ( N  .x.  X ) ) )
1817ex 425 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  ->  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  ->  (
( M  x.  N
)  .x.  X )  =  ( M  .x.  ( N  .x.  X ) ) ) )
191zcnd 10381 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  ->  M  e.  CC )
205zcnd 10381 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  ->  N  e.  CC )
2119, 20mulneg1d 9491 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  ->  ( -u M  x.  N )  =  -u ( M  x.  N
) )
2221adantr 453 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  /\  ( -u M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0 ) )  -> 
( -u M  x.  N
)  =  -u ( M  x.  N )
)
2322oveq1d 6099 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  /\  ( -u M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0 ) )  -> 
( ( -u M  x.  N )  .x.  X
)  =  ( -u ( M  x.  N
)  .x.  X )
)
249ad2antrr 708 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  /\  ( -u M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0 ) )  ->  G  e.  Mnd )
25 simprl 734 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  /\  ( -u M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0 ) )  ->  -u M  e.  NN0 )
26 simprr 735 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  /\  ( -u M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0 ) )  ->  N  e.  NN0 )
27 simpr3 966 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  ->  X  e.  B )
2827adantr 453 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  /\  ( -u M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0 ) )  ->  X  e.  B )
2914, 15mulgnn0ass 14924 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  ( -u M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  X  e.  B )
)  ->  ( ( -u M  x.  N ) 
.x.  X )  =  ( -u M  .x.  ( N  .x.  X ) ) )
3024, 25, 26, 28, 29syl13anc 1187 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  /\  ( -u M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0 ) )  -> 
( ( -u M  x.  N )  .x.  X
)  =  ( -u M  .x.  ( N  .x.  X ) ) )
3123, 30eqtr3d 2472 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  /\  ( -u M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0 ) )  -> 
( -u ( M  x.  N )  .x.  X
)  =  ( -u M  .x.  ( N  .x.  X ) ) )
32 fveq2 5731 . . . . . . 7  |-  ( (
-u ( M  x.  N )  .x.  X
)  =  ( -u M  .x.  ( N  .x.  X ) )  -> 
( ( inv g `  G ) `  ( -u ( M  x.  N
)  .x.  X )
)  =  ( ( inv g `  G
) `  ( -u M  .x.  ( N  .x.  X
) ) ) )
33 simpl 445 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  ->  G  e.  Grp )
341, 5zmulcld 10386 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  ->  ( M  x.  N )  e.  ZZ )
35 eqid 2438 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( inv g `  G )  =  ( inv g `  G )
3614, 15, 35mulgneg 14913 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  x.  N
)  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  ->  ( -u ( M  x.  N )  .x.  X )  =  ( ( inv g `  G ) `  (
( M  x.  N
)  .x.  X )
) )
3733, 34, 27, 36syl3anc 1185 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  ->  ( -u ( M  x.  N )  .x.  X )  =  ( ( inv g `  G ) `  (
( M  x.  N
)  .x.  X )
) )
3837fveq2d 5735 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  ->  ( ( inv g `  G ) `
 ( -u ( M  x.  N )  .x.  X ) )  =  ( ( inv g `  G ) `  (
( inv g `  G ) `  (
( M  x.  N
)  .x.  X )
) ) )
3914, 15mulgcl 14912 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  x.  N
)  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  ->  ( ( M  x.  N )  .x.  X
)  e.  B )
4033, 34, 27, 39syl3anc 1185 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  ->  ( ( M  x.  N )  .x.  X )  e.  B
)
4114, 35grpinvinv 14863 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( ( M  x.  N )  .x.  X
)  e.  B )  ->  ( ( inv g `  G ) `
 ( ( inv g `  G ) `
 ( ( M  x.  N )  .x.  X ) ) )  =  ( ( M  x.  N )  .x.  X ) )
4240, 41syldan 458 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  ->  ( ( inv g `  G ) `
 ( ( inv g `  G ) `
 ( ( M  x.  N )  .x.  X ) ) )  =  ( ( M  x.  N )  .x.  X ) )
4338, 42eqtrd 2470 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  ->  ( ( inv g `  G ) `
 ( -u ( M  x.  N )  .x.  X ) )  =  ( ( M  x.  N )  .x.  X
) )
4414, 15mulgcl 14912 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  ->  ( N  .x.  X )  e.  B )
4533, 5, 27, 44syl3anc 1185 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  ->  ( N  .x.  X )  e.  B
)
4614, 15, 35mulgneg 14913 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  M  e.  ZZ  /\  ( N  .x.  X )  e.  B )  ->  ( -u M  .x.  ( N 
.x.  X ) )  =  ( ( inv g `  G ) `
 ( M  .x.  ( N  .x.  X ) ) ) )
4733, 1, 45, 46syl3anc 1185 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  ->  ( -u M  .x.  ( N  .x.  X
) )  =  ( ( inv g `  G ) `  ( M  .x.  ( N  .x.  X ) ) ) )
4847fveq2d 5735 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  ->  ( ( inv g `  G ) `
 ( -u M  .x.  ( N  .x.  X
) ) )  =  ( ( inv g `  G ) `  (
( inv g `  G ) `  ( M  .x.  ( N  .x.  X ) ) ) ) )
4914, 15mulgcl 14912 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  M  e.  ZZ  /\  ( N  .x.  X )  e.  B )  ->  ( M  .x.  ( N  .x.  X ) )  e.  B )
5033, 1, 45, 49syl3anc 1185 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  ->  ( M  .x.  ( N  .x.  X
) )  e.  B
)
5114, 35grpinvinv 14863 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  .x.  ( N 
.x.  X ) )  e.  B )  -> 
( ( inv g `  G ) `  (
( inv g `  G ) `  ( M  .x.  ( N  .x.  X ) ) ) )  =  ( M 
.x.  ( N  .x.  X ) ) )
5250, 51syldan 458 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  ->  ( ( inv g `  G ) `
 ( ( inv g `  G ) `
 ( M  .x.  ( N  .x.  X ) ) ) )  =  ( M  .x.  ( N  .x.  X ) ) )
5348, 52eqtrd 2470 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  ->  ( ( inv g `  G ) `
 ( -u M  .x.  ( N  .x.  X
) ) )  =  ( M  .x.  ( N  .x.  X ) ) )
5443, 53eqeq12d 2452 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  ->  ( (
( inv g `  G ) `  ( -u ( M  x.  N
)  .x.  X )
)  =  ( ( inv g `  G
) `  ( -u M  .x.  ( N  .x.  X
) ) )  <->  ( ( M  x.  N )  .x.  X )  =  ( M  .x.  ( N 
.x.  X ) ) ) )
5532, 54syl5ib 212 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  ->  ( ( -u ( M  x.  N
)  .x.  X )  =  ( -u M  .x.  ( N  .x.  X
) )  ->  (
( M  x.  N
)  .x.  X )  =  ( M  .x.  ( N  .x.  X ) ) ) )
5655imp 420 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  /\  ( -u ( M  x.  N )  .x.  X )  =  (
-u M  .x.  ( N  .x.  X ) ) )  ->  ( ( M  x.  N )  .x.  X )  =  ( M  .x.  ( N 
.x.  X ) ) )
5731, 56syldan 458 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  /\  ( -u M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0 ) )  -> 
( ( M  x.  N )  .x.  X
)  =  ( M 
.x.  ( N  .x.  X ) ) )
5857ex 425 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  ->  ( ( -u M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ( M  x.  N )  .x.  X
)  =  ( M 
.x.  ( N  .x.  X ) ) ) )
599ad2antrr 708 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  /\  ( M  e.  NN0  /\  -u N  e.  NN0 ) )  ->  G  e.  Mnd )
60 simprl 734 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  /\  ( M  e.  NN0  /\  -u N  e.  NN0 ) )  ->  M  e.  NN0 )
61 simprr 735 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  /\  ( M  e.  NN0  /\  -u N  e.  NN0 ) )  ->  -u N  e.  NN0 )
6227adantr 453 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  /\  ( M  e.  NN0  /\  -u N  e.  NN0 ) )  ->  X  e.  B )
6314, 15mulgnn0ass 14924 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  ( M  e.  NN0  /\  -u N  e.  NN0  /\  X  e.  B ) )  ->  ( ( M  x.  -u N ) 
.x.  X )  =  ( M  .x.  ( -u N  .x.  X ) ) )
6459, 60, 61, 62, 63syl13anc 1187 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  /\  ( M  e.  NN0  /\  -u N  e.  NN0 ) )  -> 
( ( M  x.  -u N )  .x.  X
)  =  ( M 
.x.  ( -u N  .x.  X ) ) )
6519, 20mulneg2d 9492 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  ->  ( M  x.  -u N )  = 
-u ( M  x.  N ) )
6665adantr 453 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  /\  ( M  e.  NN0  /\  -u N  e.  NN0 ) )  -> 
( M  x.  -u N
)  =  -u ( M  x.  N )
)
6766oveq1d 6099 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  /\  ( M  e.  NN0  /\  -u N  e.  NN0 ) )  -> 
( ( M  x.  -u N )  .x.  X
)  =  ( -u ( M  x.  N
)  .x.  X )
)
6814, 15, 35mulgneg 14913 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  ->  ( -u N  .x.  X )  =  ( ( inv g `  G ) `
 ( N  .x.  X ) ) )
6933, 5, 27, 68syl3anc 1185 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  ->  ( -u N  .x.  X )  =  ( ( inv g `  G ) `  ( N  .x.  X ) ) )
7069oveq2d 6100 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  ->  ( M  .x.  ( -u N  .x.  X ) )  =  ( M  .x.  (
( inv g `  G ) `  ( N  .x.  X ) ) ) )
7114, 15, 35mulgneg2 14922 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  M  e.  ZZ  /\  ( N  .x.  X )  e.  B )  ->  ( -u M  .x.  ( N 
.x.  X ) )  =  ( M  .x.  ( ( inv g `  G ) `  ( N  .x.  X ) ) ) )
7233, 1, 45, 71syl3anc 1185 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  ->  ( -u M  .x.  ( N  .x.  X
) )  =  ( M  .x.  ( ( inv g `  G
) `  ( N  .x.  X ) ) ) )
7370, 72eqtr4d 2473 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  ->  ( M  .x.  ( -u N  .x.  X ) )  =  ( -u M  .x.  ( N  .x.  X ) ) )
7473adantr 453 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  /\  ( M  e.  NN0  /\  -u N  e.  NN0 ) )  -> 
( M  .x.  ( -u N  .x.  X ) )  =  ( -u M  .x.  ( N  .x.  X ) ) )
7564, 67, 743eqtr3d 2478 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  /\  ( M  e.  NN0  /\  -u N  e.  NN0 ) )  -> 
( -u ( M  x.  N )  .x.  X
)  =  ( -u M  .x.  ( N  .x.  X ) ) )
7675, 56syldan 458 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  /\  ( M  e.  NN0  /\  -u N  e.  NN0 ) )  -> 
( ( M  x.  N )  .x.  X
)  =  ( M 
.x.  ( N  .x.  X ) ) )
7776ex 425 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  ->  ( ( M  e.  NN0  /\  -u N  e.  NN0 )  ->  (
( M  x.  N
)  .x.  X )  =  ( M  .x.  ( N  .x.  X ) ) ) )
789ad2antrr 708 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  /\  ( -u M  e.  NN0  /\  -u N  e.  NN0 ) )  ->  G  e.  Mnd )
79 simprl 734 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  /\  ( -u M  e.  NN0  /\  -u N  e.  NN0 ) )  ->  -u M  e.  NN0 )
80 simprr 735 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  /\  ( -u M  e.  NN0  /\  -u N  e.  NN0 ) )  ->  -u N  e.  NN0 )
8127adantr 453 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  /\  ( -u M  e.  NN0  /\  -u N  e.  NN0 ) )  ->  X  e.  B )
8214, 15mulgnn0ass 14924 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  ( -u M  e.  NN0  /\  -u N  e.  NN0  /\  X  e.  B ) )  ->  ( ( -u M  x.  -u N
)  .x.  X )  =  ( -u M  .x.  ( -u N  .x.  X ) ) )
8378, 79, 80, 81, 82syl13anc 1187 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  /\  ( -u M  e.  NN0  /\  -u N  e.  NN0 ) )  -> 
( ( -u M  x.  -u N )  .x.  X )  =  (
-u M  .x.  ( -u N  .x.  X ) ) )
8419, 20mul2negd 9493 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  ->  ( -u M  x.  -u N )  =  ( M  x.  N
) )
8584oveq1d 6099 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  ->  ( ( -u M  x.  -u N
)  .x.  X )  =  ( ( M  x.  N )  .x.  X ) )
8685adantr 453 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  /\  ( -u M  e.  NN0  /\  -u N  e.  NN0 ) )  -> 
( ( -u M  x.  -u N )  .x.  X )  =  ( ( M  x.  N
)  .x.  X )
)
8733adantr 453 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  /\  ( -u M  e.  NN0  /\  -u N  e.  NN0 ) )  ->  G  e.  Grp )
881adantr 453 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  /\  ( -u M  e.  NN0  /\  -u N  e.  NN0 ) )  ->  M  e.  ZZ )
89 nn0z 10309 . . . . . . . . 9  |-  ( -u N  e.  NN0  ->  -u N  e.  ZZ )
9089ad2antll 711 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  /\  ( -u M  e.  NN0  /\  -u N  e.  NN0 ) )  ->  -u N  e.  ZZ )
9114, 15mulgcl 14912 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  -u N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  ->  ( -u N  .x.  X )  e.  B
)
9287, 90, 81, 91syl3anc 1185 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  /\  ( -u M  e.  NN0  /\  -u N  e.  NN0 ) )  -> 
( -u N  .x.  X
)  e.  B )
9314, 15, 35mulgneg2 14922 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  M  e.  ZZ  /\  ( -u N  .x.  X )  e.  B )  -> 
( -u M  .x.  ( -u N  .x.  X ) )  =  ( M 
.x.  ( ( inv g `  G ) `
 ( -u N  .x.  X ) ) ) )
9487, 88, 92, 93syl3anc 1185 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  /\  ( -u M  e.  NN0  /\  -u N  e.  NN0 ) )  -> 
( -u M  .x.  ( -u N  .x.  X ) )  =  ( M 
.x.  ( ( inv g `  G ) `
 ( -u N  .x.  X ) ) ) )
9514, 15, 35mulgneg 14913 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  -u N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  ->  ( -u -u N  .x.  X )  =  ( ( inv g `  G ) `  ( -u N  .x.  X ) ) )
9687, 90, 81, 95syl3anc 1185 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  /\  ( -u M  e.  NN0  /\  -u N  e.  NN0 ) )  -> 
( -u -u N  .x.  X
)  =  ( ( inv g `  G
) `  ( -u N  .x.  X ) ) )
9720negnegd 9407 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  ->  -u -u N  =  N )
9897adantr 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  /\  ( -u M  e.  NN0  /\  -u N  e.  NN0 ) )  ->  -u -u N  =  N
)
9998oveq1d 6099 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  /\  ( -u M  e.  NN0  /\  -u N  e.  NN0 ) )  -> 
( -u -u N  .x.  X
)  =  ( N 
.x.  X ) )
10096, 99eqtr3d 2472 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  /\  ( -u M  e.  NN0  /\  -u N  e.  NN0 ) )  -> 
( ( inv g `  G ) `  ( -u N  .x.  X ) )  =  ( N 
.x.  X ) )
101100oveq2d 6100 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  /\  ( -u M  e.  NN0  /\  -u N  e.  NN0 ) )  -> 
( M  .x.  (
( inv g `  G ) `  ( -u N  .x.  X ) ) )  =  ( M  .x.  ( N 
.x.  X ) ) )
10294, 101eqtrd 2470 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  /\  ( -u M  e.  NN0  /\  -u N  e.  NN0 ) )  -> 
( -u M  .x.  ( -u N  .x.  X ) )  =  ( M 
.x.  ( N  .x.  X ) ) )
10383, 86, 1023eqtr3d 2478 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  /\  ( -u M  e.  NN0  /\  -u N  e.  NN0 ) )  -> 
( ( M  x.  N )  .x.  X
)  =  ( M 
.x.  ( N  .x.  X ) ) )
104103ex 425 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  ->  ( ( -u M  e.  NN0  /\  -u N  e.  NN0 )  ->  ( ( M  x.  N )  .x.  X
)  =  ( M 
.x.  ( N  .x.  X ) ) ) )
10518, 58, 77, 104ccased 915 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  ->  ( (
( M  e.  NN0  \/  -u M  e.  NN0 )  /\  ( N  e. 
NN0  \/  -u N  e. 
NN0 ) )  -> 
( ( M  x.  N )  .x.  X
)  =  ( M 
.x.  ( N  .x.  X ) ) ) )
1064, 8, 105mp2and 662 1  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  ->  ( ( M  x.  N )  .x.  X )  =  ( M  .x.  ( N 
.x.  X ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 359    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726   ` cfv 5457  (class class class)co 6084   RRcr 8994    x. cmul 9000   -ucneg 9297   NN0cn0 10226   ZZcz 10287   Basecbs 13474   Mndcmnd 14689   Grpcgrp 14690   inv gcminusg 14691  .gcmg 14694
This theorem is referenced by:  odmod  15189  odmulgid  15195  odbezout  15199  gexdvdsi  15222  pgpfac1lem2  15638  pgpfac1lem3a  15639  pgpfac1lem3  15640  mulgrhm  16792  zlmlmod  16809
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-inf2 7599  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-er 6908  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-nn 10006  df-n0 10227  df-z 10288  df-uz 10494  df-fz 11049  df-seq 11329  df-0g 13732  df-mnd 14695  df-grp 14817  df-minusg 14818  df-mulg 14820
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