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Theorem mulgass 14597
Description: Product of group multiples, generalized to  ZZ. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mulgass.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
mulgass.t  |-  .x.  =  (.g
`  G )
Assertion
Ref Expression
mulgass  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  ->  ( ( M  x.  N )  .x.  X )  =  ( M  .x.  ( N 
.x.  X ) ) )

Proof of Theorem mulgass
StepHypRef Expression
1 simpr1 961 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  ->  M  e.  ZZ )
2 elznn0 10038 . . . 4  |-  ( M  e.  ZZ  <->  ( M  e.  RR  /\  ( M  e.  NN0  \/  -u M  e.  NN0 ) ) )
32simprbi 450 . . 3  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( M  e.  NN0  \/  -u M  e.  NN0 ) )
41, 3syl 15 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  ->  ( M  e.  NN0  \/  -u M  e.  NN0 ) )
5 simpr2 962 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  ->  N  e.  ZZ )
6 elznn0 10038 . . . 4  |-  ( N  e.  ZZ  <->  ( N  e.  RR  /\  ( N  e.  NN0  \/  -u N  e.  NN0 ) ) )
76simprbi 450 . . 3  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( N  e.  NN0  \/  -u N  e.  NN0 ) )
85, 7syl 15 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  ->  ( N  e.  NN0  \/  -u N  e.  NN0 ) )
9 grpmnd 14494 . . . . . 6  |-  ( G  e.  Grp  ->  G  e.  Mnd )
109ad2antrr 706 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0 ) )  ->  G  e.  Mnd )
11 simprl 732 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0 ) )  ->  M  e.  NN0 )
12 simprr 733 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0 ) )  ->  N  e.  NN0 )
13 simplr3 999 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0 ) )  ->  X  e.  B )
14 mulgass.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  G
)
15 mulgass.t . . . . . 6  |-  .x.  =  (.g
`  G )
1614, 15mulgnn0ass 14596 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  X  e.  B )
)  ->  ( ( M  x.  N )  .x.  X )  =  ( M  .x.  ( N 
.x.  X ) ) )
1710, 11, 12, 13, 16syl13anc 1184 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0 ) )  -> 
( ( M  x.  N )  .x.  X
)  =  ( M 
.x.  ( N  .x.  X ) ) )
1817ex 423 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  ->  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  ->  (
( M  x.  N
)  .x.  X )  =  ( M  .x.  ( N  .x.  X ) ) ) )
191zcnd 10118 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  ->  M  e.  CC )
205zcnd 10118 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  ->  N  e.  CC )
2119, 20mulneg1d 9232 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  ->  ( -u M  x.  N )  =  -u ( M  x.  N
) )
2221adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  /\  ( -u M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0 ) )  -> 
( -u M  x.  N
)  =  -u ( M  x.  N )
)
2322oveq1d 5873 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  /\  ( -u M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0 ) )  -> 
( ( -u M  x.  N )  .x.  X
)  =  ( -u ( M  x.  N
)  .x.  X )
)
249ad2antrr 706 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  /\  ( -u M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0 ) )  ->  G  e.  Mnd )
25 simprl 732 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  /\  ( -u M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0 ) )  ->  -u M  e.  NN0 )
26 simprr 733 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  /\  ( -u M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0 ) )  ->  N  e.  NN0 )
27 simpr3 963 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  ->  X  e.  B )
2827adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  /\  ( -u M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0 ) )  ->  X  e.  B )
2914, 15mulgnn0ass 14596 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  ( -u M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  X  e.  B )
)  ->  ( ( -u M  x.  N ) 
.x.  X )  =  ( -u M  .x.  ( N  .x.  X ) ) )
3024, 25, 26, 28, 29syl13anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  /\  ( -u M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0 ) )  -> 
( ( -u M  x.  N )  .x.  X
)  =  ( -u M  .x.  ( N  .x.  X ) ) )
3123, 30eqtr3d 2317 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  /\  ( -u M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0 ) )  -> 
( -u ( M  x.  N )  .x.  X
)  =  ( -u M  .x.  ( N  .x.  X ) ) )
32 fveq2 5525 . . . . . . 7  |-  ( (
-u ( M  x.  N )  .x.  X
)  =  ( -u M  .x.  ( N  .x.  X ) )  -> 
( ( inv g `  G ) `  ( -u ( M  x.  N
)  .x.  X )
)  =  ( ( inv g `  G
) `  ( -u M  .x.  ( N  .x.  X
) ) ) )
33 simpl 443 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  ->  G  e.  Grp )
341, 5zmulcld 10123 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  ->  ( M  x.  N )  e.  ZZ )
35 eqid 2283 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( inv g `  G )  =  ( inv g `  G )
3614, 15, 35mulgneg 14585 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  x.  N
)  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  ->  ( -u ( M  x.  N )  .x.  X )  =  ( ( inv g `  G ) `  (
( M  x.  N
)  .x.  X )
) )
3733, 34, 27, 36syl3anc 1182 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  ->  ( -u ( M  x.  N )  .x.  X )  =  ( ( inv g `  G ) `  (
( M  x.  N
)  .x.  X )
) )
3837fveq2d 5529 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  ->  ( ( inv g `  G ) `
 ( -u ( M  x.  N )  .x.  X ) )  =  ( ( inv g `  G ) `  (
( inv g `  G ) `  (
( M  x.  N
)  .x.  X )
) ) )
3914, 15mulgcl 14584 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  x.  N
)  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  ->  ( ( M  x.  N )  .x.  X
)  e.  B )
4033, 34, 27, 39syl3anc 1182 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  ->  ( ( M  x.  N )  .x.  X )  e.  B
)
4114, 35grpinvinv 14535 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( ( M  x.  N )  .x.  X
)  e.  B )  ->  ( ( inv g `  G ) `
 ( ( inv g `  G ) `
 ( ( M  x.  N )  .x.  X ) ) )  =  ( ( M  x.  N )  .x.  X ) )
4240, 41syldan 456 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  ->  ( ( inv g `  G ) `
 ( ( inv g `  G ) `
 ( ( M  x.  N )  .x.  X ) ) )  =  ( ( M  x.  N )  .x.  X ) )
4338, 42eqtrd 2315 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  ->  ( ( inv g `  G ) `
 ( -u ( M  x.  N )  .x.  X ) )  =  ( ( M  x.  N )  .x.  X
) )
4414, 15mulgcl 14584 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  ->  ( N  .x.  X )  e.  B )
4533, 5, 27, 44syl3anc 1182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  ->  ( N  .x.  X )  e.  B
)
4614, 15, 35mulgneg 14585 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  M  e.  ZZ  /\  ( N  .x.  X )  e.  B )  ->  ( -u M  .x.  ( N 
.x.  X ) )  =  ( ( inv g `  G ) `
 ( M  .x.  ( N  .x.  X ) ) ) )
4733, 1, 45, 46syl3anc 1182 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  ->  ( -u M  .x.  ( N  .x.  X
) )  =  ( ( inv g `  G ) `  ( M  .x.  ( N  .x.  X ) ) ) )
4847fveq2d 5529 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  ->  ( ( inv g `  G ) `
 ( -u M  .x.  ( N  .x.  X
) ) )  =  ( ( inv g `  G ) `  (
( inv g `  G ) `  ( M  .x.  ( N  .x.  X ) ) ) ) )
4914, 15mulgcl 14584 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  M  e.  ZZ  /\  ( N  .x.  X )  e.  B )  ->  ( M  .x.  ( N  .x.  X ) )  e.  B )
5033, 1, 45, 49syl3anc 1182 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  ->  ( M  .x.  ( N  .x.  X
) )  e.  B
)
5114, 35grpinvinv 14535 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  .x.  ( N 
.x.  X ) )  e.  B )  -> 
( ( inv g `  G ) `  (
( inv g `  G ) `  ( M  .x.  ( N  .x.  X ) ) ) )  =  ( M 
.x.  ( N  .x.  X ) ) )
5250, 51syldan 456 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  ->  ( ( inv g `  G ) `
 ( ( inv g `  G ) `
 ( M  .x.  ( N  .x.  X ) ) ) )  =  ( M  .x.  ( N  .x.  X ) ) )
5348, 52eqtrd 2315 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  ->  ( ( inv g `  G ) `
 ( -u M  .x.  ( N  .x.  X
) ) )  =  ( M  .x.  ( N  .x.  X ) ) )
5443, 53eqeq12d 2297 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  ->  ( (
( inv g `  G ) `  ( -u ( M  x.  N
)  .x.  X )
)  =  ( ( inv g `  G
) `  ( -u M  .x.  ( N  .x.  X
) ) )  <->  ( ( M  x.  N )  .x.  X )  =  ( M  .x.  ( N 
.x.  X ) ) ) )
5532, 54syl5ib 210 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  ->  ( ( -u ( M  x.  N
)  .x.  X )  =  ( -u M  .x.  ( N  .x.  X
) )  ->  (
( M  x.  N
)  .x.  X )  =  ( M  .x.  ( N  .x.  X ) ) ) )
5655imp 418 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  /\  ( -u ( M  x.  N )  .x.  X )  =  (
-u M  .x.  ( N  .x.  X ) ) )  ->  ( ( M  x.  N )  .x.  X )  =  ( M  .x.  ( N 
.x.  X ) ) )
5731, 56syldan 456 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  /\  ( -u M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0 ) )  -> 
( ( M  x.  N )  .x.  X
)  =  ( M 
.x.  ( N  .x.  X ) ) )
5857ex 423 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  ->  ( ( -u M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ( M  x.  N )  .x.  X
)  =  ( M 
.x.  ( N  .x.  X ) ) ) )
599ad2antrr 706 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  /\  ( M  e.  NN0  /\  -u N  e.  NN0 ) )  ->  G  e.  Mnd )
60 simprl 732 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  /\  ( M  e.  NN0  /\  -u N  e.  NN0 ) )  ->  M  e.  NN0 )
61 simprr 733 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  /\  ( M  e.  NN0  /\  -u N  e.  NN0 ) )  ->  -u N  e.  NN0 )
6227adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  /\  ( M  e.  NN0  /\  -u N  e.  NN0 ) )  ->  X  e.  B )
6314, 15mulgnn0ass 14596 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  ( M  e.  NN0  /\  -u N  e.  NN0  /\  X  e.  B ) )  ->  ( ( M  x.  -u N ) 
.x.  X )  =  ( M  .x.  ( -u N  .x.  X ) ) )
6459, 60, 61, 62, 63syl13anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  /\  ( M  e.  NN0  /\  -u N  e.  NN0 ) )  -> 
( ( M  x.  -u N )  .x.  X
)  =  ( M 
.x.  ( -u N  .x.  X ) ) )
6519, 20mulneg2d 9233 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  ->  ( M  x.  -u N )  = 
-u ( M  x.  N ) )
6665adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  /\  ( M  e.  NN0  /\  -u N  e.  NN0 ) )  -> 
( M  x.  -u N
)  =  -u ( M  x.  N )
)
6766oveq1d 5873 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  /\  ( M  e.  NN0  /\  -u N  e.  NN0 ) )  -> 
( ( M  x.  -u N )  .x.  X
)  =  ( -u ( M  x.  N
)  .x.  X )
)
6814, 15, 35mulgneg 14585 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  ->  ( -u N  .x.  X )  =  ( ( inv g `  G ) `
 ( N  .x.  X ) ) )
6933, 5, 27, 68syl3anc 1182 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  ->  ( -u N  .x.  X )  =  ( ( inv g `  G ) `  ( N  .x.  X ) ) )
7069oveq2d 5874 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  ->  ( M  .x.  ( -u N  .x.  X ) )  =  ( M  .x.  (
( inv g `  G ) `  ( N  .x.  X ) ) ) )
7114, 15, 35mulgneg2 14594 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  M  e.  ZZ  /\  ( N  .x.  X )  e.  B )  ->  ( -u M  .x.  ( N 
.x.  X ) )  =  ( M  .x.  ( ( inv g `  G ) `  ( N  .x.  X ) ) ) )
7233, 1, 45, 71syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  ->  ( -u M  .x.  ( N  .x.  X
) )  =  ( M  .x.  ( ( inv g `  G
) `  ( N  .x.  X ) ) ) )
7370, 72eqtr4d 2318 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  ->  ( M  .x.  ( -u N  .x.  X ) )  =  ( -u M  .x.  ( N  .x.  X ) ) )
7473adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  /\  ( M  e.  NN0  /\  -u N  e.  NN0 ) )  -> 
( M  .x.  ( -u N  .x.  X ) )  =  ( -u M  .x.  ( N  .x.  X ) ) )
7564, 67, 743eqtr3d 2323 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  /\  ( M  e.  NN0  /\  -u N  e.  NN0 ) )  -> 
( -u ( M  x.  N )  .x.  X
)  =  ( -u M  .x.  ( N  .x.  X ) ) )
7675, 56syldan 456 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  /\  ( M  e.  NN0  /\  -u N  e.  NN0 ) )  -> 
( ( M  x.  N )  .x.  X
)  =  ( M 
.x.  ( N  .x.  X ) ) )
7776ex 423 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  ->  ( ( M  e.  NN0  /\  -u N  e.  NN0 )  ->  (
( M  x.  N
)  .x.  X )  =  ( M  .x.  ( N  .x.  X ) ) ) )
789ad2antrr 706 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  /\  ( -u M  e.  NN0  /\  -u N  e.  NN0 ) )  ->  G  e.  Mnd )
79 simprl 732 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  /\  ( -u M  e.  NN0  /\  -u N  e.  NN0 ) )  ->  -u M  e.  NN0 )
80 simprr 733 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  /\  ( -u M  e.  NN0  /\  -u N  e.  NN0 ) )  ->  -u N  e.  NN0 )
8127adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  /\  ( -u M  e.  NN0  /\  -u N  e.  NN0 ) )  ->  X  e.  B )
8214, 15mulgnn0ass 14596 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  ( -u M  e.  NN0  /\  -u N  e.  NN0  /\  X  e.  B ) )  ->  ( ( -u M  x.  -u N
)  .x.  X )  =  ( -u M  .x.  ( -u N  .x.  X ) ) )
8378, 79, 80, 81, 82syl13anc 1184 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  /\  ( -u M  e.  NN0  /\  -u N  e.  NN0 ) )  -> 
( ( -u M  x.  -u N )  .x.  X )  =  (
-u M  .x.  ( -u N  .x.  X ) ) )
8419, 20mul2negd 9234 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  ->  ( -u M  x.  -u N )  =  ( M  x.  N
) )
8584oveq1d 5873 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  ->  ( ( -u M  x.  -u N
)  .x.  X )  =  ( ( M  x.  N )  .x.  X ) )
8685adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  /\  ( -u M  e.  NN0  /\  -u N  e.  NN0 ) )  -> 
( ( -u M  x.  -u N )  .x.  X )  =  ( ( M  x.  N
)  .x.  X )
)
8733adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  /\  ( -u M  e.  NN0  /\  -u N  e.  NN0 ) )  ->  G  e.  Grp )
881adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  /\  ( -u M  e.  NN0  /\  -u N  e.  NN0 ) )  ->  M  e.  ZZ )
89 nn0z 10046 . . . . . . . . 9  |-  ( -u N  e.  NN0  ->  -u N  e.  ZZ )
9089ad2antll 709 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  /\  ( -u M  e.  NN0  /\  -u N  e.  NN0 ) )  ->  -u N  e.  ZZ )
9114, 15mulgcl 14584 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  -u N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  ->  ( -u N  .x.  X )  e.  B
)
9287, 90, 81, 91syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  /\  ( -u M  e.  NN0  /\  -u N  e.  NN0 ) )  -> 
( -u N  .x.  X
)  e.  B )
9314, 15, 35mulgneg2 14594 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  M  e.  ZZ  /\  ( -u N  .x.  X )  e.  B )  -> 
( -u M  .x.  ( -u N  .x.  X ) )  =  ( M 
.x.  ( ( inv g `  G ) `
 ( -u N  .x.  X ) ) ) )
9487, 88, 92, 93syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  /\  ( -u M  e.  NN0  /\  -u N  e.  NN0 ) )  -> 
( -u M  .x.  ( -u N  .x.  X ) )  =  ( M 
.x.  ( ( inv g `  G ) `
 ( -u N  .x.  X ) ) ) )
9514, 15, 35mulgneg 14585 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  -u N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  ->  ( -u -u N  .x.  X )  =  ( ( inv g `  G ) `  ( -u N  .x.  X ) ) )
9687, 90, 81, 95syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  /\  ( -u M  e.  NN0  /\  -u N  e.  NN0 ) )  -> 
( -u -u N  .x.  X
)  =  ( ( inv g `  G
) `  ( -u N  .x.  X ) ) )
9720negnegd 9148 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  ->  -u -u N  =  N )
9897adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  /\  ( -u M  e.  NN0  /\  -u N  e.  NN0 ) )  ->  -u -u N  =  N
)
9998oveq1d 5873 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  /\  ( -u M  e.  NN0  /\  -u N  e.  NN0 ) )  -> 
( -u -u N  .x.  X
)  =  ( N 
.x.  X ) )
10096, 99eqtr3d 2317 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  /\  ( -u M  e.  NN0  /\  -u N  e.  NN0 ) )  -> 
( ( inv g `  G ) `  ( -u N  .x.  X ) )  =  ( N 
.x.  X ) )
101100oveq2d 5874 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  /\  ( -u M  e.  NN0  /\  -u N  e.  NN0 ) )  -> 
( M  .x.  (
( inv g `  G ) `  ( -u N  .x.  X ) ) )  =  ( M  .x.  ( N 
.x.  X ) ) )
10294, 101eqtrd 2315 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  /\  ( -u M  e.  NN0  /\  -u N  e.  NN0 ) )  -> 
( -u M  .x.  ( -u N  .x.  X ) )  =  ( M 
.x.  ( N  .x.  X ) ) )
10383, 86, 1023eqtr3d 2323 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  /\  ( -u M  e.  NN0  /\  -u N  e.  NN0 ) )  -> 
( ( M  x.  N )  .x.  X
)  =  ( M 
.x.  ( N  .x.  X ) ) )
104103ex 423 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  ->  ( ( -u M  e.  NN0  /\  -u N  e.  NN0 )  ->  ( ( M  x.  N )  .x.  X
)  =  ( M 
.x.  ( N  .x.  X ) ) ) )
10518, 58, 77, 104ccased 913 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  ->  ( (
( M  e.  NN0  \/  -u M  e.  NN0 )  /\  ( N  e. 
NN0  \/  -u N  e. 
NN0 ) )  -> 
( ( M  x.  N )  .x.  X
)  =  ( M 
.x.  ( N  .x.  X ) ) ) )
1064, 8, 105mp2and 660 1  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  ->  ( ( M  x.  N )  .x.  X )  =  ( M  .x.  ( N 
.x.  X ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 357    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   RRcr 8736    x. cmul 8742   -ucneg 9038   NN0cn0 9965   ZZcz 10024   Basecbs 13148   Mndcmnd 14361   Grpcgrp 14362   inv gcminusg 14363  .gcmg 14366
This theorem is referenced by:  odmod  14861  odmulgid  14867  odbezout  14871  gexdvdsi  14894  pgpfac1lem2  15310  pgpfac1lem3a  15311  pgpfac1lem3  15312  mulgrhm  16460  zlmlmod  16477
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-fz 10783  df-seq 11047  df-0g 13404  df-mnd 14367  df-grp 14489  df-minusg 14490  df-mulg 14492
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