MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulgass Unicode version

Theorem mulgass 14879
Description: Product of group multiples, generalized to  ZZ. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mulgass.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
mulgass.t  |-  .x.  =  (.g
`  G )
Assertion
Ref Expression
mulgass  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  ->  ( ( M  x.  N )  .x.  X )  =  ( M  .x.  ( N 
.x.  X ) ) )

Proof of Theorem mulgass
StepHypRef Expression
1 simpr1 963 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  ->  M  e.  ZZ )
2 elznn0 10256 . . . 4  |-  ( M  e.  ZZ  <->  ( M  e.  RR  /\  ( M  e.  NN0  \/  -u M  e.  NN0 ) ) )
32simprbi 451 . . 3  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( M  e.  NN0  \/  -u M  e.  NN0 ) )
41, 3syl 16 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  ->  ( M  e.  NN0  \/  -u M  e.  NN0 ) )
5 simpr2 964 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  ->  N  e.  ZZ )
6 elznn0 10256 . . . 4  |-  ( N  e.  ZZ  <->  ( N  e.  RR  /\  ( N  e.  NN0  \/  -u N  e.  NN0 ) ) )
76simprbi 451 . . 3  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( N  e.  NN0  \/  -u N  e.  NN0 ) )
85, 7syl 16 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  ->  ( N  e.  NN0  \/  -u N  e.  NN0 ) )
9 grpmnd 14776 . . . . . 6  |-  ( G  e.  Grp  ->  G  e.  Mnd )
109ad2antrr 707 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0 ) )  ->  G  e.  Mnd )
11 simprl 733 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0 ) )  ->  M  e.  NN0 )
12 simprr 734 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0 ) )  ->  N  e.  NN0 )
13 simplr3 1001 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0 ) )  ->  X  e.  B )
14 mulgass.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  G
)
15 mulgass.t . . . . . 6  |-  .x.  =  (.g
`  G )
1614, 15mulgnn0ass 14878 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  X  e.  B )
)  ->  ( ( M  x.  N )  .x.  X )  =  ( M  .x.  ( N 
.x.  X ) ) )
1710, 11, 12, 13, 16syl13anc 1186 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0 ) )  -> 
( ( M  x.  N )  .x.  X
)  =  ( M 
.x.  ( N  .x.  X ) ) )
1817ex 424 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  ->  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  ->  (
( M  x.  N
)  .x.  X )  =  ( M  .x.  ( N  .x.  X ) ) ) )
191zcnd 10336 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  ->  M  e.  CC )
205zcnd 10336 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  ->  N  e.  CC )
2119, 20mulneg1d 9446 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  ->  ( -u M  x.  N )  =  -u ( M  x.  N
) )
2221adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  /\  ( -u M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0 ) )  -> 
( -u M  x.  N
)  =  -u ( M  x.  N )
)
2322oveq1d 6059 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  /\  ( -u M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0 ) )  -> 
( ( -u M  x.  N )  .x.  X
)  =  ( -u ( M  x.  N
)  .x.  X )
)
249ad2antrr 707 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  /\  ( -u M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0 ) )  ->  G  e.  Mnd )
25 simprl 733 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  /\  ( -u M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0 ) )  ->  -u M  e.  NN0 )
26 simprr 734 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  /\  ( -u M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0 ) )  ->  N  e.  NN0 )
27 simpr3 965 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  ->  X  e.  B )
2827adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  /\  ( -u M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0 ) )  ->  X  e.  B )
2914, 15mulgnn0ass 14878 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  ( -u M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  X  e.  B )
)  ->  ( ( -u M  x.  N ) 
.x.  X )  =  ( -u M  .x.  ( N  .x.  X ) ) )
3024, 25, 26, 28, 29syl13anc 1186 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  /\  ( -u M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0 ) )  -> 
( ( -u M  x.  N )  .x.  X
)  =  ( -u M  .x.  ( N  .x.  X ) ) )
3123, 30eqtr3d 2442 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  /\  ( -u M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0 ) )  -> 
( -u ( M  x.  N )  .x.  X
)  =  ( -u M  .x.  ( N  .x.  X ) ) )
32 fveq2 5691 . . . . . . 7  |-  ( (
-u ( M  x.  N )  .x.  X
)  =  ( -u M  .x.  ( N  .x.  X ) )  -> 
( ( inv g `  G ) `  ( -u ( M  x.  N
)  .x.  X )
)  =  ( ( inv g `  G
) `  ( -u M  .x.  ( N  .x.  X
) ) ) )
33 simpl 444 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  ->  G  e.  Grp )
341, 5zmulcld 10341 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  ->  ( M  x.  N )  e.  ZZ )
35 eqid 2408 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( inv g `  G )  =  ( inv g `  G )
3614, 15, 35mulgneg 14867 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  x.  N
)  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  ->  ( -u ( M  x.  N )  .x.  X )  =  ( ( inv g `  G ) `  (
( M  x.  N
)  .x.  X )
) )
3733, 34, 27, 36syl3anc 1184 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  ->  ( -u ( M  x.  N )  .x.  X )  =  ( ( inv g `  G ) `  (
( M  x.  N
)  .x.  X )
) )
3837fveq2d 5695 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  ->  ( ( inv g `  G ) `
 ( -u ( M  x.  N )  .x.  X ) )  =  ( ( inv g `  G ) `  (
( inv g `  G ) `  (
( M  x.  N
)  .x.  X )
) ) )
3914, 15mulgcl 14866 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  x.  N
)  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  ->  ( ( M  x.  N )  .x.  X
)  e.  B )
4033, 34, 27, 39syl3anc 1184 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  ->  ( ( M  x.  N )  .x.  X )  e.  B
)
4114, 35grpinvinv 14817 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( ( M  x.  N )  .x.  X
)  e.  B )  ->  ( ( inv g `  G ) `
 ( ( inv g `  G ) `
 ( ( M  x.  N )  .x.  X ) ) )  =  ( ( M  x.  N )  .x.  X ) )
4240, 41syldan 457 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  ->  ( ( inv g `  G ) `
 ( ( inv g `  G ) `
 ( ( M  x.  N )  .x.  X ) ) )  =  ( ( M  x.  N )  .x.  X ) )
4338, 42eqtrd 2440 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  ->  ( ( inv g `  G ) `
 ( -u ( M  x.  N )  .x.  X ) )  =  ( ( M  x.  N )  .x.  X
) )
4414, 15mulgcl 14866 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  ->  ( N  .x.  X )  e.  B )
4533, 5, 27, 44syl3anc 1184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  ->  ( N  .x.  X )  e.  B
)
4614, 15, 35mulgneg 14867 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  M  e.  ZZ  /\  ( N  .x.  X )  e.  B )  ->  ( -u M  .x.  ( N 
.x.  X ) )  =  ( ( inv g `  G ) `
 ( M  .x.  ( N  .x.  X ) ) ) )
4733, 1, 45, 46syl3anc 1184 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  ->  ( -u M  .x.  ( N  .x.  X
) )  =  ( ( inv g `  G ) `  ( M  .x.  ( N  .x.  X ) ) ) )
4847fveq2d 5695 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  ->  ( ( inv g `  G ) `
 ( -u M  .x.  ( N  .x.  X
) ) )  =  ( ( inv g `  G ) `  (
( inv g `  G ) `  ( M  .x.  ( N  .x.  X ) ) ) ) )
4914, 15mulgcl 14866 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  M  e.  ZZ  /\  ( N  .x.  X )  e.  B )  ->  ( M  .x.  ( N  .x.  X ) )  e.  B )
5033, 1, 45, 49syl3anc 1184 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  ->  ( M  .x.  ( N  .x.  X
) )  e.  B
)
5114, 35grpinvinv 14817 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  .x.  ( N 
.x.  X ) )  e.  B )  -> 
( ( inv g `  G ) `  (
( inv g `  G ) `  ( M  .x.  ( N  .x.  X ) ) ) )  =  ( M 
.x.  ( N  .x.  X ) ) )
5250, 51syldan 457 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  ->  ( ( inv g `  G ) `
 ( ( inv g `  G ) `
 ( M  .x.  ( N  .x.  X ) ) ) )  =  ( M  .x.  ( N  .x.  X ) ) )
5348, 52eqtrd 2440 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  ->  ( ( inv g `  G ) `
 ( -u M  .x.  ( N  .x.  X
) ) )  =  ( M  .x.  ( N  .x.  X ) ) )
5443, 53eqeq12d 2422 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  ->  ( (
( inv g `  G ) `  ( -u ( M  x.  N
)  .x.  X )
)  =  ( ( inv g `  G
) `  ( -u M  .x.  ( N  .x.  X
) ) )  <->  ( ( M  x.  N )  .x.  X )  =  ( M  .x.  ( N 
.x.  X ) ) ) )
5532, 54syl5ib 211 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  ->  ( ( -u ( M  x.  N
)  .x.  X )  =  ( -u M  .x.  ( N  .x.  X
) )  ->  (
( M  x.  N
)  .x.  X )  =  ( M  .x.  ( N  .x.  X ) ) ) )
5655imp 419 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  /\  ( -u ( M  x.  N )  .x.  X )  =  (
-u M  .x.  ( N  .x.  X ) ) )  ->  ( ( M  x.  N )  .x.  X )  =  ( M  .x.  ( N 
.x.  X ) ) )
5731, 56syldan 457 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  /\  ( -u M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0 ) )  -> 
( ( M  x.  N )  .x.  X
)  =  ( M 
.x.  ( N  .x.  X ) ) )
5857ex 424 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  ->  ( ( -u M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ( M  x.  N )  .x.  X
)  =  ( M 
.x.  ( N  .x.  X ) ) ) )
599ad2antrr 707 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  /\  ( M  e.  NN0  /\  -u N  e.  NN0 ) )  ->  G  e.  Mnd )
60 simprl 733 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  /\  ( M  e.  NN0  /\  -u N  e.  NN0 ) )  ->  M  e.  NN0 )
61 simprr 734 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  /\  ( M  e.  NN0  /\  -u N  e.  NN0 ) )  ->  -u N  e.  NN0 )
6227adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  /\  ( M  e.  NN0  /\  -u N  e.  NN0 ) )  ->  X  e.  B )
6314, 15mulgnn0ass 14878 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  ( M  e.  NN0  /\  -u N  e.  NN0  /\  X  e.  B ) )  ->  ( ( M  x.  -u N ) 
.x.  X )  =  ( M  .x.  ( -u N  .x.  X ) ) )
6459, 60, 61, 62, 63syl13anc 1186 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  /\  ( M  e.  NN0  /\  -u N  e.  NN0 ) )  -> 
( ( M  x.  -u N )  .x.  X
)  =  ( M 
.x.  ( -u N  .x.  X ) ) )
6519, 20mulneg2d 9447 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  ->  ( M  x.  -u N )  = 
-u ( M  x.  N ) )
6665adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  /\  ( M  e.  NN0  /\  -u N  e.  NN0 ) )  -> 
( M  x.  -u N
)  =  -u ( M  x.  N )
)
6766oveq1d 6059 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  /\  ( M  e.  NN0  /\  -u N  e.  NN0 ) )  -> 
( ( M  x.  -u N )  .x.  X
)  =  ( -u ( M  x.  N
)  .x.  X )
)
6814, 15, 35mulgneg 14867 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  ->  ( -u N  .x.  X )  =  ( ( inv g `  G ) `
 ( N  .x.  X ) ) )
6933, 5, 27, 68syl3anc 1184 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  ->  ( -u N  .x.  X )  =  ( ( inv g `  G ) `  ( N  .x.  X ) ) )
7069oveq2d 6060 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  ->  ( M  .x.  ( -u N  .x.  X ) )  =  ( M  .x.  (
( inv g `  G ) `  ( N  .x.  X ) ) ) )
7114, 15, 35mulgneg2 14876 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  M  e.  ZZ  /\  ( N  .x.  X )  e.  B )  ->  ( -u M  .x.  ( N 
.x.  X ) )  =  ( M  .x.  ( ( inv g `  G ) `  ( N  .x.  X ) ) ) )
7233, 1, 45, 71syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  ->  ( -u M  .x.  ( N  .x.  X
) )  =  ( M  .x.  ( ( inv g `  G
) `  ( N  .x.  X ) ) ) )
7370, 72eqtr4d 2443 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  ->  ( M  .x.  ( -u N  .x.  X ) )  =  ( -u M  .x.  ( N  .x.  X ) ) )
7473adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  /\  ( M  e.  NN0  /\  -u N  e.  NN0 ) )  -> 
( M  .x.  ( -u N  .x.  X ) )  =  ( -u M  .x.  ( N  .x.  X ) ) )
7564, 67, 743eqtr3d 2448 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  /\  ( M  e.  NN0  /\  -u N  e.  NN0 ) )  -> 
( -u ( M  x.  N )  .x.  X
)  =  ( -u M  .x.  ( N  .x.  X ) ) )
7675, 56syldan 457 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  /\  ( M  e.  NN0  /\  -u N  e.  NN0 ) )  -> 
( ( M  x.  N )  .x.  X
)  =  ( M 
.x.  ( N  .x.  X ) ) )
7776ex 424 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  ->  ( ( M  e.  NN0  /\  -u N  e.  NN0 )  ->  (
( M  x.  N
)  .x.  X )  =  ( M  .x.  ( N  .x.  X ) ) ) )
789ad2antrr 707 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  /\  ( -u M  e.  NN0  /\  -u N  e.  NN0 ) )  ->  G  e.  Mnd )
79 simprl 733 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  /\  ( -u M  e.  NN0  /\  -u N  e.  NN0 ) )  ->  -u M  e.  NN0 )
80 simprr 734 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  /\  ( -u M  e.  NN0  /\  -u N  e.  NN0 ) )  ->  -u N  e.  NN0 )
8127adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  /\  ( -u M  e.  NN0  /\  -u N  e.  NN0 ) )  ->  X  e.  B )
8214, 15mulgnn0ass 14878 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  ( -u M  e.  NN0  /\  -u N  e.  NN0  /\  X  e.  B ) )  ->  ( ( -u M  x.  -u N
)  .x.  X )  =  ( -u M  .x.  ( -u N  .x.  X ) ) )
8378, 79, 80, 81, 82syl13anc 1186 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  /\  ( -u M  e.  NN0  /\  -u N  e.  NN0 ) )  -> 
( ( -u M  x.  -u N )  .x.  X )  =  (
-u M  .x.  ( -u N  .x.  X ) ) )
8419, 20mul2negd 9448 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  ->  ( -u M  x.  -u N )  =  ( M  x.  N
) )
8584oveq1d 6059 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  ->  ( ( -u M  x.  -u N
)  .x.  X )  =  ( ( M  x.  N )  .x.  X ) )
8685adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  /\  ( -u M  e.  NN0  /\  -u N  e.  NN0 ) )  -> 
( ( -u M  x.  -u N )  .x.  X )  =  ( ( M  x.  N
)  .x.  X )
)
8733adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  /\  ( -u M  e.  NN0  /\  -u N  e.  NN0 ) )  ->  G  e.  Grp )
881adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  /\  ( -u M  e.  NN0  /\  -u N  e.  NN0 ) )  ->  M  e.  ZZ )
89 nn0z 10264 . . . . . . . . 9  |-  ( -u N  e.  NN0  ->  -u N  e.  ZZ )
9089ad2antll 710 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  /\  ( -u M  e.  NN0  /\  -u N  e.  NN0 ) )  ->  -u N  e.  ZZ )
9114, 15mulgcl 14866 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  -u N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  ->  ( -u N  .x.  X )  e.  B
)
9287, 90, 81, 91syl3anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  /\  ( -u M  e.  NN0  /\  -u N  e.  NN0 ) )  -> 
( -u N  .x.  X
)  e.  B )
9314, 15, 35mulgneg2 14876 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  M  e.  ZZ  /\  ( -u N  .x.  X )  e.  B )  -> 
( -u M  .x.  ( -u N  .x.  X ) )  =  ( M 
.x.  ( ( inv g `  G ) `
 ( -u N  .x.  X ) ) ) )
9487, 88, 92, 93syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  /\  ( -u M  e.  NN0  /\  -u N  e.  NN0 ) )  -> 
( -u M  .x.  ( -u N  .x.  X ) )  =  ( M 
.x.  ( ( inv g `  G ) `
 ( -u N  .x.  X ) ) ) )
9514, 15, 35mulgneg 14867 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  -u N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  ->  ( -u -u N  .x.  X )  =  ( ( inv g `  G ) `  ( -u N  .x.  X ) ) )
9687, 90, 81, 95syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  /\  ( -u M  e.  NN0  /\  -u N  e.  NN0 ) )  -> 
( -u -u N  .x.  X
)  =  ( ( inv g `  G
) `  ( -u N  .x.  X ) ) )
9720negnegd 9362 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  ->  -u -u N  =  N )
9897adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  /\  ( -u M  e.  NN0  /\  -u N  e.  NN0 ) )  ->  -u -u N  =  N
)
9998oveq1d 6059 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  /\  ( -u M  e.  NN0  /\  -u N  e.  NN0 ) )  -> 
( -u -u N  .x.  X
)  =  ( N 
.x.  X ) )
10096, 99eqtr3d 2442 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  /\  ( -u M  e.  NN0  /\  -u N  e.  NN0 ) )  -> 
( ( inv g `  G ) `  ( -u N  .x.  X ) )  =  ( N 
.x.  X ) )
101100oveq2d 6060 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  /\  ( -u M  e.  NN0  /\  -u N  e.  NN0 ) )  -> 
( M  .x.  (
( inv g `  G ) `  ( -u N  .x.  X ) ) )  =  ( M  .x.  ( N 
.x.  X ) ) )
10294, 101eqtrd 2440 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  /\  ( -u M  e.  NN0  /\  -u N  e.  NN0 ) )  -> 
( -u M  .x.  ( -u N  .x.  X ) )  =  ( M 
.x.  ( N  .x.  X ) ) )
10383, 86, 1023eqtr3d 2448 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  /\  ( -u M  e.  NN0  /\  -u N  e.  NN0 ) )  -> 
( ( M  x.  N )  .x.  X
)  =  ( M 
.x.  ( N  .x.  X ) ) )
104103ex 424 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  ->  ( ( -u M  e.  NN0  /\  -u N  e.  NN0 )  ->  ( ( M  x.  N )  .x.  X
)  =  ( M 
.x.  ( N  .x.  X ) ) ) )
10518, 58, 77, 104ccased 914 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  ->  ( (
( M  e.  NN0  \/  -u M  e.  NN0 )  /\  ( N  e. 
NN0  \/  -u N  e. 
NN0 ) )  -> 
( ( M  x.  N )  .x.  X
)  =  ( M 
.x.  ( N  .x.  X ) ) ) )
1064, 8, 105mp2and 661 1  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  ->  ( ( M  x.  N )  .x.  X )  =  ( M  .x.  ( N 
.x.  X ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 358    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721   ` cfv 5417  (class class class)co 6044   RRcr 8949    x. cmul 8955   -ucneg 9252   NN0cn0 10181   ZZcz 10242   Basecbs 13428   Mndcmnd 14643   Grpcgrp 14644   inv gcminusg 14645  .gcmg 14648
This theorem is referenced by:  odmod  15143  odmulgid  15149  odbezout  15153  gexdvdsi  15176  pgpfac1lem2  15592  pgpfac1lem3a  15593  pgpfac1lem3  15594  mulgrhm  16746  zlmlmod  16763
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2389  ax-rep 4284  ax-sep 4294  ax-nul 4302  ax-pow 4341  ax-pr 4367  ax-un 4664  ax-inf2 7556  ax-cnex 9006  ax-resscn 9007  ax-1cn 9008  ax-icn 9009  ax-addcl 9010  ax-addrcl 9011  ax-mulcl 9012  ax-mulrcl 9013  ax-mulcom 9014  ax-addass 9015  ax-mulass 9016  ax-distr 9017  ax-i2m1 9018  ax-1ne0 9019  ax-1rid 9020  ax-rnegex 9021  ax-rrecex 9022  ax-cnre 9023  ax-pre-lttri 9024  ax-pre-lttrn 9025  ax-pre-ltadd 9026  ax-pre-mulgt0 9027
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2262  df-mo 2263  df-clab 2395  df-cleq 2401  df-clel 2404  df-nfc 2533  df-ne 2573  df-nel 2574  df-ral 2675  df-rex 2676  df-reu 2677  df-rmo 2678  df-rab 2679  df-v 2922  df-sbc 3126  df-csb 3216  df-dif 3287  df-un 3289  df-in 3291  df-ss 3298  df-pss 3300  df-nul 3593  df-if 3704  df-pw 3765  df-sn 3784  df-pr 3785  df-tp 3786  df-op 3787  df-uni 3980  df-iun 4059  df-br 4177  df-opab 4231  df-mpt 4232  df-tr 4267  df-eprel 4458  df-id 4462  df-po 4467  df-so 4468  df-fr 4505  df-we 4507  df-ord 4548  df-on 4549  df-lim 4550  df-suc 4551  df-om 4809  df-xp 4847  df-rel 4848  df-cnv 4849  df-co 4850  df-dm 4851  df-rn 4852  df-res 4853  df-ima 4854  df-iota 5381  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-ov 6047  df-oprab 6048  df-mpt2 6049  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-riota 6512  df-recs 6596  df-rdg 6631  df-er 6868  df-en 7073  df-dom 7074  df-sdom 7075  df-pnf 9082  df-mnf 9083  df-xr 9084  df-ltxr 9085  df-le 9086  df-sub 9253  df-neg 9254  df-nn 9961  df-n0 10182  df-z 10243  df-uz 10449  df-fz 11004  df-seq 11283  df-0g 13686  df-mnd 14649  df-grp 14771  df-minusg 14772  df-mulg 14774
  Copyright terms: Public domain W3C validator