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Theorem mulgass2 15702
Description: An associative property between group multiple and ring multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mulgass2.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
mulgass2.m  |-  .x.  =  (.g
`  R )
mulgass2.t  |-  .X.  =  ( .r `  R )
Assertion
Ref Expression
mulgass2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( N  e.  ZZ  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( ( N  .x.  X )  .X.  Y
)  =  ( N 
.x.  ( X  .X.  Y ) ) )

Proof of Theorem mulgass2
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 6080 . . . . . . 7  |-  ( x  =  0  ->  (
x  .x.  X )  =  ( 0  .x. 
X ) )
21oveq1d 6088 . . . . . 6  |-  ( x  =  0  ->  (
( x  .x.  X
)  .X.  Y )  =  ( ( 0 
.x.  X )  .X.  Y ) )
3 oveq1 6080 . . . . . 6  |-  ( x  =  0  ->  (
x  .x.  ( X  .X.  Y ) )  =  ( 0  .x.  ( X  .X.  Y ) ) )
42, 3eqeq12d 2449 . . . . 5  |-  ( x  =  0  ->  (
( ( x  .x.  X )  .X.  Y
)  =  ( x 
.x.  ( X  .X.  Y ) )  <->  ( (
0  .x.  X )  .X.  Y )  =  ( 0  .x.  ( X 
.X.  Y ) ) ) )
5 oveq1 6080 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  (
x  .x.  X )  =  ( y  .x.  X ) )
65oveq1d 6088 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
( x  .x.  X
)  .X.  Y )  =  ( ( y 
.x.  X )  .X.  Y ) )
7 oveq1 6080 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
x  .x.  ( X  .X.  Y ) )  =  ( y  .x.  ( X  .X.  Y ) ) )
86, 7eqeq12d 2449 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( x  .x.  X )  .X.  Y
)  =  ( x 
.x.  ( X  .X.  Y ) )  <->  ( (
y  .x.  X )  .X.  Y )  =  ( y  .x.  ( X 
.X.  Y ) ) ) )
9 oveq1 6080 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  (
x  .x.  X )  =  ( ( y  +  1 )  .x.  X ) )
109oveq1d 6088 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  (
( x  .x.  X
)  .X.  Y )  =  ( ( ( y  +  1 ) 
.x.  X )  .X.  Y ) )
11 oveq1 6080 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  (
x  .x.  ( X  .X.  Y ) )  =  ( ( y  +  1 )  .x.  ( X  .X.  Y ) ) )
1210, 11eqeq12d 2449 . . . . 5  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  (
( ( x  .x.  X )  .X.  Y
)  =  ( x 
.x.  ( X  .X.  Y ) )  <->  ( (
( y  +  1 )  .x.  X ) 
.X.  Y )  =  ( ( y  +  1 )  .x.  ( X  .X.  Y ) ) ) )
13 oveq1 6080 . . . . . . 7  |-  ( x  =  -u y  ->  (
x  .x.  X )  =  ( -u y  .x.  X ) )
1413oveq1d 6088 . . . . . 6  |-  ( x  =  -u y  ->  (
( x  .x.  X
)  .X.  Y )  =  ( ( -u y  .x.  X )  .X.  Y ) )
15 oveq1 6080 . . . . . 6  |-  ( x  =  -u y  ->  (
x  .x.  ( X  .X.  Y ) )  =  ( -u y  .x.  ( X  .X.  Y ) ) )
1614, 15eqeq12d 2449 . . . . 5  |-  ( x  =  -u y  ->  (
( ( x  .x.  X )  .X.  Y
)  =  ( x 
.x.  ( X  .X.  Y ) )  <->  ( ( -u y  .x.  X ) 
.X.  Y )  =  ( -u y  .x.  ( X  .X.  Y ) ) ) )
17 oveq1 6080 . . . . . . 7  |-  ( x  =  N  ->  (
x  .x.  X )  =  ( N  .x.  X ) )
1817oveq1d 6088 . . . . . 6  |-  ( x  =  N  ->  (
( x  .x.  X
)  .X.  Y )  =  ( ( N 
.x.  X )  .X.  Y ) )
19 oveq1 6080 . . . . . 6  |-  ( x  =  N  ->  (
x  .x.  ( X  .X.  Y ) )  =  ( N  .x.  ( X  .X.  Y ) ) )
2018, 19eqeq12d 2449 . . . . 5  |-  ( x  =  N  ->  (
( ( x  .x.  X )  .X.  Y
)  =  ( x 
.x.  ( X  .X.  Y ) )  <->  ( ( N  .x.  X )  .X.  Y )  =  ( N  .x.  ( X 
.X.  Y ) ) ) )
21 mulgass2.b . . . . . . . 8  |-  B  =  ( Base `  R
)
22 mulgass2.t . . . . . . . 8  |-  .X.  =  ( .r `  R )
23 eqid 2435 . . . . . . . 8  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
2421, 22, 23rnglz 15692 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  Y  e.  B )  ->  (
( 0g `  R
)  .X.  Y )  =  ( 0g `  R ) )
25243adant3 977 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  Y  e.  B  /\  X  e.  B )  ->  (
( 0g `  R
)  .X.  Y )  =  ( 0g `  R ) )
26 simp3 959 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  Y  e.  B  /\  X  e.  B )  ->  X  e.  B )
27 mulgass2.m . . . . . . . . 9  |-  .x.  =  (.g
`  R )
2821, 23, 27mulg0 14887 . . . . . . . 8  |-  ( X  e.  B  ->  (
0  .x.  X )  =  ( 0g `  R ) )
2926, 28syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  Y  e.  B  /\  X  e.  B )  ->  (
0  .x.  X )  =  ( 0g `  R ) )
3029oveq1d 6088 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  Y  e.  B  /\  X  e.  B )  ->  (
( 0  .x.  X
)  .X.  Y )  =  ( ( 0g
`  R )  .X.  Y ) )
3121, 22rngcl 15669 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .X.  Y )  e.  B )
32313com23 1159 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  Y  e.  B  /\  X  e.  B )  ->  ( X  .X.  Y )  e.  B )
3321, 23, 27mulg0 14887 . . . . . . 7  |-  ( ( X  .X.  Y )  e.  B  ->  ( 0 
.x.  ( X  .X.  Y ) )  =  ( 0g `  R
) )
3432, 33syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  Y  e.  B  /\  X  e.  B )  ->  (
0  .x.  ( X  .X.  Y ) )  =  ( 0g `  R
) )
3525, 30, 343eqtr4d 2477 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  Y  e.  B  /\  X  e.  B )  ->  (
( 0  .x.  X
)  .X.  Y )  =  ( 0  .x.  ( X  .X.  Y
) ) )
36 oveq1 6080 . . . . . . 7  |-  ( ( ( y  .x.  X
)  .X.  Y )  =  ( y  .x.  ( X  .X.  Y ) )  ->  ( (
( y  .x.  X
)  .X.  Y )
( +g  `  R ) ( X  .X.  Y
) )  =  ( ( y  .x.  ( X  .X.  Y ) ) ( +g  `  R
) ( X  .X.  Y ) ) )
37 simpl1 960 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  Y  e.  B  /\  X  e.  B )  /\  y  e.  NN0 )  ->  R  e.  Ring )
38 rnggrp 15661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Grp )
3937, 38syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  Y  e.  B  /\  X  e.  B )  /\  y  e.  NN0 )  ->  R  e.  Grp )
40 nn0z 10296 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  NN0  ->  y  e.  ZZ )
4140adantl 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  Y  e.  B  /\  X  e.  B )  /\  y  e.  NN0 )  ->  y  e.  ZZ )
4226adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  Y  e.  B  /\  X  e.  B )  /\  y  e.  NN0 )  ->  X  e.  B
)
43 eqid 2435 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( +g  `  R )  =  ( +g  `  R )
4421, 27, 43mulgp1 14908 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  y  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  ->  (
( y  +  1 )  .x.  X )  =  ( ( y 
.x.  X ) ( +g  `  R ) X ) )
4539, 41, 42, 44syl3anc 1184 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  Y  e.  B  /\  X  e.  B )  /\  y  e.  NN0 )  ->  ( ( y  +  1 )  .x.  X )  =  ( ( y  .x.  X
) ( +g  `  R
) X ) )
4645oveq1d 6088 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  Y  e.  B  /\  X  e.  B )  /\  y  e.  NN0 )  ->  ( ( ( y  +  1 ) 
.x.  X )  .X.  Y )  =  ( ( ( y  .x.  X ) ( +g  `  R ) X ) 
.X.  Y ) )
47383ad2ant1 978 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  Y  e.  B  /\  X  e.  B )  ->  R  e.  Grp )
4847adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  Y  e.  B  /\  X  e.  B )  /\  y  e.  NN0 )  ->  R  e.  Grp )
4921, 27mulgcl 14899 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  y  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  ->  (
y  .x.  X )  e.  B )
5048, 41, 42, 49syl3anc 1184 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  Y  e.  B  /\  X  e.  B )  /\  y  e.  NN0 )  ->  ( y  .x.  X )  e.  B
)
51 simpl2 961 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  Y  e.  B  /\  X  e.  B )  /\  y  e.  NN0 )  ->  Y  e.  B
)
5221, 43, 22rngdir 15675 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
( y  .x.  X
)  e.  B  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )
)  ->  ( (
( y  .x.  X
) ( +g  `  R
) X )  .X.  Y )  =  ( ( ( y  .x.  X )  .X.  Y
) ( +g  `  R
) ( X  .X.  Y ) ) )
5337, 50, 42, 51, 52syl13anc 1186 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  Y  e.  B  /\  X  e.  B )  /\  y  e.  NN0 )  ->  ( ( ( y  .x.  X ) ( +g  `  R
) X )  .X.  Y )  =  ( ( ( y  .x.  X )  .X.  Y
) ( +g  `  R
) ( X  .X.  Y ) ) )
5446, 53eqtrd 2467 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  Y  e.  B  /\  X  e.  B )  /\  y  e.  NN0 )  ->  ( ( ( y  +  1 ) 
.x.  X )  .X.  Y )  =  ( ( ( y  .x.  X )  .X.  Y
) ( +g  `  R
) ( X  .X.  Y ) ) )
5532adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  Y  e.  B  /\  X  e.  B )  /\  y  e.  NN0 )  ->  ( X  .X.  Y )  e.  B
)
5621, 27, 43mulgp1 14908 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  y  e.  ZZ  /\  ( X  .X.  Y )  e.  B )  ->  (
( y  +  1 )  .x.  ( X 
.X.  Y ) )  =  ( ( y 
.x.  ( X  .X.  Y ) ) ( +g  `  R ) ( X  .X.  Y
) ) )
5739, 41, 55, 56syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  Y  e.  B  /\  X  e.  B )  /\  y  e.  NN0 )  ->  ( ( y  +  1 )  .x.  ( X  .X.  Y ) )  =  ( ( y  .x.  ( X 
.X.  Y ) ) ( +g  `  R
) ( X  .X.  Y ) ) )
5854, 57eqeq12d 2449 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  Y  e.  B  /\  X  e.  B )  /\  y  e.  NN0 )  ->  ( ( ( ( y  +  1 )  .x.  X ) 
.X.  Y )  =  ( ( y  +  1 )  .x.  ( X  .X.  Y ) )  <-> 
( ( ( y 
.x.  X )  .X.  Y ) ( +g  `  R ) ( X 
.X.  Y ) )  =  ( ( y 
.x.  ( X  .X.  Y ) ) ( +g  `  R ) ( X  .X.  Y
) ) ) )
5936, 58syl5ibr 213 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  Y  e.  B  /\  X  e.  B )  /\  y  e.  NN0 )  ->  ( ( ( y  .x.  X ) 
.X.  Y )  =  ( y  .x.  ( X  .X.  Y ) )  ->  ( ( ( y  +  1 ) 
.x.  X )  .X.  Y )  =  ( ( y  +  1 )  .x.  ( X 
.X.  Y ) ) ) )
6059ex 424 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  Y  e.  B  /\  X  e.  B )  ->  (
y  e.  NN0  ->  ( ( ( y  .x.  X )  .X.  Y
)  =  ( y 
.x.  ( X  .X.  Y ) )  -> 
( ( ( y  +  1 )  .x.  X )  .X.  Y
)  =  ( ( y  +  1 ) 
.x.  ( X  .X.  Y ) ) ) ) )
61 fveq2 5720 . . . . . . 7  |-  ( ( ( y  .x.  X
)  .X.  Y )  =  ( y  .x.  ( X  .X.  Y ) )  ->  ( ( inv g `  R ) `
 ( ( y 
.x.  X )  .X.  Y ) )  =  ( ( inv g `  R ) `  (
y  .x.  ( X  .X.  Y ) ) ) )
6247adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  Y  e.  B  /\  X  e.  B )  /\  y  e.  NN )  ->  R  e.  Grp )
63 nnz 10295 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  NN  ->  y  e.  ZZ )
6463adantl 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  Y  e.  B  /\  X  e.  B )  /\  y  e.  NN )  ->  y  e.  ZZ )
6526adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  Y  e.  B  /\  X  e.  B )  /\  y  e.  NN )  ->  X  e.  B
)
66 eqid 2435 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( inv g `  R )  =  ( inv g `  R )
6721, 27, 66mulgneg 14900 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  y  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  ->  ( -u y  .x.  X )  =  ( ( inv g `  R ) `
 ( y  .x.  X ) ) )
6862, 64, 65, 67syl3anc 1184 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  Y  e.  B  /\  X  e.  B )  /\  y  e.  NN )  ->  ( -u y  .x.  X )  =  ( ( inv g `  R ) `  (
y  .x.  X )
) )
6968oveq1d 6088 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  Y  e.  B  /\  X  e.  B )  /\  y  e.  NN )  ->  ( ( -u y  .x.  X )  .X.  Y )  =  ( ( ( inv g `  R ) `  (
y  .x.  X )
)  .X.  Y )
)
70 simpl1 960 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  Y  e.  B  /\  X  e.  B )  /\  y  e.  NN )  ->  R  e.  Ring )
7162, 64, 65, 49syl3anc 1184 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  Y  e.  B  /\  X  e.  B )  /\  y  e.  NN )  ->  ( y  .x.  X )  e.  B
)
72 simpl2 961 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  Y  e.  B  /\  X  e.  B )  /\  y  e.  NN )  ->  Y  e.  B
)
7321, 22, 66, 70, 71, 72rngmneg1 15697 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  Y  e.  B  /\  X  e.  B )  /\  y  e.  NN )  ->  ( ( ( inv g `  R
) `  ( y  .x.  X ) )  .X.  Y )  =  ( ( inv g `  R ) `  (
( y  .x.  X
)  .X.  Y )
) )
7469, 73eqtrd 2467 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  Y  e.  B  /\  X  e.  B )  /\  y  e.  NN )  ->  ( ( -u y  .x.  X )  .X.  Y )  =  ( ( inv g `  R ) `  (
( y  .x.  X
)  .X.  Y )
) )
7532adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  Y  e.  B  /\  X  e.  B )  /\  y  e.  NN )  ->  ( X  .X.  Y )  e.  B
)
7621, 27, 66mulgneg 14900 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  y  e.  ZZ  /\  ( X  .X.  Y )  e.  B )  ->  ( -u y  .x.  ( X 
.X.  Y ) )  =  ( ( inv g `  R ) `
 ( y  .x.  ( X  .X.  Y ) ) ) )
7762, 64, 75, 76syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  Y  e.  B  /\  X  e.  B )  /\  y  e.  NN )  ->  ( -u y  .x.  ( X  .X.  Y
) )  =  ( ( inv g `  R ) `  (
y  .x.  ( X  .X.  Y ) ) ) )
7874, 77eqeq12d 2449 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  Y  e.  B  /\  X  e.  B )  /\  y  e.  NN )  ->  ( ( (
-u y  .x.  X
)  .X.  Y )  =  ( -u y  .x.  ( X  .X.  Y
) )  <->  ( ( inv g `  R ) `
 ( ( y 
.x.  X )  .X.  Y ) )  =  ( ( inv g `  R ) `  (
y  .x.  ( X  .X.  Y ) ) ) ) )
7961, 78syl5ibr 213 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  Y  e.  B  /\  X  e.  B )  /\  y  e.  NN )  ->  ( ( ( y  .x.  X ) 
.X.  Y )  =  ( y  .x.  ( X  .X.  Y ) )  ->  ( ( -u y  .x.  X )  .X.  Y )  =  (
-u y  .x.  ( X  .X.  Y ) ) ) )
8079ex 424 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  Y  e.  B  /\  X  e.  B )  ->  (
y  e.  NN  ->  ( ( ( y  .x.  X )  .X.  Y
)  =  ( y 
.x.  ( X  .X.  Y ) )  -> 
( ( -u y  .x.  X )  .X.  Y
)  =  ( -u y  .x.  ( X  .X.  Y ) ) ) ) )
814, 8, 12, 16, 20, 35, 60, 80zindd 10363 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  Y  e.  B  /\  X  e.  B )  ->  ( N  e.  ZZ  ->  ( ( N  .x.  X
)  .X.  Y )  =  ( N  .x.  ( X  .X.  Y ) ) ) )
82813exp 1152 . . 3  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( Y  e.  B  ->  ( X  e.  B  ->  ( N  e.  ZZ  ->  ( ( N  .x.  X
)  .X.  Y )  =  ( N  .x.  ( X  .X.  Y ) ) ) ) ) )
8382com24 83 . 2  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( N  e.  ZZ  ->  ( X  e.  B  ->  ( Y  e.  B  -> 
( ( N  .x.  X )  .X.  Y
)  =  ( N 
.x.  ( X  .X.  Y ) ) ) ) ) )
84833imp2 1168 1  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( N  e.  ZZ  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( ( N  .x.  X )  .X.  Y
)  =  ( N 
.x.  ( X  .X.  Y ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   0cc0 8982   1c1 8983    + caddc 8985   -ucneg 9284   NNcn 9992   NN0cn0 10213   ZZcz 10274   Basecbs 13461   +g cplusg 13521   .rcmulr 13522   0gc0g 13715   Grpcgrp 14677   inv gcminusg 14678  .gcmg 14681   Ringcrg 15652
This theorem is referenced by:  mulgass3  15734  mulgrhm  16779  zlmassa  16797
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7588  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-2 10050  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-fz 11036  df-seq 11316  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-sets 13467  df-plusg 13534  df-0g 13719  df-mnd 14682  df-grp 14804  df-minusg 14805  df-mulg 14807  df-mgp 15641  df-rng 15655  df-ur 15657
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