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Theorem mulgass2 15715
Description: An associative property between group multiple and ring multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mulgass2.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
mulgass2.m  |-  .x.  =  (.g
`  R )
mulgass2.t  |-  .X.  =  ( .r `  R )
Assertion
Ref Expression
mulgass2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( N  e.  ZZ  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( ( N  .x.  X )  .X.  Y
)  =  ( N 
.x.  ( X  .X.  Y ) ) )

Proof of Theorem mulgass2
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 6091 . . . . . . 7  |-  ( x  =  0  ->  (
x  .x.  X )  =  ( 0  .x. 
X ) )
21oveq1d 6099 . . . . . 6  |-  ( x  =  0  ->  (
( x  .x.  X
)  .X.  Y )  =  ( ( 0 
.x.  X )  .X.  Y ) )
3 oveq1 6091 . . . . . 6  |-  ( x  =  0  ->  (
x  .x.  ( X  .X.  Y ) )  =  ( 0  .x.  ( X  .X.  Y ) ) )
42, 3eqeq12d 2452 . . . . 5  |-  ( x  =  0  ->  (
( ( x  .x.  X )  .X.  Y
)  =  ( x 
.x.  ( X  .X.  Y ) )  <->  ( (
0  .x.  X )  .X.  Y )  =  ( 0  .x.  ( X 
.X.  Y ) ) ) )
5 oveq1 6091 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  (
x  .x.  X )  =  ( y  .x.  X ) )
65oveq1d 6099 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
( x  .x.  X
)  .X.  Y )  =  ( ( y 
.x.  X )  .X.  Y ) )
7 oveq1 6091 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
x  .x.  ( X  .X.  Y ) )  =  ( y  .x.  ( X  .X.  Y ) ) )
86, 7eqeq12d 2452 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( x  .x.  X )  .X.  Y
)  =  ( x 
.x.  ( X  .X.  Y ) )  <->  ( (
y  .x.  X )  .X.  Y )  =  ( y  .x.  ( X 
.X.  Y ) ) ) )
9 oveq1 6091 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  (
x  .x.  X )  =  ( ( y  +  1 )  .x.  X ) )
109oveq1d 6099 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  (
( x  .x.  X
)  .X.  Y )  =  ( ( ( y  +  1 ) 
.x.  X )  .X.  Y ) )
11 oveq1 6091 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  (
x  .x.  ( X  .X.  Y ) )  =  ( ( y  +  1 )  .x.  ( X  .X.  Y ) ) )
1210, 11eqeq12d 2452 . . . . 5  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  (
( ( x  .x.  X )  .X.  Y
)  =  ( x 
.x.  ( X  .X.  Y ) )  <->  ( (
( y  +  1 )  .x.  X ) 
.X.  Y )  =  ( ( y  +  1 )  .x.  ( X  .X.  Y ) ) ) )
13 oveq1 6091 . . . . . . 7  |-  ( x  =  -u y  ->  (
x  .x.  X )  =  ( -u y  .x.  X ) )
1413oveq1d 6099 . . . . . 6  |-  ( x  =  -u y  ->  (
( x  .x.  X
)  .X.  Y )  =  ( ( -u y  .x.  X )  .X.  Y ) )
15 oveq1 6091 . . . . . 6  |-  ( x  =  -u y  ->  (
x  .x.  ( X  .X.  Y ) )  =  ( -u y  .x.  ( X  .X.  Y ) ) )
1614, 15eqeq12d 2452 . . . . 5  |-  ( x  =  -u y  ->  (
( ( x  .x.  X )  .X.  Y
)  =  ( x 
.x.  ( X  .X.  Y ) )  <->  ( ( -u y  .x.  X ) 
.X.  Y )  =  ( -u y  .x.  ( X  .X.  Y ) ) ) )
17 oveq1 6091 . . . . . . 7  |-  ( x  =  N  ->  (
x  .x.  X )  =  ( N  .x.  X ) )
1817oveq1d 6099 . . . . . 6  |-  ( x  =  N  ->  (
( x  .x.  X
)  .X.  Y )  =  ( ( N 
.x.  X )  .X.  Y ) )
19 oveq1 6091 . . . . . 6  |-  ( x  =  N  ->  (
x  .x.  ( X  .X.  Y ) )  =  ( N  .x.  ( X  .X.  Y ) ) )
2018, 19eqeq12d 2452 . . . . 5  |-  ( x  =  N  ->  (
( ( x  .x.  X )  .X.  Y
)  =  ( x 
.x.  ( X  .X.  Y ) )  <->  ( ( N  .x.  X )  .X.  Y )  =  ( N  .x.  ( X 
.X.  Y ) ) ) )
21 mulgass2.b . . . . . . . 8  |-  B  =  ( Base `  R
)
22 mulgass2.t . . . . . . . 8  |-  .X.  =  ( .r `  R )
23 eqid 2438 . . . . . . . 8  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
2421, 22, 23rnglz 15705 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  Y  e.  B )  ->  (
( 0g `  R
)  .X.  Y )  =  ( 0g `  R ) )
25243adant3 978 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  Y  e.  B  /\  X  e.  B )  ->  (
( 0g `  R
)  .X.  Y )  =  ( 0g `  R ) )
26 simp3 960 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  Y  e.  B  /\  X  e.  B )  ->  X  e.  B )
27 mulgass2.m . . . . . . . . 9  |-  .x.  =  (.g
`  R )
2821, 23, 27mulg0 14900 . . . . . . . 8  |-  ( X  e.  B  ->  (
0  .x.  X )  =  ( 0g `  R ) )
2926, 28syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  Y  e.  B  /\  X  e.  B )  ->  (
0  .x.  X )  =  ( 0g `  R ) )
3029oveq1d 6099 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  Y  e.  B  /\  X  e.  B )  ->  (
( 0  .x.  X
)  .X.  Y )  =  ( ( 0g
`  R )  .X.  Y ) )
3121, 22rngcl 15682 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .X.  Y )  e.  B )
32313com23 1160 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  Y  e.  B  /\  X  e.  B )  ->  ( X  .X.  Y )  e.  B )
3321, 23, 27mulg0 14900 . . . . . . 7  |-  ( ( X  .X.  Y )  e.  B  ->  ( 0 
.x.  ( X  .X.  Y ) )  =  ( 0g `  R
) )
3432, 33syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  Y  e.  B  /\  X  e.  B )  ->  (
0  .x.  ( X  .X.  Y ) )  =  ( 0g `  R
) )
3525, 30, 343eqtr4d 2480 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  Y  e.  B  /\  X  e.  B )  ->  (
( 0  .x.  X
)  .X.  Y )  =  ( 0  .x.  ( X  .X.  Y
) ) )
36 oveq1 6091 . . . . . . 7  |-  ( ( ( y  .x.  X
)  .X.  Y )  =  ( y  .x.  ( X  .X.  Y ) )  ->  ( (
( y  .x.  X
)  .X.  Y )
( +g  `  R ) ( X  .X.  Y
) )  =  ( ( y  .x.  ( X  .X.  Y ) ) ( +g  `  R
) ( X  .X.  Y ) ) )
37 simpl1 961 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  Y  e.  B  /\  X  e.  B )  /\  y  e.  NN0 )  ->  R  e.  Ring )
38 rnggrp 15674 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Grp )
3937, 38syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  Y  e.  B  /\  X  e.  B )  /\  y  e.  NN0 )  ->  R  e.  Grp )
40 nn0z 10309 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  NN0  ->  y  e.  ZZ )
4140adantl 454 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  Y  e.  B  /\  X  e.  B )  /\  y  e.  NN0 )  ->  y  e.  ZZ )
4226adantr 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  Y  e.  B  /\  X  e.  B )  /\  y  e.  NN0 )  ->  X  e.  B
)
43 eqid 2438 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( +g  `  R )  =  ( +g  `  R )
4421, 27, 43mulgp1 14921 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  y  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  ->  (
( y  +  1 )  .x.  X )  =  ( ( y 
.x.  X ) ( +g  `  R ) X ) )
4539, 41, 42, 44syl3anc 1185 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  Y  e.  B  /\  X  e.  B )  /\  y  e.  NN0 )  ->  ( ( y  +  1 )  .x.  X )  =  ( ( y  .x.  X
) ( +g  `  R
) X ) )
4645oveq1d 6099 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  Y  e.  B  /\  X  e.  B )  /\  y  e.  NN0 )  ->  ( ( ( y  +  1 ) 
.x.  X )  .X.  Y )  =  ( ( ( y  .x.  X ) ( +g  `  R ) X ) 
.X.  Y ) )
47383ad2ant1 979 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  Y  e.  B  /\  X  e.  B )  ->  R  e.  Grp )
4847adantr 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  Y  e.  B  /\  X  e.  B )  /\  y  e.  NN0 )  ->  R  e.  Grp )
4921, 27mulgcl 14912 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  y  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  ->  (
y  .x.  X )  e.  B )
5048, 41, 42, 49syl3anc 1185 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  Y  e.  B  /\  X  e.  B )  /\  y  e.  NN0 )  ->  ( y  .x.  X )  e.  B
)
51 simpl2 962 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  Y  e.  B  /\  X  e.  B )  /\  y  e.  NN0 )  ->  Y  e.  B
)
5221, 43, 22rngdir 15688 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
( y  .x.  X
)  e.  B  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )
)  ->  ( (
( y  .x.  X
) ( +g  `  R
) X )  .X.  Y )  =  ( ( ( y  .x.  X )  .X.  Y
) ( +g  `  R
) ( X  .X.  Y ) ) )
5337, 50, 42, 51, 52syl13anc 1187 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  Y  e.  B  /\  X  e.  B )  /\  y  e.  NN0 )  ->  ( ( ( y  .x.  X ) ( +g  `  R
) X )  .X.  Y )  =  ( ( ( y  .x.  X )  .X.  Y
) ( +g  `  R
) ( X  .X.  Y ) ) )
5446, 53eqtrd 2470 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  Y  e.  B  /\  X  e.  B )  /\  y  e.  NN0 )  ->  ( ( ( y  +  1 ) 
.x.  X )  .X.  Y )  =  ( ( ( y  .x.  X )  .X.  Y
) ( +g  `  R
) ( X  .X.  Y ) ) )
5532adantr 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  Y  e.  B  /\  X  e.  B )  /\  y  e.  NN0 )  ->  ( X  .X.  Y )  e.  B
)
5621, 27, 43mulgp1 14921 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  y  e.  ZZ  /\  ( X  .X.  Y )  e.  B )  ->  (
( y  +  1 )  .x.  ( X 
.X.  Y ) )  =  ( ( y 
.x.  ( X  .X.  Y ) ) ( +g  `  R ) ( X  .X.  Y
) ) )
5739, 41, 55, 56syl3anc 1185 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  Y  e.  B  /\  X  e.  B )  /\  y  e.  NN0 )  ->  ( ( y  +  1 )  .x.  ( X  .X.  Y ) )  =  ( ( y  .x.  ( X 
.X.  Y ) ) ( +g  `  R
) ( X  .X.  Y ) ) )
5854, 57eqeq12d 2452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  Y  e.  B  /\  X  e.  B )  /\  y  e.  NN0 )  ->  ( ( ( ( y  +  1 )  .x.  X ) 
.X.  Y )  =  ( ( y  +  1 )  .x.  ( X  .X.  Y ) )  <-> 
( ( ( y 
.x.  X )  .X.  Y ) ( +g  `  R ) ( X 
.X.  Y ) )  =  ( ( y 
.x.  ( X  .X.  Y ) ) ( +g  `  R ) ( X  .X.  Y
) ) ) )
5936, 58syl5ibr 214 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  Y  e.  B  /\  X  e.  B )  /\  y  e.  NN0 )  ->  ( ( ( y  .x.  X ) 
.X.  Y )  =  ( y  .x.  ( X  .X.  Y ) )  ->  ( ( ( y  +  1 ) 
.x.  X )  .X.  Y )  =  ( ( y  +  1 )  .x.  ( X 
.X.  Y ) ) ) )
6059ex 425 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  Y  e.  B  /\  X  e.  B )  ->  (
y  e.  NN0  ->  ( ( ( y  .x.  X )  .X.  Y
)  =  ( y 
.x.  ( X  .X.  Y ) )  -> 
( ( ( y  +  1 )  .x.  X )  .X.  Y
)  =  ( ( y  +  1 ) 
.x.  ( X  .X.  Y ) ) ) ) )
61 fveq2 5731 . . . . . . 7  |-  ( ( ( y  .x.  X
)  .X.  Y )  =  ( y  .x.  ( X  .X.  Y ) )  ->  ( ( inv g `  R ) `
 ( ( y 
.x.  X )  .X.  Y ) )  =  ( ( inv g `  R ) `  (
y  .x.  ( X  .X.  Y ) ) ) )
6247adantr 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  Y  e.  B  /\  X  e.  B )  /\  y  e.  NN )  ->  R  e.  Grp )
63 nnz 10308 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  NN  ->  y  e.  ZZ )
6463adantl 454 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  Y  e.  B  /\  X  e.  B )  /\  y  e.  NN )  ->  y  e.  ZZ )
6526adantr 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  Y  e.  B  /\  X  e.  B )  /\  y  e.  NN )  ->  X  e.  B
)
66 eqid 2438 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( inv g `  R )  =  ( inv g `  R )
6721, 27, 66mulgneg 14913 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  y  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  ->  ( -u y  .x.  X )  =  ( ( inv g `  R ) `
 ( y  .x.  X ) ) )
6862, 64, 65, 67syl3anc 1185 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  Y  e.  B  /\  X  e.  B )  /\  y  e.  NN )  ->  ( -u y  .x.  X )  =  ( ( inv g `  R ) `  (
y  .x.  X )
) )
6968oveq1d 6099 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  Y  e.  B  /\  X  e.  B )  /\  y  e.  NN )  ->  ( ( -u y  .x.  X )  .X.  Y )  =  ( ( ( inv g `  R ) `  (
y  .x.  X )
)  .X.  Y )
)
70 simpl1 961 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  Y  e.  B  /\  X  e.  B )  /\  y  e.  NN )  ->  R  e.  Ring )
7162, 64, 65, 49syl3anc 1185 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  Y  e.  B  /\  X  e.  B )  /\  y  e.  NN )  ->  ( y  .x.  X )  e.  B
)
72 simpl2 962 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  Y  e.  B  /\  X  e.  B )  /\  y  e.  NN )  ->  Y  e.  B
)
7321, 22, 66, 70, 71, 72rngmneg1 15710 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  Y  e.  B  /\  X  e.  B )  /\  y  e.  NN )  ->  ( ( ( inv g `  R
) `  ( y  .x.  X ) )  .X.  Y )  =  ( ( inv g `  R ) `  (
( y  .x.  X
)  .X.  Y )
) )
7469, 73eqtrd 2470 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  Y  e.  B  /\  X  e.  B )  /\  y  e.  NN )  ->  ( ( -u y  .x.  X )  .X.  Y )  =  ( ( inv g `  R ) `  (
( y  .x.  X
)  .X.  Y )
) )
7532adantr 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  Y  e.  B  /\  X  e.  B )  /\  y  e.  NN )  ->  ( X  .X.  Y )  e.  B
)
7621, 27, 66mulgneg 14913 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  y  e.  ZZ  /\  ( X  .X.  Y )  e.  B )  ->  ( -u y  .x.  ( X 
.X.  Y ) )  =  ( ( inv g `  R ) `
 ( y  .x.  ( X  .X.  Y ) ) ) )
7762, 64, 75, 76syl3anc 1185 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  Y  e.  B  /\  X  e.  B )  /\  y  e.  NN )  ->  ( -u y  .x.  ( X  .X.  Y
) )  =  ( ( inv g `  R ) `  (
y  .x.  ( X  .X.  Y ) ) ) )
7874, 77eqeq12d 2452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  Y  e.  B  /\  X  e.  B )  /\  y  e.  NN )  ->  ( ( (
-u y  .x.  X
)  .X.  Y )  =  ( -u y  .x.  ( X  .X.  Y
) )  <->  ( ( inv g `  R ) `
 ( ( y 
.x.  X )  .X.  Y ) )  =  ( ( inv g `  R ) `  (
y  .x.  ( X  .X.  Y ) ) ) ) )
7961, 78syl5ibr 214 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  Y  e.  B  /\  X  e.  B )  /\  y  e.  NN )  ->  ( ( ( y  .x.  X ) 
.X.  Y )  =  ( y  .x.  ( X  .X.  Y ) )  ->  ( ( -u y  .x.  X )  .X.  Y )  =  (
-u y  .x.  ( X  .X.  Y ) ) ) )
8079ex 425 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  Y  e.  B  /\  X  e.  B )  ->  (
y  e.  NN  ->  ( ( ( y  .x.  X )  .X.  Y
)  =  ( y 
.x.  ( X  .X.  Y ) )  -> 
( ( -u y  .x.  X )  .X.  Y
)  =  ( -u y  .x.  ( X  .X.  Y ) ) ) ) )
814, 8, 12, 16, 20, 35, 60, 80zindd 10376 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  Y  e.  B  /\  X  e.  B )  ->  ( N  e.  ZZ  ->  ( ( N  .x.  X
)  .X.  Y )  =  ( N  .x.  ( X  .X.  Y ) ) ) )
82813exp 1153 . . 3  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( Y  e.  B  ->  ( X  e.  B  ->  ( N  e.  ZZ  ->  ( ( N  .x.  X
)  .X.  Y )  =  ( N  .x.  ( X  .X.  Y ) ) ) ) ) )
8382com24 84 . 2  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( N  e.  ZZ  ->  ( X  e.  B  ->  ( Y  e.  B  -> 
( ( N  .x.  X )  .X.  Y
)  =  ( N 
.x.  ( X  .X.  Y ) ) ) ) ) )
84833imp2 1169 1  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( N  e.  ZZ  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( ( N  .x.  X )  .X.  Y
)  =  ( N 
.x.  ( X  .X.  Y ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726   ` cfv 5457  (class class class)co 6084   0cc0 8995   1c1 8996    + caddc 8998   -ucneg 9297   NNcn 10005   NN0cn0 10226   ZZcz 10287   Basecbs 13474   +g cplusg 13534   .rcmulr 13535   0gc0g 13728   Grpcgrp 14690   inv gcminusg 14691  .gcmg 14694   Ringcrg 15665
This theorem is referenced by:  mulgass3  15747  mulgrhm  16792  zlmassa  16810
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-inf2 7599  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-er 6908  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-nn 10006  df-2 10063  df-n0 10227  df-z 10288  df-uz 10494  df-fz 11049  df-seq 11329  df-ndx 13477  df-slot 13478  df-base 13479  df-sets 13480  df-plusg 13547  df-0g 13732  df-mnd 14695  df-grp 14817  df-minusg 14818  df-mulg 14820  df-mgp 15654  df-rng 15668  df-ur 15670
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