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Theorem mulgdi 15142
Description: Group multiple of a sum. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mulgdi.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
mulgdi.m  |-  .x.  =  (.g
`  G )
mulgdi.p  |-  .+  =  ( +g  `  G )
Assertion
Ref Expression
mulgdi  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( M  e.  ZZ  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( M  .x.  ( X  .+  Y ) )  =  ( ( M 
.x.  X )  .+  ( M  .x.  Y ) ) )

Proof of Theorem mulgdi
StepHypRef Expression
1 ablcmn 15111 . . . 4  |-  ( G  e.  Abel  ->  G  e. CMnd
)
21ad2antrr 706 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  ( M  e.  ZZ  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )
)  /\  M  e.  NN0 )  ->  G  e. CMnd )
3 simpr 447 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  ( M  e.  ZZ  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )
)  /\  M  e.  NN0 )  ->  M  e.  NN0 )
4 simplr2 998 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  ( M  e.  ZZ  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )
)  /\  M  e.  NN0 )  ->  X  e.  B )
5 simplr3 999 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  ( M  e.  ZZ  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )
)  /\  M  e.  NN0 )  ->  Y  e.  B )
6 mulgdi.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  G
)
7 mulgdi.m . . . 4  |-  .x.  =  (.g
`  G )
8 mulgdi.p . . . 4  |-  .+  =  ( +g  `  G )
96, 7, 8mulgnn0di 15141 . . 3  |-  ( ( G  e. CMnd  /\  ( M  e.  NN0  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( M  .x.  ( X  .+  Y ) )  =  ( ( M 
.x.  X )  .+  ( M  .x.  Y ) ) )
102, 3, 4, 5, 9syl13anc 1184 . 2  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  ( M  e.  ZZ  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )
)  /\  M  e.  NN0 )  ->  ( M  .x.  ( X  .+  Y
) )  =  ( ( M  .x.  X
)  .+  ( M  .x.  Y ) ) )
111ad2antrr 706 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  ( M  e.  ZZ  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )
)  /\  -u M  e. 
NN0 )  ->  G  e. CMnd )
12 simpr 447 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  ( M  e.  ZZ  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )
)  /\  -u M  e. 
NN0 )  ->  -u M  e.  NN0 )
13 simpr2 962 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( M  e.  ZZ  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  ->  X  e.  B )
1413adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  ( M  e.  ZZ  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )
)  /\  -u M  e. 
NN0 )  ->  X  e.  B )
15 simpr3 963 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( M  e.  ZZ  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  ->  Y  e.  B )
1615adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  ( M  e.  ZZ  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )
)  /\  -u M  e. 
NN0 )  ->  Y  e.  B )
176, 7, 8mulgnn0di 15141 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e. CMnd  /\  ( -u M  e.  NN0  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )
)  ->  ( -u M  .x.  ( X  .+  Y
) )  =  ( ( -u M  .x.  X )  .+  ( -u M  .x.  Y ) ) )
1811, 12, 14, 16, 17syl13anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  ( M  e.  ZZ  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )
)  /\  -u M  e. 
NN0 )  ->  ( -u M  .x.  ( X 
.+  Y ) )  =  ( ( -u M  .x.  X )  .+  ( -u M  .x.  Y
) ) )
19 ablgrp 15110 . . . . . . . . 9  |-  ( G  e.  Abel  ->  G  e. 
Grp )
2019adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( M  e.  ZZ  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  ->  G  e.  Grp )
21 simpr1 961 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( M  e.  ZZ  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  ->  M  e.  ZZ )
226, 8grpcl 14511 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .+  Y
)  e.  B )
2320, 13, 15, 22syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( M  e.  ZZ  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( X  .+  Y
)  e.  B )
24 eqid 2296 . . . . . . . . 9  |-  ( inv g `  G )  =  ( inv g `  G )
256, 7, 24mulgneg 14601 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  M  e.  ZZ  /\  ( X  .+  Y )  e.  B )  ->  ( -u M  .x.  ( X 
.+  Y ) )  =  ( ( inv g `  G ) `
 ( M  .x.  ( X  .+  Y ) ) ) )
2620, 21, 23, 25syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( M  e.  ZZ  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( -u M  .x.  ( X  .+  Y ) )  =  ( ( inv g `  G ) `
 ( M  .x.  ( X  .+  Y ) ) ) )
2726adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  ( M  e.  ZZ  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )
)  /\  -u M  e. 
NN0 )  ->  ( -u M  .x.  ( X 
.+  Y ) )  =  ( ( inv g `  G ) `
 ( M  .x.  ( X  .+  Y ) ) ) )
286, 7, 24mulgneg 14601 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  M  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  ->  ( -u M  .x.  X )  =  ( ( inv g `  G ) `
 ( M  .x.  X ) ) )
2920, 21, 13, 28syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( M  e.  ZZ  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( -u M  .x.  X
)  =  ( ( inv g `  G
) `  ( M  .x.  X ) ) )
306, 7, 24mulgneg 14601 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  M  e.  ZZ  /\  Y  e.  B )  ->  ( -u M  .x.  Y )  =  ( ( inv g `  G ) `
 ( M  .x.  Y ) ) )
3120, 21, 15, 30syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( M  e.  ZZ  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( -u M  .x.  Y
)  =  ( ( inv g `  G
) `  ( M  .x.  Y ) ) )
3229, 31oveq12d 5892 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( M  e.  ZZ  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( ( -u M  .x.  X )  .+  ( -u M  .x.  Y ) )  =  ( ( ( inv g `  G ) `  ( M  .x.  X ) ) 
.+  ( ( inv g `  G ) `
 ( M  .x.  Y ) ) ) )
3332adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  ( M  e.  ZZ  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )
)  /\  -u M  e. 
NN0 )  ->  (
( -u M  .x.  X
)  .+  ( -u M  .x.  Y ) )  =  ( ( ( inv g `  G ) `
 ( M  .x.  X ) )  .+  ( ( inv g `  G ) `  ( M  .x.  Y ) ) ) )
3418, 27, 333eqtr3d 2336 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  ( M  e.  ZZ  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )
)  /\  -u M  e. 
NN0 )  ->  (
( inv g `  G ) `  ( M  .x.  ( X  .+  Y ) ) )  =  ( ( ( inv g `  G
) `  ( M  .x.  X ) )  .+  ( ( inv g `  G ) `  ( M  .x.  Y ) ) ) )
35 simpl 443 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( M  e.  ZZ  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  ->  G  e.  Abel )
366, 7mulgcl 14600 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  M  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  ->  ( M  .x.  X )  e.  B )
3720, 21, 13, 36syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( M  e.  ZZ  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( M  .x.  X
)  e.  B )
386, 7mulgcl 14600 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  M  e.  ZZ  /\  Y  e.  B )  ->  ( M  .x.  Y )  e.  B )
3920, 21, 15, 38syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( M  e.  ZZ  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( M  .x.  Y
)  e.  B )
406, 8, 24ablinvadd 15127 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( M  .x.  X )  e.  B  /\  ( M 
.x.  Y )  e.  B )  ->  (
( inv g `  G ) `  (
( M  .x.  X
)  .+  ( M  .x.  Y ) ) )  =  ( ( ( inv g `  G
) `  ( M  .x.  X ) )  .+  ( ( inv g `  G ) `  ( M  .x.  Y ) ) ) )
4135, 37, 39, 40syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( M  e.  ZZ  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( ( inv g `  G ) `  (
( M  .x.  X
)  .+  ( M  .x.  Y ) ) )  =  ( ( ( inv g `  G
) `  ( M  .x.  X ) )  .+  ( ( inv g `  G ) `  ( M  .x.  Y ) ) ) )
4241adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  ( M  e.  ZZ  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )
)  /\  -u M  e. 
NN0 )  ->  (
( inv g `  G ) `  (
( M  .x.  X
)  .+  ( M  .x.  Y ) ) )  =  ( ( ( inv g `  G
) `  ( M  .x.  X ) )  .+  ( ( inv g `  G ) `  ( M  .x.  Y ) ) ) )
4334, 42eqtr4d 2331 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  ( M  e.  ZZ  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )
)  /\  -u M  e. 
NN0 )  ->  (
( inv g `  G ) `  ( M  .x.  ( X  .+  Y ) ) )  =  ( ( inv g `  G ) `
 ( ( M 
.x.  X )  .+  ( M  .x.  Y ) ) ) )
4443fveq2d 5545 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  ( M  e.  ZZ  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )
)  /\  -u M  e. 
NN0 )  ->  (
( inv g `  G ) `  (
( inv g `  G ) `  ( M  .x.  ( X  .+  Y ) ) ) )  =  ( ( inv g `  G
) `  ( ( inv g `  G ) `
 ( ( M 
.x.  X )  .+  ( M  .x.  Y ) ) ) ) )
4519ad2antrr 706 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  ( M  e.  ZZ  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )
)  /\  -u M  e. 
NN0 )  ->  G  e.  Grp )
466, 7mulgcl 14600 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  M  e.  ZZ  /\  ( X  .+  Y )  e.  B )  ->  ( M  .x.  ( X  .+  Y ) )  e.  B )
4720, 21, 23, 46syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( M  e.  ZZ  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( M  .x.  ( X  .+  Y ) )  e.  B )
4847adantr 451 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  ( M  e.  ZZ  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )
)  /\  -u M  e. 
NN0 )  ->  ( M  .x.  ( X  .+  Y ) )  e.  B )
496, 24grpinvinv 14551 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  .x.  ( X 
.+  Y ) )  e.  B )  -> 
( ( inv g `  G ) `  (
( inv g `  G ) `  ( M  .x.  ( X  .+  Y ) ) ) )  =  ( M 
.x.  ( X  .+  Y ) ) )
5045, 48, 49syl2anc 642 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  ( M  e.  ZZ  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )
)  /\  -u M  e. 
NN0 )  ->  (
( inv g `  G ) `  (
( inv g `  G ) `  ( M  .x.  ( X  .+  Y ) ) ) )  =  ( M 
.x.  ( X  .+  Y ) ) )
516, 8grpcl 14511 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  .x.  X )  e.  B  /\  ( M  .x.  Y )  e.  B )  ->  (
( M  .x.  X
)  .+  ( M  .x.  Y ) )  e.  B )
5220, 37, 39, 51syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( M  e.  ZZ  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( ( M  .x.  X )  .+  ( M  .x.  Y ) )  e.  B )
5352adantr 451 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  ( M  e.  ZZ  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )
)  /\  -u M  e. 
NN0 )  ->  (
( M  .x.  X
)  .+  ( M  .x.  Y ) )  e.  B )
546, 24grpinvinv 14551 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( ( M  .x.  X )  .+  ( M  .x.  Y ) )  e.  B )  -> 
( ( inv g `  G ) `  (
( inv g `  G ) `  (
( M  .x.  X
)  .+  ( M  .x.  Y ) ) ) )  =  ( ( M  .x.  X ) 
.+  ( M  .x.  Y ) ) )
5545, 53, 54syl2anc 642 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  ( M  e.  ZZ  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )
)  /\  -u M  e. 
NN0 )  ->  (
( inv g `  G ) `  (
( inv g `  G ) `  (
( M  .x.  X
)  .+  ( M  .x.  Y ) ) ) )  =  ( ( M  .x.  X ) 
.+  ( M  .x.  Y ) ) )
5644, 50, 553eqtr3d 2336 . 2  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  ( M  e.  ZZ  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )
)  /\  -u M  e. 
NN0 )  ->  ( M  .x.  ( X  .+  Y ) )  =  ( ( M  .x.  X )  .+  ( M  .x.  Y ) ) )
57 elznn0 10054 . . . 4  |-  ( M  e.  ZZ  <->  ( M  e.  RR  /\  ( M  e.  NN0  \/  -u M  e.  NN0 ) ) )
5857simprbi 450 . . 3  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( M  e.  NN0  \/  -u M  e.  NN0 ) )
5921, 58syl 15 . 2  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( M  e.  ZZ  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( M  e.  NN0  \/  -u M  e.  NN0 ) )
6010, 56, 59mpjaodan 761 1  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( M  e.  ZZ  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( M  .x.  ( X  .+  Y ) )  =  ( ( M 
.x.  X )  .+  ( M  .x.  Y ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 357    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   RRcr 8752   -ucneg 9054   NN0cn0 9981   ZZcz 10040   Basecbs 13164   +g cplusg 13224   Grpcgrp 14378   inv gcminusg 14379  .gcmg 14382  CMndccmn 15105   Abelcabel 15106
This theorem is referenced by:  mulgghm  15144  mulgsubdi  15145  odadd1  15156  odadd2  15157  oddvdssubg  15163  pgpfac1lem3a  15327  pgpfac1lem3  15328  zlmlmod  16493
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-seq 11063  df-0g 13420  df-mnd 14383  df-grp 14505  df-minusg 14506  df-mulg 14508  df-cmn 15107  df-abl 15108
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