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Theorem mulgdir 14592
Description: Sum of group multiples, generalized to  ZZ. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mulgnndir.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
mulgnndir.t  |-  .x.  =  (.g
`  G )
mulgnndir.p  |-  .+  =  ( +g  `  G )
Assertion
Ref Expression
mulgdir  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  ->  ( ( M  +  N )  .x.  X )  =  ( ( M  .x.  X
)  .+  ( N  .x.  X ) ) )

Proof of Theorem mulgdir
StepHypRef Expression
1 mulgnndir.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  G
)
2 mulgnndir.t . . . 4  |-  .x.  =  (.g
`  G )
3 mulgnndir.p . . . 4  |-  .+  =  ( +g  `  G )
41, 2, 3mulgdirlem 14591 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( M  +  N
)  e.  NN0 )  ->  ( ( M  +  N )  .x.  X
)  =  ( ( M  .x.  X ) 
.+  ( N  .x.  X ) ) )
543expa 1151 . 2  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  /\  ( M  +  N )  e.  NN0 )  ->  ( ( M  +  N )  .x.  X )  =  ( ( M  .x.  X
)  .+  ( N  .x.  X ) ) )
6 simpll 730 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  /\  -u ( M  +  N )  e. 
NN0 )  ->  G  e.  Grp )
7 simpr2 962 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  ->  N  e.  ZZ )
87adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  /\  -u ( M  +  N )  e. 
NN0 )  ->  N  e.  ZZ )
98znegcld 10119 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  /\  -u ( M  +  N )  e. 
NN0 )  ->  -u N  e.  ZZ )
10 simpr1 961 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  ->  M  e.  ZZ )
1110adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  /\  -u ( M  +  N )  e. 
NN0 )  ->  M  e.  ZZ )
1211znegcld 10119 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  /\  -u ( M  +  N )  e. 
NN0 )  ->  -u M  e.  ZZ )
13 simplr3 999 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  /\  -u ( M  +  N )  e. 
NN0 )  ->  X  e.  B )
1411zcnd 10118 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  /\  -u ( M  +  N )  e. 
NN0 )  ->  M  e.  CC )
158zcnd 10118 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  /\  -u ( M  +  N )  e. 
NN0 )  ->  N  e.  CC )
1614, 15negdid 9170 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  /\  -u ( M  +  N )  e. 
NN0 )  ->  -u ( M  +  N )  =  ( -u M  +  -u N ) )
1714negcld 9144 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  /\  -u ( M  +  N )  e. 
NN0 )  ->  -u M  e.  CC )
1815negcld 9144 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  /\  -u ( M  +  N )  e. 
NN0 )  ->  -u N  e.  CC )
1917, 18addcomd 9014 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  /\  -u ( M  +  N )  e. 
NN0 )  ->  ( -u M  +  -u N
)  =  ( -u N  +  -u M ) )
2016, 19eqtrd 2315 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  /\  -u ( M  +  N )  e. 
NN0 )  ->  -u ( M  +  N )  =  ( -u N  +  -u M ) )
21 simpr 447 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  /\  -u ( M  +  N )  e. 
NN0 )  ->  -u ( M  +  N )  e.  NN0 )
2220, 21eqeltrrd 2358 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  /\  -u ( M  +  N )  e. 
NN0 )  ->  ( -u N  +  -u M
)  e.  NN0 )
231, 2, 3mulgdirlem 14591 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( -u N  e.  ZZ  /\  -u M  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( -u N  +  -u M )  e. 
NN0 )  ->  (
( -u N  +  -u M )  .x.  X
)  =  ( (
-u N  .x.  X
)  .+  ( -u M  .x.  X ) ) )
246, 9, 12, 13, 22, 23syl131anc 1195 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  /\  -u ( M  +  N )  e. 
NN0 )  ->  (
( -u N  +  -u M )  .x.  X
)  =  ( (
-u N  .x.  X
)  .+  ( -u M  .x.  X ) ) )
2520oveq1d 5873 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  /\  -u ( M  +  N )  e. 
NN0 )  ->  ( -u ( M  +  N
)  .x.  X )  =  ( ( -u N  +  -u M ) 
.x.  X ) )
2610, 7zaddcld 10121 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  ->  ( M  +  N )  e.  ZZ )
2726adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  /\  -u ( M  +  N )  e. 
NN0 )  ->  ( M  +  N )  e.  ZZ )
28 eqid 2283 . . . . . . . 8  |-  ( inv g `  G )  =  ( inv g `  G )
291, 2, 28mulgneg 14585 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  +  N
)  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  ->  ( -u ( M  +  N )  .x.  X )  =  ( ( inv g `  G ) `  (
( M  +  N
)  .x.  X )
) )
306, 27, 13, 29syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  /\  -u ( M  +  N )  e. 
NN0 )  ->  ( -u ( M  +  N
)  .x.  X )  =  ( ( inv g `  G ) `
 ( ( M  +  N )  .x.  X ) ) )
3125, 30eqtr3d 2317 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  /\  -u ( M  +  N )  e. 
NN0 )  ->  (
( -u N  +  -u M )  .x.  X
)  =  ( ( inv g `  G
) `  ( ( M  +  N )  .x.  X ) ) )
321, 2, 28mulgneg 14585 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  ->  ( -u N  .x.  X )  =  ( ( inv g `  G ) `
 ( N  .x.  X ) ) )
336, 8, 13, 32syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  /\  -u ( M  +  N )  e. 
NN0 )  ->  ( -u N  .x.  X )  =  ( ( inv g `  G ) `
 ( N  .x.  X ) ) )
341, 2, 28mulgneg 14585 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  M  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  ->  ( -u M  .x.  X )  =  ( ( inv g `  G ) `
 ( M  .x.  X ) ) )
356, 11, 13, 34syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  /\  -u ( M  +  N )  e. 
NN0 )  ->  ( -u M  .x.  X )  =  ( ( inv g `  G ) `
 ( M  .x.  X ) ) )
3633, 35oveq12d 5876 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  /\  -u ( M  +  N )  e. 
NN0 )  ->  (
( -u N  .x.  X
)  .+  ( -u M  .x.  X ) )  =  ( ( ( inv g `  G ) `
 ( N  .x.  X ) )  .+  ( ( inv g `  G ) `  ( M  .x.  X ) ) ) )
371, 2mulgcl 14584 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  M  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  ->  ( M  .x.  X )  e.  B )
386, 11, 13, 37syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  /\  -u ( M  +  N )  e. 
NN0 )  ->  ( M  .x.  X )  e.  B )
391, 2mulgcl 14584 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  ->  ( N  .x.  X )  e.  B )
406, 8, 13, 39syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  /\  -u ( M  +  N )  e. 
NN0 )  ->  ( N  .x.  X )  e.  B )
411, 3, 28grpinvadd 14544 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  .x.  X )  e.  B  /\  ( N  .x.  X )  e.  B )  ->  (
( inv g `  G ) `  (
( M  .x.  X
)  .+  ( N  .x.  X ) ) )  =  ( ( ( inv g `  G
) `  ( N  .x.  X ) )  .+  ( ( inv g `  G ) `  ( M  .x.  X ) ) ) )
426, 38, 40, 41syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  /\  -u ( M  +  N )  e. 
NN0 )  ->  (
( inv g `  G ) `  (
( M  .x.  X
)  .+  ( N  .x.  X ) ) )  =  ( ( ( inv g `  G
) `  ( N  .x.  X ) )  .+  ( ( inv g `  G ) `  ( M  .x.  X ) ) ) )
4336, 42eqtr4d 2318 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  /\  -u ( M  +  N )  e. 
NN0 )  ->  (
( -u N  .x.  X
)  .+  ( -u M  .x.  X ) )  =  ( ( inv g `  G ) `  (
( M  .x.  X
)  .+  ( N  .x.  X ) ) ) )
4424, 31, 433eqtr3d 2323 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  /\  -u ( M  +  N )  e. 
NN0 )  ->  (
( inv g `  G ) `  (
( M  +  N
)  .x.  X )
)  =  ( ( inv g `  G
) `  ( ( M  .x.  X )  .+  ( N  .x.  X ) ) ) )
4544fveq2d 5529 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  /\  -u ( M  +  N )  e. 
NN0 )  ->  (
( inv g `  G ) `  (
( inv g `  G ) `  (
( M  +  N
)  .x.  X )
) )  =  ( ( inv g `  G ) `  (
( inv g `  G ) `  (
( M  .x.  X
)  .+  ( N  .x.  X ) ) ) ) )
461, 2mulgcl 14584 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  +  N
)  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  ->  ( ( M  +  N )  .x.  X
)  e.  B )
476, 27, 13, 46syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  /\  -u ( M  +  N )  e. 
NN0 )  ->  (
( M  +  N
)  .x.  X )  e.  B )
481, 28grpinvinv 14535 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( ( M  +  N )  .x.  X
)  e.  B )  ->  ( ( inv g `  G ) `
 ( ( inv g `  G ) `
 ( ( M  +  N )  .x.  X ) ) )  =  ( ( M  +  N )  .x.  X ) )
496, 47, 48syl2anc 642 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  /\  -u ( M  +  N )  e. 
NN0 )  ->  (
( inv g `  G ) `  (
( inv g `  G ) `  (
( M  +  N
)  .x.  X )
) )  =  ( ( M  +  N
)  .x.  X )
)
501, 3grpcl 14495 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  .x.  X )  e.  B  /\  ( N  .x.  X )  e.  B )  ->  (
( M  .x.  X
)  .+  ( N  .x.  X ) )  e.  B )
516, 38, 40, 50syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  /\  -u ( M  +  N )  e. 
NN0 )  ->  (
( M  .x.  X
)  .+  ( N  .x.  X ) )  e.  B )
521, 28grpinvinv 14535 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( ( M  .x.  X )  .+  ( N  .x.  X ) )  e.  B )  -> 
( ( inv g `  G ) `  (
( inv g `  G ) `  (
( M  .x.  X
)  .+  ( N  .x.  X ) ) ) )  =  ( ( M  .x.  X ) 
.+  ( N  .x.  X ) ) )
536, 51, 52syl2anc 642 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  /\  -u ( M  +  N )  e. 
NN0 )  ->  (
( inv g `  G ) `  (
( inv g `  G ) `  (
( M  .x.  X
)  .+  ( N  .x.  X ) ) ) )  =  ( ( M  .x.  X ) 
.+  ( N  .x.  X ) ) )
5445, 49, 533eqtr3d 2323 . 2  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  /\  -u ( M  +  N )  e. 
NN0 )  ->  (
( M  +  N
)  .x.  X )  =  ( ( M 
.x.  X )  .+  ( N  .x.  X ) ) )
55 elznn0 10038 . . . 4  |-  ( ( M  +  N )  e.  ZZ  <->  ( ( M  +  N )  e.  RR  /\  ( ( M  +  N )  e.  NN0  \/  -u ( M  +  N )  e.  NN0 ) ) )
5655simprbi 450 . . 3  |-  ( ( M  +  N )  e.  ZZ  ->  (
( M  +  N
)  e.  NN0  \/  -u ( M  +  N
)  e.  NN0 )
)
5726, 56syl 15 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  ->  ( ( M  +  N )  e.  NN0  \/  -u ( M  +  N )  e.  NN0 ) )
585, 54, 57mpjaodan 761 1  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  ->  ( ( M  +  N )  .x.  X )  =  ( ( M  .x.  X
)  .+  ( N  .x.  X ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 357    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   RRcr 8736    + caddc 8740   -ucneg 9038   NN0cn0 9965   ZZcz 10024   Basecbs 13148   +g cplusg 13208   Grpcgrp 14362   inv gcminusg 14363  .gcmg 14366
This theorem is referenced by:  mulgp1  14593  mulgneg2  14594  mulgsubdir  14598  cycsubgcl  14643  odbezout  14871  cygabl  15177  ablfacrp  15301  pgpfac1lem2  15310  pgpfac1lem3  15312  mulgghm2  16459  zlmlmod  16477  cygznlem3  16523  dchrptlem2  20504
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-fz 10783  df-seq 11047  df-0g 13404  df-mnd 14367  df-grp 14489  df-minusg 14490  df-mulg 14492
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