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Theorem mulgdirlem 14607
Description: Lemma for mulgdir 14608. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mulgnndir.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
mulgnndir.t  |-  .x.  =  (.g
`  G )
mulgnndir.p  |-  .+  =  ( +g  `  G )
Assertion
Ref Expression
mulgdirlem  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( M  +  N
)  e.  NN0 )  ->  ( ( M  +  N )  .x.  X
)  =  ( ( M  .x.  X ) 
.+  ( N  .x.  X ) ) )

Proof of Theorem mulgdirlem
StepHypRef Expression
1 simpl1 958 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( M  +  N
)  e.  NN0 )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )
)  ->  G  e.  Grp )
2 grpmnd 14510 . . . . . 6  |-  ( G  e.  Grp  ->  G  e.  Mnd )
31, 2syl 15 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( M  +  N
)  e.  NN0 )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )
)  ->  G  e.  Mnd )
4 simprl 732 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( M  +  N
)  e.  NN0 )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )
)  ->  M  e.  NN0 )
5 simprr 733 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( M  +  N
)  e.  NN0 )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )
)  ->  N  e.  NN0 )
6 simpl23 1035 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( M  +  N
)  e.  NN0 )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )
)  ->  X  e.  B )
7 mulgnndir.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  G
)
8 mulgnndir.t . . . . . 6  |-  .x.  =  (.g
`  G )
9 mulgnndir.p . . . . . 6  |-  .+  =  ( +g  `  G )
107, 8, 9mulgnn0dir 14606 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  X  e.  B )
)  ->  ( ( M  +  N )  .x.  X )  =  ( ( M  .x.  X
)  .+  ( N  .x.  X ) ) )
113, 4, 5, 6, 10syl13anc 1184 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( M  +  N
)  e.  NN0 )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )
)  ->  ( ( M  +  N )  .x.  X )  =  ( ( M  .x.  X
)  .+  ( N  .x.  X ) ) )
1211anassrs 629 . . 3  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( M  +  N )  e.  NN0 )  /\  M  e.  NN0 )  /\  N  e.  NN0 )  ->  (
( M  +  N
)  .x.  X )  =  ( ( M 
.x.  X )  .+  ( N  .x.  X ) ) )
13 simpl1 958 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( M  +  N
)  e.  NN0 )  /\  ( M  e.  NN0  /\  -u N  e.  NN0 ) )  ->  G  e.  Grp )
14 simp22 989 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( M  +  N
)  e.  NN0 )  ->  N  e.  ZZ )
1514adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( M  +  N
)  e.  NN0 )  /\  ( M  e.  NN0  /\  -u N  e.  NN0 ) )  ->  N  e.  ZZ )
16 simpl23 1035 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( M  +  N
)  e.  NN0 )  /\  ( M  e.  NN0  /\  -u N  e.  NN0 ) )  ->  X  e.  B )
17 eqid 2296 . . . . . . . . . . 11  |-  ( inv g `  G )  =  ( inv g `  G )
187, 8, 17mulgneg 14601 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  ->  ( -u N  .x.  X )  =  ( ( inv g `  G ) `
 ( N  .x.  X ) ) )
1913, 15, 16, 18syl3anc 1182 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( M  +  N
)  e.  NN0 )  /\  ( M  e.  NN0  /\  -u N  e.  NN0 ) )  ->  ( -u N  .x.  X )  =  ( ( inv g `  G ) `
 ( N  .x.  X ) ) )
2019oveq1d 5889 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( M  +  N
)  e.  NN0 )  /\  ( M  e.  NN0  /\  -u N  e.  NN0 ) )  ->  (
( -u N  .x.  X
)  .+  ( N  .x.  X ) )  =  ( ( ( inv g `  G ) `
 ( N  .x.  X ) )  .+  ( N  .x.  X ) ) )
217, 8mulgcl 14600 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  ->  ( N  .x.  X )  e.  B )
2213, 15, 16, 21syl3anc 1182 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( M  +  N
)  e.  NN0 )  /\  ( M  e.  NN0  /\  -u N  e.  NN0 ) )  ->  ( N  .x.  X )  e.  B )
23 eqid 2296 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
247, 9, 23, 17grplinv 14544 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( N  .x.  X )  e.  B )  -> 
( ( ( inv g `  G ) `
 ( N  .x.  X ) )  .+  ( N  .x.  X ) )  =  ( 0g
`  G ) )
2513, 22, 24syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( M  +  N
)  e.  NN0 )  /\  ( M  e.  NN0  /\  -u N  e.  NN0 ) )  ->  (
( ( inv g `  G ) `  ( N  .x.  X ) ) 
.+  ( N  .x.  X ) )  =  ( 0g `  G
) )
2620, 25eqtrd 2328 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( M  +  N
)  e.  NN0 )  /\  ( M  e.  NN0  /\  -u N  e.  NN0 ) )  ->  (
( -u N  .x.  X
)  .+  ( N  .x.  X ) )  =  ( 0g `  G
) )
2726oveq2d 5890 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( M  +  N
)  e.  NN0 )  /\  ( M  e.  NN0  /\  -u N  e.  NN0 ) )  ->  (
( ( M  +  N )  .x.  X
)  .+  ( ( -u N  .x.  X ) 
.+  ( N  .x.  X ) ) )  =  ( ( ( M  +  N ) 
.x.  X )  .+  ( 0g `  G ) ) )
28 simpl3 960 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( M  +  N
)  e.  NN0 )  /\  ( M  e.  NN0  /\  -u N  e.  NN0 ) )  ->  ( M  +  N )  e.  NN0 )
29 nn0z 10062 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  +  N )  e.  NN0  ->  ( M  +  N )  e.  ZZ )
3028, 29syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( M  +  N
)  e.  NN0 )  /\  ( M  e.  NN0  /\  -u N  e.  NN0 ) )  ->  ( M  +  N )  e.  ZZ )
317, 8mulgcl 14600 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  +  N
)  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  ->  ( ( M  +  N )  .x.  X
)  e.  B )
3213, 30, 16, 31syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( M  +  N
)  e.  NN0 )  /\  ( M  e.  NN0  /\  -u N  e.  NN0 ) )  ->  (
( M  +  N
)  .x.  X )  e.  B )
337, 9, 23grprid 14529 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( ( M  +  N )  .x.  X
)  e.  B )  ->  ( ( ( M  +  N ) 
.x.  X )  .+  ( 0g `  G ) )  =  ( ( M  +  N ) 
.x.  X ) )
3413, 32, 33syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( M  +  N
)  e.  NN0 )  /\  ( M  e.  NN0  /\  -u N  e.  NN0 ) )  ->  (
( ( M  +  N )  .x.  X
)  .+  ( 0g `  G ) )  =  ( ( M  +  N )  .x.  X
) )
3527, 34eqtrd 2328 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( M  +  N
)  e.  NN0 )  /\  ( M  e.  NN0  /\  -u N  e.  NN0 ) )  ->  (
( ( M  +  N )  .x.  X
)  .+  ( ( -u N  .x.  X ) 
.+  ( N  .x.  X ) ) )  =  ( ( M  +  N )  .x.  X ) )
36 nn0z 10062 . . . . . . . . 9  |-  ( -u N  e.  NN0  ->  -u N  e.  ZZ )
3736ad2antll 709 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( M  +  N
)  e.  NN0 )  /\  ( M  e.  NN0  /\  -u N  e.  NN0 ) )  ->  -u N  e.  ZZ )
387, 8mulgcl 14600 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  -u N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  ->  ( -u N  .x.  X )  e.  B
)
3913, 37, 16, 38syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( M  +  N
)  e.  NN0 )  /\  ( M  e.  NN0  /\  -u N  e.  NN0 ) )  ->  ( -u N  .x.  X )  e.  B )
407, 9grpass 14512 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( ( ( M  +  N )  .x.  X )  e.  B  /\  ( -u N  .x.  X )  e.  B  /\  ( N  .x.  X
)  e.  B ) )  ->  ( (
( ( M  +  N )  .x.  X
)  .+  ( -u N  .x.  X ) )  .+  ( N  .x.  X ) )  =  ( ( ( M  +  N
)  .x.  X )  .+  ( ( -u N  .x.  X )  .+  ( N  .x.  X ) ) ) )
4113, 32, 39, 22, 40syl13anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( M  +  N
)  e.  NN0 )  /\  ( M  e.  NN0  /\  -u N  e.  NN0 ) )  ->  (
( ( ( M  +  N )  .x.  X )  .+  ( -u N  .x.  X ) )  .+  ( N 
.x.  X ) )  =  ( ( ( M  +  N ) 
.x.  X )  .+  ( ( -u N  .x.  X )  .+  ( N  .x.  X ) ) ) )
4213, 2syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( M  +  N
)  e.  NN0 )  /\  ( M  e.  NN0  /\  -u N  e.  NN0 ) )  ->  G  e.  Mnd )
43 simprr 733 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( M  +  N
)  e.  NN0 )  /\  ( M  e.  NN0  /\  -u N  e.  NN0 ) )  ->  -u N  e.  NN0 )
447, 8, 9mulgnn0dir 14606 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  ( ( M  +  N )  e.  NN0  /\  -u N  e.  NN0  /\  X  e.  B ) )  ->  ( (
( M  +  N
)  +  -u N
)  .x.  X )  =  ( ( ( M  +  N ) 
.x.  X )  .+  ( -u N  .x.  X
) ) )
4542, 28, 43, 16, 44syl13anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( M  +  N
)  e.  NN0 )  /\  ( M  e.  NN0  /\  -u N  e.  NN0 ) )  ->  (
( ( M  +  N )  +  -u N )  .x.  X
)  =  ( ( ( M  +  N
)  .x.  X )  .+  ( -u N  .x.  X ) ) )
46 simp21 988 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( M  +  N
)  e.  NN0 )  ->  M  e.  ZZ )
4746zcnd 10134 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( M  +  N
)  e.  NN0 )  ->  M  e.  CC )
4814zcnd 10134 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( M  +  N
)  e.  NN0 )  ->  N  e.  CC )
4947, 48addcld 8870 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( M  +  N
)  e.  NN0 )  ->  ( M  +  N
)  e.  CC )
5049adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( M  +  N
)  e.  NN0 )  /\  ( M  e.  NN0  /\  -u N  e.  NN0 ) )  ->  ( M  +  N )  e.  CC )
5148adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( M  +  N
)  e.  NN0 )  /\  ( M  e.  NN0  /\  -u N  e.  NN0 ) )  ->  N  e.  CC )
5250, 51negsubd 9179 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( M  +  N
)  e.  NN0 )  /\  ( M  e.  NN0  /\  -u N  e.  NN0 ) )  ->  (
( M  +  N
)  +  -u N
)  =  ( ( M  +  N )  -  N ) )
5347adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( M  +  N
)  e.  NN0 )  /\  ( M  e.  NN0  /\  -u N  e.  NN0 ) )  ->  M  e.  CC )
5453, 51pncand 9174 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( M  +  N
)  e.  NN0 )  /\  ( M  e.  NN0  /\  -u N  e.  NN0 ) )  ->  (
( M  +  N
)  -  N )  =  M )
5552, 54eqtrd 2328 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( M  +  N
)  e.  NN0 )  /\  ( M  e.  NN0  /\  -u N  e.  NN0 ) )  ->  (
( M  +  N
)  +  -u N
)  =  M )
5655oveq1d 5889 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( M  +  N
)  e.  NN0 )  /\  ( M  e.  NN0  /\  -u N  e.  NN0 ) )  ->  (
( ( M  +  N )  +  -u N )  .x.  X
)  =  ( M 
.x.  X ) )
5745, 56eqtr3d 2330 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( M  +  N
)  e.  NN0 )  /\  ( M  e.  NN0  /\  -u N  e.  NN0 ) )  ->  (
( ( M  +  N )  .x.  X
)  .+  ( -u N  .x.  X ) )  =  ( M  .x.  X
) )
5857oveq1d 5889 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( M  +  N
)  e.  NN0 )  /\  ( M  e.  NN0  /\  -u N  e.  NN0 ) )  ->  (
( ( ( M  +  N )  .x.  X )  .+  ( -u N  .x.  X ) )  .+  ( N 
.x.  X ) )  =  ( ( M 
.x.  X )  .+  ( N  .x.  X ) ) )
5941, 58eqtr3d 2330 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( M  +  N
)  e.  NN0 )  /\  ( M  e.  NN0  /\  -u N  e.  NN0 ) )  ->  (
( ( M  +  N )  .x.  X
)  .+  ( ( -u N  .x.  X ) 
.+  ( N  .x.  X ) ) )  =  ( ( M 
.x.  X )  .+  ( N  .x.  X ) ) )
6035, 59eqtr3d 2330 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( M  +  N
)  e.  NN0 )  /\  ( M  e.  NN0  /\  -u N  e.  NN0 ) )  ->  (
( M  +  N
)  .x.  X )  =  ( ( M 
.x.  X )  .+  ( N  .x.  X ) ) )
6160anassrs 629 . . 3  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( M  +  N )  e.  NN0 )  /\  M  e.  NN0 )  /\  -u N  e.  NN0 )  ->  (
( M  +  N
)  .x.  X )  =  ( ( M 
.x.  X )  .+  ( N  .x.  X ) ) )
62 elznn0 10054 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ZZ  <->  ( N  e.  RR  /\  ( N  e.  NN0  \/  -u N  e.  NN0 ) ) )
6362simprbi 450 . . . . 5  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( N  e.  NN0  \/  -u N  e.  NN0 ) )
6414, 63syl 15 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( M  +  N
)  e.  NN0 )  ->  ( N  e.  NN0  \/  -u N  e.  NN0 ) )
6564adantr 451 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( M  +  N
)  e.  NN0 )  /\  M  e.  NN0 )  ->  ( N  e. 
NN0  \/  -u N  e. 
NN0 ) )
6612, 61, 65mpjaodan 761 . 2  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( M  +  N
)  e.  NN0 )  /\  M  e.  NN0 )  ->  ( ( M  +  N )  .x.  X )  =  ( ( M  .x.  X
)  .+  ( N  .x.  X ) ) )
67 simpl1 958 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( M  +  N
)  e.  NN0 )  /\  -u M  e.  NN0 )  ->  G  e.  Grp )
6846adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( M  +  N
)  e.  NN0 )  /\  -u M  e.  NN0 )  ->  M  e.  ZZ )
69 simpl23 1035 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( M  +  N
)  e.  NN0 )  /\  -u M  e.  NN0 )  ->  X  e.  B
)
707, 8mulgcl 14600 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  M  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  ->  ( M  .x.  X )  e.  B )
7167, 68, 69, 70syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( M  +  N
)  e.  NN0 )  /\  -u M  e.  NN0 )  ->  ( M  .x.  X )  e.  B
)
7268znegcld 10135 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( M  +  N
)  e.  NN0 )  /\  -u M  e.  NN0 )  ->  -u M  e.  ZZ )
737, 8mulgcl 14600 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  -u M  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  ->  ( -u M  .x.  X )  e.  B
)
7467, 72, 69, 73syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( M  +  N
)  e.  NN0 )  /\  -u M  e.  NN0 )  ->  ( -u M  .x.  X )  e.  B
)
75293ad2ant3 978 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( M  +  N
)  e.  NN0 )  ->  ( M  +  N
)  e.  ZZ )
7675adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( M  +  N
)  e.  NN0 )  /\  -u M  e.  NN0 )  ->  ( M  +  N )  e.  ZZ )
7767, 76, 69, 31syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( M  +  N
)  e.  NN0 )  /\  -u M  e.  NN0 )  ->  ( ( M  +  N )  .x.  X )  e.  B
)
787, 9grpass 14512 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( ( M  .x.  X )  e.  B  /\  ( -u M  .x.  X )  e.  B  /\  ( ( M  +  N )  .x.  X
)  e.  B ) )  ->  ( (
( M  .x.  X
)  .+  ( -u M  .x.  X ) )  .+  ( ( M  +  N )  .x.  X
) )  =  ( ( M  .x.  X
)  .+  ( ( -u M  .x.  X ) 
.+  ( ( M  +  N )  .x.  X ) ) ) )
7967, 71, 74, 77, 78syl13anc 1184 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( M  +  N
)  e.  NN0 )  /\  -u M  e.  NN0 )  ->  ( ( ( M  .x.  X ) 
.+  ( -u M  .x.  X ) )  .+  ( ( M  +  N )  .x.  X
) )  =  ( ( M  .x.  X
)  .+  ( ( -u M  .x.  X ) 
.+  ( ( M  +  N )  .x.  X ) ) ) )
807, 8, 17mulgneg 14601 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  M  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  ->  ( -u M  .x.  X )  =  ( ( inv g `  G ) `
 ( M  .x.  X ) ) )
8167, 68, 69, 80syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( M  +  N
)  e.  NN0 )  /\  -u M  e.  NN0 )  ->  ( -u M  .x.  X )  =  ( ( inv g `  G ) `  ( M  .x.  X ) ) )
8281oveq2d 5890 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( M  +  N
)  e.  NN0 )  /\  -u M  e.  NN0 )  ->  ( ( M 
.x.  X )  .+  ( -u M  .x.  X
) )  =  ( ( M  .x.  X
)  .+  ( ( inv g `  G ) `
 ( M  .x.  X ) ) ) )
837, 9, 23, 17grprinv 14545 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  .x.  X )  e.  B )  -> 
( ( M  .x.  X )  .+  (
( inv g `  G ) `  ( M  .x.  X ) ) )  =  ( 0g
`  G ) )
8467, 71, 83syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( M  +  N
)  e.  NN0 )  /\  -u M  e.  NN0 )  ->  ( ( M 
.x.  X )  .+  ( ( inv g `  G ) `  ( M  .x.  X ) ) )  =  ( 0g
`  G ) )
8582, 84eqtrd 2328 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( M  +  N
)  e.  NN0 )  /\  -u M  e.  NN0 )  ->  ( ( M 
.x.  X )  .+  ( -u M  .x.  X
) )  =  ( 0g `  G ) )
8685oveq1d 5889 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( M  +  N
)  e.  NN0 )  /\  -u M  e.  NN0 )  ->  ( ( ( M  .x.  X ) 
.+  ( -u M  .x.  X ) )  .+  ( ( M  +  N )  .x.  X
) )  =  ( ( 0g `  G
)  .+  ( ( M  +  N )  .x.  X ) ) )
877, 9, 23grplid 14528 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( ( M  +  N )  .x.  X
)  e.  B )  ->  ( ( 0g
`  G )  .+  ( ( M  +  N )  .x.  X
) )  =  ( ( M  +  N
)  .x.  X )
)
8867, 77, 87syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( M  +  N
)  e.  NN0 )  /\  -u M  e.  NN0 )  ->  ( ( 0g
`  G )  .+  ( ( M  +  N )  .x.  X
) )  =  ( ( M  +  N
)  .x.  X )
)
8986, 88eqtrd 2328 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( M  +  N
)  e.  NN0 )  /\  -u M  e.  NN0 )  ->  ( ( ( M  .x.  X ) 
.+  ( -u M  .x.  X ) )  .+  ( ( M  +  N )  .x.  X
) )  =  ( ( M  +  N
)  .x.  X )
)
9067, 2syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( M  +  N
)  e.  NN0 )  /\  -u M  e.  NN0 )  ->  G  e.  Mnd )
91 simpr 447 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( M  +  N
)  e.  NN0 )  /\  -u M  e.  NN0 )  ->  -u M  e.  NN0 )
92 simpl3 960 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( M  +  N
)  e.  NN0 )  /\  -u M  e.  NN0 )  ->  ( M  +  N )  e.  NN0 )
937, 8, 9mulgnn0dir 14606 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  ( -u M  e.  NN0  /\  ( M  +  N
)  e.  NN0  /\  X  e.  B )
)  ->  ( ( -u M  +  ( M  +  N ) ) 
.x.  X )  =  ( ( -u M  .x.  X )  .+  (
( M  +  N
)  .x.  X )
) )
9490, 91, 92, 69, 93syl13anc 1184 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( M  +  N
)  e.  NN0 )  /\  -u M  e.  NN0 )  ->  ( ( -u M  +  ( M  +  N ) )  .x.  X )  =  ( ( -u M  .x.  X )  .+  (
( M  +  N
)  .x.  X )
) )
9547adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( M  +  N
)  e.  NN0 )  /\  -u M  e.  NN0 )  ->  M  e.  CC )
9695negcld 9160 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( M  +  N
)  e.  NN0 )  /\  -u M  e.  NN0 )  ->  -u M  e.  CC )
9749adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( M  +  N
)  e.  NN0 )  /\  -u M  e.  NN0 )  ->  ( M  +  N )  e.  CC )
9896, 97addcomd 9030 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( M  +  N
)  e.  NN0 )  /\  -u M  e.  NN0 )  ->  ( -u M  +  ( M  +  N ) )  =  ( ( M  +  N )  +  -u M ) )
9997, 95negsubd 9179 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( M  +  N
)  e.  NN0 )  /\  -u M  e.  NN0 )  ->  ( ( M  +  N )  + 
-u M )  =  ( ( M  +  N )  -  M
) )
10048adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( M  +  N
)  e.  NN0 )  /\  -u M  e.  NN0 )  ->  N  e.  CC )
10195, 100pncan2d 9175 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( M  +  N
)  e.  NN0 )  /\  -u M  e.  NN0 )  ->  ( ( M  +  N )  -  M )  =  N )
10298, 99, 1013eqtrd 2332 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( M  +  N
)  e.  NN0 )  /\  -u M  e.  NN0 )  ->  ( -u M  +  ( M  +  N ) )  =  N )
103102oveq1d 5889 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( M  +  N
)  e.  NN0 )  /\  -u M  e.  NN0 )  ->  ( ( -u M  +  ( M  +  N ) )  .x.  X )  =  ( N  .x.  X ) )
10494, 103eqtr3d 2330 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( M  +  N
)  e.  NN0 )  /\  -u M  e.  NN0 )  ->  ( ( -u M  .x.  X )  .+  ( ( M  +  N )  .x.  X
) )  =  ( N  .x.  X ) )
105104oveq2d 5890 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( M  +  N
)  e.  NN0 )  /\  -u M  e.  NN0 )  ->  ( ( M 
.x.  X )  .+  ( ( -u M  .x.  X )  .+  (
( M  +  N
)  .x.  X )
) )  =  ( ( M  .x.  X
)  .+  ( N  .x.  X ) ) )
10679, 89, 1053eqtr3d 2336 . 2  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( M  +  N
)  e.  NN0 )  /\  -u M  e.  NN0 )  ->  ( ( M  +  N )  .x.  X )  =  ( ( M  .x.  X
)  .+  ( N  .x.  X ) ) )
107 elznn0 10054 . . . 4  |-  ( M  e.  ZZ  <->  ( M  e.  RR  /\  ( M  e.  NN0  \/  -u M  e.  NN0 ) ) )
108107simprbi 450 . . 3  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( M  e.  NN0  \/  -u M  e.  NN0 ) )
10946, 108syl 15 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( M  +  N
)  e.  NN0 )  ->  ( M  e.  NN0  \/  -u M  e.  NN0 ) )
11066, 106, 109mpjaodan 761 1  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( M  +  N
)  e.  NN0 )  ->  ( ( M  +  N )  .x.  X
)  =  ( ( M  .x.  X ) 
.+  ( N  .x.  X ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 357    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   CCcc 8751   RRcr 8752    + caddc 8756    - cmin 9053   -ucneg 9054   NN0cn0 9981   ZZcz 10040   Basecbs 13164   +g cplusg 13224   0gc0g 13416   Mndcmnd 14377   Grpcgrp 14378   inv gcminusg 14379  .gcmg 14382
This theorem is referenced by:  mulgdir  14608
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-fz 10799  df-seq 11063  df-0g 13420  df-mnd 14383  df-grp 14505  df-minusg 14506  df-mulg 14508
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