MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulge0d Unicode version

Theorem mulge0d 9528
Description: The product of two nonnegative numbers is nonnegative. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
leidd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
ltnegd.2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
addge0d.3  |-  ( ph  ->  0  <_  A )
addge0d.4  |-  ( ph  ->  0  <_  B )
Assertion
Ref Expression
mulge0d  |-  ( ph  ->  0  <_  ( A  x.  B ) )

Proof of Theorem mulge0d
StepHypRef Expression
1 leidd.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
2 addge0d.3 . 2  |-  ( ph  ->  0  <_  A )
3 ltnegd.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
4 addge0d.4 . 2  |-  ( ph  ->  0  <_  B )
5 mulge0 9470 . 2  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  0  <_  ( A  x.  B ) )
61, 2, 3, 4, 5syl22anc 1185 1  |-  ( ph  ->  0  <_  ( A  x.  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1717   class class class wbr 4146  (class class class)co 6013   RRcr 8915   0cc0 8916    x. cmul 8921    <_ cle 9047
This theorem is referenced by:  supmul1  9898  faclbnd6  11510  sqrmul  11985  sqreulem  12083  climcnds  12551  nmoi  18626  nmoleub2lem3  18987  ipcau2  19055  itg1ge0  19438  itg1ge0a  19463  itgmulc2lem1  19583  bddmulibl  19590  dvlip  19737  dvfsumlem4  19773  dvfsum2  19778  plyeq0lem  19989  radcnvlem1  20189  dvradcnv  20197  cxpsqrlem  20453  abscxpbnd  20497  asinlem3  20571  vmadivsum  21036  rpvmasumlem  21041  dchrisumlem2  21044  dchrisum0flblem2  21063  dchrisum0re  21067  mulog2sumlem2  21089  vmalogdivsum2  21092  2vmadivsumlem  21094  selbergb  21103  selberg2lem  21104  selberg2b  21106  chpdifbndlem1  21107  selberg3lem2  21112  selberg4lem1  21114  pntrlog2bndlem1  21131  pntrlog2bndlem2  21132  pntrlog2bndlem4  21134  pntrlog2bndlem6  21137  pntrlog2bnd  21138  pntlemn  21154  ostth2lem3  21189  branmfn  23449  brbtwn2  25551  colinearalglem4  25555  ax5seglem3  25577  iblmulc2nc  25963  itgmulc2nclem1  25964  trirn  26141  geomcau  26149  rrnequiv  26228  pellexlem2  26577  pellexlem6  26581  pell1qrge1  26617  rmxypos  26696  ltrmxnn0  26698  fmul01  27371  stoweidlem1  27411  stoweidlem16  27426  stoweidlem26  27436  stoweidlem38  27448  wallispilem4  27478  wallispi  27480  wallispi2lem1  27481  stirlinglem1  27484  stirlinglem5  27488  stirlinglem6  27489  stirlinglem7  27490  stirlinglem10  27493  stirlinglem11  27494  stirlinglem15  27498  stirlingr  27500
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2361  ax-sep 4264  ax-nul 4272  ax-pow 4311  ax-pr 4337  ax-un 4634  ax-resscn 8973  ax-1cn 8974  ax-icn 8975  ax-addcl 8976  ax-addrcl 8977  ax-mulcl 8978  ax-mulrcl 8979  ax-mulcom 8980  ax-addass 8981  ax-mulass 8982  ax-distr 8983  ax-i2m1 8984  ax-1ne0 8985  ax-1rid 8986  ax-rnegex 8987  ax-rrecex 8988  ax-cnre 8989  ax-pre-lttri 8990  ax-pre-lttrn 8991  ax-pre-ltadd 8992  ax-pre-mulgt0 8993
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2235  df-mo 2236  df-clab 2367  df-cleq 2373  df-clel 2376  df-nfc 2505  df-ne 2545  df-nel 2546  df-ral 2647  df-rex 2648  df-rab 2651  df-v 2894  df-sbc 3098  df-csb 3188  df-dif 3259  df-un 3261  df-in 3263  df-ss 3270  df-nul 3565  df-if 3676  df-pw 3737  df-sn 3756  df-pr 3757  df-op 3759  df-uni 3951  df-br 4147  df-opab 4201  df-mpt 4202  df-id 4432  df-po 4437  df-so 4438  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5351  df-fun 5389  df-fn 5390  df-f 5391  df-f1 5392  df-fo 5393  df-f1o 5394  df-fv 5395  df-ov 6016  df-er 6834  df-en 7039  df-dom 7040  df-sdom 7041  df-pnf 9048  df-mnf 9049  df-xr 9050  df-ltxr 9051  df-le 9052
  Copyright terms: Public domain W3C validator