MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulge0d Unicode version

Theorem mulge0d 9365
Description: The product of two nonnegative numbers is nonnegative. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
leidd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
ltnegd.2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
addge0d.3  |-  ( ph  ->  0  <_  A )
addge0d.4  |-  ( ph  ->  0  <_  B )
Assertion
Ref Expression
mulge0d  |-  ( ph  ->  0  <_  ( A  x.  B ) )

Proof of Theorem mulge0d
StepHypRef Expression
1 leidd.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
2 addge0d.3 . 2  |-  ( ph  ->  0  <_  A )
3 ltnegd.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
4 addge0d.4 . 2  |-  ( ph  ->  0  <_  B )
5 mulge0 9307 . 2  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  0  <_  ( A  x.  B ) )
61, 2, 3, 4, 5syl22anc 1183 1  |-  ( ph  ->  0  <_  ( A  x.  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1696   class class class wbr 4039  (class class class)co 5874   RRcr 8752   0cc0 8753    x. cmul 8758    <_ cle 8884
This theorem is referenced by:  supmul1  9735  faclbnd6  11328  sqrmul  11761  sqreulem  11859  climcnds  12326  nmoi  18253  nmoleub2lem3  18612  ipcau2  18680  itg1ge0  19057  itg1ge0a  19082  itgmulc2lem1  19202  bddmulibl  19209  dvlip  19356  dvfsumlem4  19392  dvfsum2  19397  plyeq0lem  19608  radcnvlem1  19805  dvradcnv  19813  cxpsqrlem  20065  abscxpbnd  20109  asinlem3  20183  vmadivsum  20647  rpvmasumlem  20652  dchrisumlem2  20655  dchrisum0flblem2  20674  dchrisum0re  20678  mulog2sumlem2  20700  vmalogdivsum2  20703  2vmadivsumlem  20705  selbergb  20714  selberg2lem  20715  selberg2b  20717  chpdifbndlem1  20718  selberg3lem2  20723  selberg4lem1  20725  pntrlog2bndlem1  20742  pntrlog2bndlem2  20743  pntrlog2bndlem4  20745  pntrlog2bndlem6  20748  pntrlog2bnd  20749  pntlemn  20765  ostth2lem3  20800  branmfn  22701  brbtwn2  24605  colinearalglem4  24609  ax5seglem3  24631  iblmulc2nc  25016  itgmulc2nclem1  25017  trirn  26566  geomcau  26578  rrnequiv  26662  pellexlem2  27018  pellexlem6  27022  pell1qrge1  27058  rmxypos  27137  ltrmxnn0  27139  wallispilem4  27920  wallispi  27922  wallispi2lem1  27923  stirlinglem1  27926  stirlinglem5  27930  stirlinglem6  27931  stirlinglem7  27932  stirlinglem10  27935  stirlinglem11  27936  stirlinglem15  27940  stirlingr  27942
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889
  Copyright terms: Public domain W3C validator