MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulge0d Unicode version

Theorem mulge0d 9349
Description: The product of two nonnegative numbers is nonnegative. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
leidd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
ltnegd.2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
addge0d.3  |-  ( ph  ->  0  <_  A )
addge0d.4  |-  ( ph  ->  0  <_  B )
Assertion
Ref Expression
mulge0d  |-  ( ph  ->  0  <_  ( A  x.  B ) )

Proof of Theorem mulge0d
StepHypRef Expression
1 leidd.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
2 addge0d.3 . 2  |-  ( ph  ->  0  <_  A )
3 ltnegd.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
4 addge0d.4 . 2  |-  ( ph  ->  0  <_  B )
5 mulge0 9291 . 2  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  0  <_  ( A  x.  B ) )
61, 2, 3, 4, 5syl22anc 1183 1  |-  ( ph  ->  0  <_  ( A  x.  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1684   class class class wbr 4023  (class class class)co 5858   RRcr 8736   0cc0 8737    x. cmul 8742    <_ cle 8868
This theorem is referenced by:  supmul1  9719  faclbnd6  11312  sqrmul  11745  sqreulem  11843  climcnds  12310  nmoi  18237  nmoleub2lem3  18596  ipcau2  18664  itg1ge0  19041  itg1ge0a  19066  itgmulc2lem1  19186  bddmulibl  19193  dvlip  19340  dvfsumlem4  19376  dvfsum2  19381  plyeq0lem  19592  radcnvlem1  19789  dvradcnv  19797  cxpsqrlem  20049  abscxpbnd  20093  asinlem3  20167  vmadivsum  20631  rpvmasumlem  20636  dchrisumlem2  20639  dchrisum0flblem2  20658  dchrisum0re  20662  mulog2sumlem2  20684  vmalogdivsum2  20687  2vmadivsumlem  20689  selbergb  20698  selberg2lem  20699  selberg2b  20701  chpdifbndlem1  20702  selberg3lem2  20707  selberg4lem1  20709  pntrlog2bndlem1  20726  pntrlog2bndlem2  20727  pntrlog2bndlem4  20729  pntrlog2bndlem6  20732  pntrlog2bnd  20733  pntlemn  20749  ostth2lem3  20784  branmfn  22685  brbtwn2  24533  colinearalglem4  24537  ax5seglem3  24559  trirn  26463  geomcau  26475  rrnequiv  26559  pellexlem2  26915  pellexlem6  26919  pell1qrge1  26955  rmxypos  27034  ltrmxnn0  27036  wallispilem4  27817  wallispi  27819  wallispi2lem1  27820  stirlinglem1  27823  stirlinglem5  27827  stirlinglem6  27828  stirlinglem7  27829  stirlinglem10  27832  stirlinglem11  27833  stirlinglem15  27837  stirlingr  27839
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873
  Copyright terms: Public domain W3C validator