MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulgfvi Structured version   Unicode version

Theorem mulgfvi 14899
Description: The group multiple function is compatible with identity-function protection. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
mulgfvi.t  |-  .x.  =  (.g
`  G )
Assertion
Ref Expression
mulgfvi  |-  .x.  =  (.g
`  (  _I  `  G ) )

Proof of Theorem mulgfvi
StepHypRef Expression
1 mulgfvi.t . 2  |-  .x.  =  (.g
`  G )
2 fvi 5786 . . . . 5  |-  ( G  e.  _V  ->  (  _I  `  G )  =  G )
32eqcomd 2443 . . . 4  |-  ( G  e.  _V  ->  G  =  (  _I  `  G
) )
43fveq2d 5735 . . 3  |-  ( G  e.  _V  ->  (.g `  G )  =  (.g `  (  _I  `  G
) ) )
5 fvprc 5725 . . . 4  |-  ( -.  G  e.  _V  ->  (.g `  G )  =  (/) )
6 fvprc 5725 . . . . . 6  |-  ( -.  G  e.  _V  ->  (  _I  `  G )  =  (/) )
76fveq2d 5735 . . . . 5  |-  ( -.  G  e.  _V  ->  (.g `  (  _I  `  G
) )  =  (.g `  (/) ) )
8 base0 13511 . . . . . . . 8  |-  (/)  =  (
Base `  (/) )
9 eqid 2438 . . . . . . . 8  |-  (.g `  (/) )  =  (.g `  (/) )
108, 9mulgfn 14898 . . . . . . 7  |-  (.g `  (/) )  Fn  ( ZZ  X.  (/) )
11 xp0 5294 . . . . . . . 8  |-  ( ZZ 
X.  (/) )  =  (/)
1211fneq2i 5543 . . . . . . 7  |-  ( (.g `  (/) )  Fn  ( ZZ  X.  (/) )  <->  (.g `  (/) )  Fn  (/) )
1310, 12mpbi 201 . . . . . 6  |-  (.g `  (/) )  Fn  (/)
14 fn0 5567 . . . . . 6  |-  ( (.g `  (/) )  Fn  (/)  <->  (.g `  (/) )  =  (/) )
1513, 14mpbi 201 . . . . 5  |-  (.g `  (/) )  =  (/)
167, 15syl6eq 2486 . . . 4  |-  ( -.  G  e.  _V  ->  (.g `  (  _I  `  G
) )  =  (/) )
175, 16eqtr4d 2473 . . 3  |-  ( -.  G  e.  _V  ->  (.g `  G )  =  (.g `  (  _I  `  G
) ) )
184, 17pm2.61i 159 . 2  |-  (.g `  G
)  =  (.g `  (  _I  `  G ) )
191, 18eqtri 2458 1  |-  .x.  =  (.g
`  (  _I  `  G ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    = wceq 1653    e. wcel 1726   _Vcvv 2958   (/)c0 3630    _I cid 4496    X. cxp 4879    Fn wfn 5452   ` cfv 5457   ZZcz 10287  .gcmg 14694
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-inf2 7599  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-neg 9299  df-z 10288  df-seq 11329  df-slot 13478  df-base 13479  df-mulg 14820
  Copyright terms: Public domain W3C validator