MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulgfvi Unicode version

Theorem mulgfvi 14670
Description: The group multiple function is compatible with identity-function protection. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
mulgfvi.t  |-  .x.  =  (.g
`  G )
Assertion
Ref Expression
mulgfvi  |-  .x.  =  (.g
`  (  _I  `  G ) )

Proof of Theorem mulgfvi
StepHypRef Expression
1 mulgfvi.t . 2  |-  .x.  =  (.g
`  G )
2 fvi 5662 . . . . 5  |-  ( G  e.  _V  ->  (  _I  `  G )  =  G )
32eqcomd 2363 . . . 4  |-  ( G  e.  _V  ->  G  =  (  _I  `  G
) )
43fveq2d 5612 . . 3  |-  ( G  e.  _V  ->  (.g `  G )  =  (.g `  (  _I  `  G
) ) )
5 fvprc 5602 . . . 4  |-  ( -.  G  e.  _V  ->  (.g `  G )  =  (/) )
6 fvprc 5602 . . . . . 6  |-  ( -.  G  e.  _V  ->  (  _I  `  G )  =  (/) )
76fveq2d 5612 . . . . 5  |-  ( -.  G  e.  _V  ->  (.g `  (  _I  `  G
) )  =  (.g `  (/) ) )
8 base0 13282 . . . . . . . 8  |-  (/)  =  (
Base `  (/) )
9 eqid 2358 . . . . . . . 8  |-  (.g `  (/) )  =  (.g `  (/) )
108, 9mulgfn 14669 . . . . . . 7  |-  (.g `  (/) )  Fn  ( ZZ  X.  (/) )
11 xp0 5180 . . . . . . . 8  |-  ( ZZ 
X.  (/) )  =  (/)
1211fneq2i 5421 . . . . . . 7  |-  ( (.g `  (/) )  Fn  ( ZZ  X.  (/) )  <->  (.g `  (/) )  Fn  (/) )
1310, 12mpbi 199 . . . . . 6  |-  (.g `  (/) )  Fn  (/)
14 fn0 5445 . . . . . 6  |-  ( (.g `  (/) )  Fn  (/)  <->  (.g `  (/) )  =  (/) )
1513, 14mpbi 199 . . . . 5  |-  (.g `  (/) )  =  (/)
167, 15syl6eq 2406 . . . 4  |-  ( -.  G  e.  _V  ->  (.g `  (  _I  `  G
) )  =  (/) )
175, 16eqtr4d 2393 . . 3  |-  ( -.  G  e.  _V  ->  (.g `  G )  =  (.g `  (  _I  `  G
) ) )
184, 17pm2.61i 156 . 2  |-  (.g `  G
)  =  (.g `  (  _I  `  G ) )
191, 18eqtri 2378 1  |-  .x.  =  (.g
`  (  _I  `  G ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    = wceq 1642    e. wcel 1710   _Vcvv 2864   (/)c0 3531    _I cid 4386    X. cxp 4769    Fn wfn 5332   ` cfv 5337   ZZcz 10116  .gcmg 14465
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-rep 4212  ax-sep 4222  ax-nul 4230  ax-pow 4269  ax-pr 4295  ax-un 4594  ax-inf2 7432  ax-cnex 8883  ax-resscn 8884
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3909  df-iun 3988  df-br 4105  df-opab 4159  df-mpt 4160  df-tr 4195  df-eprel 4387  df-id 4391  df-po 4396  df-so 4397  df-fr 4434  df-we 4436  df-ord 4477  df-on 4478  df-lim 4479  df-suc 4480  df-om 4739  df-xp 4777  df-rel 4778  df-cnv 4779  df-co 4780  df-dm 4781  df-rn 4782  df-res 4783  df-ima 4784  df-iota 5301  df-fun 5339  df-fn 5340  df-f 5341  df-f1 5342  df-fo 5343  df-f1o 5344  df-fv 5345  df-ov 5948  df-oprab 5949  df-mpt2 5950  df-1st 6209  df-2nd 6210  df-recs 6475  df-rdg 6510  df-neg 9130  df-z 10117  df-seq 11139  df-slot 13249  df-base 13250  df-mulg 14591
  Copyright terms: Public domain W3C validator