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Theorem mulgmhm 15452
Description: The map from  x to  n x for a fixed positive integer  n is a monoid homomorphism if the monoid is commutative. (Contributed by Mario Carneiro, 4-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mulgmhm.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
mulgmhm.m  |-  .x.  =  (.g
`  G )
Assertion
Ref Expression
mulgmhm  |-  ( ( G  e. CMnd  /\  M  e.  NN0 )  ->  (
x  e.  B  |->  ( M  .x.  x ) )  e.  ( G MndHom  G ) )
Distinct variable groups:    x, B    x, G    x, M    x,  .x.

Proof of Theorem mulgmhm
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cmnmnd 15429 . . . 4  |-  ( G  e. CMnd  ->  G  e.  Mnd )
21adantr 453 . . 3  |-  ( ( G  e. CMnd  /\  M  e.  NN0 )  ->  G  e.  Mnd )
32, 2jca 520 . 2  |-  ( ( G  e. CMnd  /\  M  e.  NN0 )  ->  ( G  e.  Mnd  /\  G  e.  Mnd ) )
4 mulgmhm.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  G
)
5 mulgmhm.m . . . . . . 7  |-  .x.  =  (.g
`  G )
64, 5mulgnn0cl 14908 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  M  e.  NN0  /\  x  e.  B )  ->  ( M  .x.  x )  e.  B )
71, 6syl3an1 1218 . . . . 5  |-  ( ( G  e. CMnd  /\  M  e.  NN0  /\  x  e.  B )  ->  ( M  .x.  x )  e.  B )
873expa 1154 . . . 4  |-  ( ( ( G  e. CMnd  /\  M  e.  NN0 )  /\  x  e.  B )  ->  ( M  .x.  x
)  e.  B )
9 eqid 2438 . . . 4  |-  ( x  e.  B  |->  ( M 
.x.  x ) )  =  ( x  e.  B  |->  ( M  .x.  x ) )
108, 9fmptd 5895 . . 3  |-  ( ( G  e. CMnd  /\  M  e.  NN0 )  ->  (
x  e.  B  |->  ( M  .x.  x ) ) : B --> B )
11 3anass 941 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B )  <->  ( M  e.  NN0  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B
) ) )
12 eqid 2438 . . . . . . . 8  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
134, 5, 12mulgnn0di 15450 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e. CMnd  /\  ( M  e.  NN0  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B ) )  -> 
( M  .x.  (
y ( +g  `  G
) z ) )  =  ( ( M 
.x.  y ) ( +g  `  G ) ( M  .x.  z
) ) )
1411, 13sylan2br 464 . . . . . 6  |-  ( ( G  e. CMnd  /\  ( M  e.  NN0  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  B )
) )  ->  ( M  .x.  ( y ( +g  `  G ) z ) )  =  ( ( M  .x.  y ) ( +g  `  G ) ( M 
.x.  z ) ) )
1514anassrs 631 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e. CMnd  /\  M  e.  NN0 )  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B
) )  ->  ( M  .x.  ( y ( +g  `  G ) z ) )  =  ( ( M  .x.  y ) ( +g  `  G ) ( M 
.x.  z ) ) )
164, 12mndcl 14697 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B )  ->  ( y ( +g  `  G ) z )  e.  B )
17163expb 1155 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B
) )  ->  (
y ( +g  `  G
) z )  e.  B )
182, 17sylan 459 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e. CMnd  /\  M  e.  NN0 )  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B
) )  ->  (
y ( +g  `  G
) z )  e.  B )
19 oveq2 6091 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( y ( +g  `  G ) z )  ->  ( M  .x.  x )  =  ( M  .x.  (
y ( +g  `  G
) z ) ) )
20 ovex 6108 . . . . . . 7  |-  ( M 
.x.  ( y ( +g  `  G ) z ) )  e. 
_V
2119, 9, 20fvmpt 5808 . . . . . 6  |-  ( ( y ( +g  `  G
) z )  e.  B  ->  ( (
x  e.  B  |->  ( M  .x.  x ) ) `  ( y ( +g  `  G
) z ) )  =  ( M  .x.  ( y ( +g  `  G ) z ) ) )
2218, 21syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e. CMnd  /\  M  e.  NN0 )  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B
) )  ->  (
( x  e.  B  |->  ( M  .x.  x
) ) `  (
y ( +g  `  G
) z ) )  =  ( M  .x.  ( y ( +g  `  G ) z ) ) )
23 oveq2 6091 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  ( M  .x.  x )  =  ( M  .x.  y
) )
24 ovex 6108 . . . . . . . 8  |-  ( M 
.x.  y )  e. 
_V
2523, 9, 24fvmpt 5808 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  B  ->  (
( x  e.  B  |->  ( M  .x.  x
) ) `  y
)  =  ( M 
.x.  y ) )
26 oveq2 6091 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  z  ->  ( M  .x.  x )  =  ( M  .x.  z
) )
27 ovex 6108 . . . . . . . 8  |-  ( M 
.x.  z )  e. 
_V
2826, 9, 27fvmpt 5808 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  B  ->  (
( x  e.  B  |->  ( M  .x.  x
) ) `  z
)  =  ( M 
.x.  z ) )
2925, 28oveqan12d 6102 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  B  /\  z  e.  B )  ->  ( ( ( x  e.  B  |->  ( M 
.x.  x ) ) `
 y ) ( +g  `  G ) ( ( x  e.  B  |->  ( M  .x.  x ) ) `  z ) )  =  ( ( M  .x.  y ) ( +g  `  G ) ( M 
.x.  z ) ) )
3029adantl 454 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e. CMnd  /\  M  e.  NN0 )  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B
) )  ->  (
( ( x  e.  B  |->  ( M  .x.  x ) ) `  y ) ( +g  `  G ) ( ( x  e.  B  |->  ( M  .x.  x ) ) `  z ) )  =  ( ( M  .x.  y ) ( +g  `  G
) ( M  .x.  z ) ) )
3115, 22, 303eqtr4d 2480 . . . 4  |-  ( ( ( G  e. CMnd  /\  M  e.  NN0 )  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B
) )  ->  (
( x  e.  B  |->  ( M  .x.  x
) ) `  (
y ( +g  `  G
) z ) )  =  ( ( ( x  e.  B  |->  ( M  .x.  x ) ) `  y ) ( +g  `  G
) ( ( x  e.  B  |->  ( M 
.x.  x ) ) `
 z ) ) )
3231ralrimivva 2800 . . 3  |-  ( ( G  e. CMnd  /\  M  e.  NN0 )  ->  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( (
x  e.  B  |->  ( M  .x.  x ) ) `  ( y ( +g  `  G
) z ) )  =  ( ( ( x  e.  B  |->  ( M  .x.  x ) ) `  y ) ( +g  `  G
) ( ( x  e.  B  |->  ( M 
.x.  x ) ) `
 z ) ) )
33 eqid 2438 . . . . . 6  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
344, 33mndidcl 14716 . . . . 5  |-  ( G  e.  Mnd  ->  ( 0g `  G )  e.  B )
35 oveq2 6091 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( 0g `  G )  ->  ( M  .x.  x )  =  ( M  .x.  ( 0g `  G ) ) )
36 ovex 6108 . . . . . 6  |-  ( M 
.x.  ( 0g `  G ) )  e. 
_V
3735, 9, 36fvmpt 5808 . . . . 5  |-  ( ( 0g `  G )  e.  B  ->  (
( x  e.  B  |->  ( M  .x.  x
) ) `  ( 0g `  G ) )  =  ( M  .x.  ( 0g `  G ) ) )
382, 34, 373syl 19 . . . 4  |-  ( ( G  e. CMnd  /\  M  e.  NN0 )  ->  (
( x  e.  B  |->  ( M  .x.  x
) ) `  ( 0g `  G ) )  =  ( M  .x.  ( 0g `  G ) ) )
394, 5, 33mulgnn0z 14912 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( M  .x.  ( 0g `  G ) )  =  ( 0g `  G ) )
401, 39sylan 459 . . . 4  |-  ( ( G  e. CMnd  /\  M  e.  NN0 )  ->  ( M  .x.  ( 0g `  G ) )  =  ( 0g `  G
) )
4138, 40eqtrd 2470 . . 3  |-  ( ( G  e. CMnd  /\  M  e.  NN0 )  ->  (
( x  e.  B  |->  ( M  .x.  x
) ) `  ( 0g `  G ) )  =  ( 0g `  G ) )
4210, 32, 413jca 1135 . 2  |-  ( ( G  e. CMnd  /\  M  e.  NN0 )  ->  (
( x  e.  B  |->  ( M  .x.  x
) ) : B --> B  /\  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( ( x  e.  B  |->  ( M 
.x.  x ) ) `
 ( y ( +g  `  G ) z ) )  =  ( ( ( x  e.  B  |->  ( M 
.x.  x ) ) `
 y ) ( +g  `  G ) ( ( x  e.  B  |->  ( M  .x.  x ) ) `  z ) )  /\  ( ( x  e.  B  |->  ( M  .x.  x ) ) `  ( 0g `  G ) )  =  ( 0g
`  G ) ) )
434, 4, 12, 12, 33, 33ismhm 14742 . 2  |-  ( ( x  e.  B  |->  ( M  .x.  x ) )  e.  ( G MndHom  G )  <->  ( ( G  e.  Mnd  /\  G  e.  Mnd )  /\  (
( x  e.  B  |->  ( M  .x.  x
) ) : B --> B  /\  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( ( x  e.  B  |->  ( M 
.x.  x ) ) `
 ( y ( +g  `  G ) z ) )  =  ( ( ( x  e.  B  |->  ( M 
.x.  x ) ) `
 y ) ( +g  `  G ) ( ( x  e.  B  |->  ( M  .x.  x ) ) `  z ) )  /\  ( ( x  e.  B  |->  ( M  .x.  x ) ) `  ( 0g `  G ) )  =  ( 0g
`  G ) ) ) )
443, 42, 43sylanbrc 647 1  |-  ( ( G  e. CMnd  /\  M  e.  NN0 )  ->  (
x  e.  B  |->  ( M  .x.  x ) )  e.  ( G MndHom  G ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2707    e. cmpt 4268   -->wf 5452   ` cfv 5456  (class class class)co 6083   NN0cn0 10223   Basecbs 13471   +g cplusg 13531   0gc0g 13725   Mndcmnd 14686  .gcmg 14691   MndHom cmhm 14738  CMndccmn 15414
This theorem is referenced by:  gsummulglem  15538
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-inf2 7598  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-er 6907  df-map 7022  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-nn 10003  df-n0 10224  df-z 10285  df-uz 10491  df-fz 11046  df-fzo 11138  df-seq 11326  df-0g 13729  df-mnd 14692  df-mhm 14740  df-mulg 14817  df-cmn 15416
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