MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulgmhm Unicode version

Theorem mulgmhm 15143
Description: The map from  x to  n x for a fixed positive integer  n is a monoid homomorphism if the monoid is commutative. (Contributed by Mario Carneiro, 4-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mulgmhm.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
mulgmhm.m  |-  .x.  =  (.g
`  G )
Assertion
Ref Expression
mulgmhm  |-  ( ( G  e. CMnd  /\  M  e.  NN0 )  ->  (
x  e.  B  |->  ( M  .x.  x ) )  e.  ( G MndHom  G ) )
Distinct variable groups:    x, B    x, G    x, M    x,  .x.

Proof of Theorem mulgmhm
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cmnmnd 15120 . . . 4  |-  ( G  e. CMnd  ->  G  e.  Mnd )
21adantr 451 . . 3  |-  ( ( G  e. CMnd  /\  M  e.  NN0 )  ->  G  e.  Mnd )
32, 2jca 518 . 2  |-  ( ( G  e. CMnd  /\  M  e.  NN0 )  ->  ( G  e.  Mnd  /\  G  e.  Mnd ) )
4 mulgmhm.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  G
)
5 mulgmhm.m . . . . . . 7  |-  .x.  =  (.g
`  G )
64, 5mulgnn0cl 14599 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  M  e.  NN0  /\  x  e.  B )  ->  ( M  .x.  x )  e.  B )
71, 6syl3an1 1215 . . . . 5  |-  ( ( G  e. CMnd  /\  M  e.  NN0  /\  x  e.  B )  ->  ( M  .x.  x )  e.  B )
873expa 1151 . . . 4  |-  ( ( ( G  e. CMnd  /\  M  e.  NN0 )  /\  x  e.  B )  ->  ( M  .x.  x
)  e.  B )
9 eqid 2296 . . . 4  |-  ( x  e.  B  |->  ( M 
.x.  x ) )  =  ( x  e.  B  |->  ( M  .x.  x ) )
108, 9fmptd 5700 . . 3  |-  ( ( G  e. CMnd  /\  M  e.  NN0 )  ->  (
x  e.  B  |->  ( M  .x.  x ) ) : B --> B )
11 3anass 938 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B )  <->  ( M  e.  NN0  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B
) ) )
12 eqid 2296 . . . . . . . 8  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
134, 5, 12mulgnn0di 15141 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e. CMnd  /\  ( M  e.  NN0  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B ) )  -> 
( M  .x.  (
y ( +g  `  G
) z ) )  =  ( ( M 
.x.  y ) ( +g  `  G ) ( M  .x.  z
) ) )
1411, 13sylan2br 462 . . . . . 6  |-  ( ( G  e. CMnd  /\  ( M  e.  NN0  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  B )
) )  ->  ( M  .x.  ( y ( +g  `  G ) z ) )  =  ( ( M  .x.  y ) ( +g  `  G ) ( M 
.x.  z ) ) )
1514anassrs 629 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e. CMnd  /\  M  e.  NN0 )  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B
) )  ->  ( M  .x.  ( y ( +g  `  G ) z ) )  =  ( ( M  .x.  y ) ( +g  `  G ) ( M 
.x.  z ) ) )
164, 12mndcl 14388 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B )  ->  ( y ( +g  `  G ) z )  e.  B )
17163expb 1152 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B
) )  ->  (
y ( +g  `  G
) z )  e.  B )
182, 17sylan 457 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e. CMnd  /\  M  e.  NN0 )  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B
) )  ->  (
y ( +g  `  G
) z )  e.  B )
19 oveq2 5882 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( y ( +g  `  G ) z )  ->  ( M  .x.  x )  =  ( M  .x.  (
y ( +g  `  G
) z ) ) )
20 ovex 5899 . . . . . . 7  |-  ( M 
.x.  ( y ( +g  `  G ) z ) )  e. 
_V
2119, 9, 20fvmpt 5618 . . . . . 6  |-  ( ( y ( +g  `  G
) z )  e.  B  ->  ( (
x  e.  B  |->  ( M  .x.  x ) ) `  ( y ( +g  `  G
) z ) )  =  ( M  .x.  ( y ( +g  `  G ) z ) ) )
2218, 21syl 15 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e. CMnd  /\  M  e.  NN0 )  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B
) )  ->  (
( x  e.  B  |->  ( M  .x.  x
) ) `  (
y ( +g  `  G
) z ) )  =  ( M  .x.  ( y ( +g  `  G ) z ) ) )
23 oveq2 5882 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  ( M  .x.  x )  =  ( M  .x.  y
) )
24 ovex 5899 . . . . . . . 8  |-  ( M 
.x.  y )  e. 
_V
2523, 9, 24fvmpt 5618 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  B  ->  (
( x  e.  B  |->  ( M  .x.  x
) ) `  y
)  =  ( M 
.x.  y ) )
26 oveq2 5882 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  z  ->  ( M  .x.  x )  =  ( M  .x.  z
) )
27 ovex 5899 . . . . . . . 8  |-  ( M 
.x.  z )  e. 
_V
2826, 9, 27fvmpt 5618 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  B  ->  (
( x  e.  B  |->  ( M  .x.  x
) ) `  z
)  =  ( M 
.x.  z ) )
2925, 28oveqan12d 5893 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  B  /\  z  e.  B )  ->  ( ( ( x  e.  B  |->  ( M 
.x.  x ) ) `
 y ) ( +g  `  G ) ( ( x  e.  B  |->  ( M  .x.  x ) ) `  z ) )  =  ( ( M  .x.  y ) ( +g  `  G ) ( M 
.x.  z ) ) )
3029adantl 452 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e. CMnd  /\  M  e.  NN0 )  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B
) )  ->  (
( ( x  e.  B  |->  ( M  .x.  x ) ) `  y ) ( +g  `  G ) ( ( x  e.  B  |->  ( M  .x.  x ) ) `  z ) )  =  ( ( M  .x.  y ) ( +g  `  G
) ( M  .x.  z ) ) )
3115, 22, 303eqtr4d 2338 . . . 4  |-  ( ( ( G  e. CMnd  /\  M  e.  NN0 )  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B
) )  ->  (
( x  e.  B  |->  ( M  .x.  x
) ) `  (
y ( +g  `  G
) z ) )  =  ( ( ( x  e.  B  |->  ( M  .x.  x ) ) `  y ) ( +g  `  G
) ( ( x  e.  B  |->  ( M 
.x.  x ) ) `
 z ) ) )
3231ralrimivva 2648 . . 3  |-  ( ( G  e. CMnd  /\  M  e.  NN0 )  ->  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( (
x  e.  B  |->  ( M  .x.  x ) ) `  ( y ( +g  `  G
) z ) )  =  ( ( ( x  e.  B  |->  ( M  .x.  x ) ) `  y ) ( +g  `  G
) ( ( x  e.  B  |->  ( M 
.x.  x ) ) `
 z ) ) )
33 eqid 2296 . . . . . 6  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
344, 33mndidcl 14407 . . . . 5  |-  ( G  e.  Mnd  ->  ( 0g `  G )  e.  B )
35 oveq2 5882 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( 0g `  G )  ->  ( M  .x.  x )  =  ( M  .x.  ( 0g `  G ) ) )
36 ovex 5899 . . . . . 6  |-  ( M 
.x.  ( 0g `  G ) )  e. 
_V
3735, 9, 36fvmpt 5618 . . . . 5  |-  ( ( 0g `  G )  e.  B  ->  (
( x  e.  B  |->  ( M  .x.  x
) ) `  ( 0g `  G ) )  =  ( M  .x.  ( 0g `  G ) ) )
382, 34, 373syl 18 . . . 4  |-  ( ( G  e. CMnd  /\  M  e.  NN0 )  ->  (
( x  e.  B  |->  ( M  .x.  x
) ) `  ( 0g `  G ) )  =  ( M  .x.  ( 0g `  G ) ) )
394, 5, 33mulgnn0z 14603 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( M  .x.  ( 0g `  G ) )  =  ( 0g `  G ) )
401, 39sylan 457 . . . 4  |-  ( ( G  e. CMnd  /\  M  e.  NN0 )  ->  ( M  .x.  ( 0g `  G ) )  =  ( 0g `  G
) )
4138, 40eqtrd 2328 . . 3  |-  ( ( G  e. CMnd  /\  M  e.  NN0 )  ->  (
( x  e.  B  |->  ( M  .x.  x
) ) `  ( 0g `  G ) )  =  ( 0g `  G ) )
4210, 32, 413jca 1132 . 2  |-  ( ( G  e. CMnd  /\  M  e.  NN0 )  ->  (
( x  e.  B  |->  ( M  .x.  x
) ) : B --> B  /\  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( ( x  e.  B  |->  ( M 
.x.  x ) ) `
 ( y ( +g  `  G ) z ) )  =  ( ( ( x  e.  B  |->  ( M 
.x.  x ) ) `
 y ) ( +g  `  G ) ( ( x  e.  B  |->  ( M  .x.  x ) ) `  z ) )  /\  ( ( x  e.  B  |->  ( M  .x.  x ) ) `  ( 0g `  G ) )  =  ( 0g
`  G ) ) )
434, 4, 12, 12, 33, 33ismhm 14433 . 2  |-  ( ( x  e.  B  |->  ( M  .x.  x ) )  e.  ( G MndHom  G )  <->  ( ( G  e.  Mnd  /\  G  e.  Mnd )  /\  (
( x  e.  B  |->  ( M  .x.  x
) ) : B --> B  /\  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( ( x  e.  B  |->  ( M 
.x.  x ) ) `
 ( y ( +g  `  G ) z ) )  =  ( ( ( x  e.  B  |->  ( M 
.x.  x ) ) `
 y ) ( +g  `  G ) ( ( x  e.  B  |->  ( M  .x.  x ) ) `  z ) )  /\  ( ( x  e.  B  |->  ( M  .x.  x ) ) `  ( 0g `  G ) )  =  ( 0g
`  G ) ) ) )
443, 42, 43sylanbrc 645 1  |-  ( ( G  e. CMnd  /\  M  e.  NN0 )  ->  (
x  e.  B  |->  ( M  .x.  x ) )  e.  ( G MndHom  G ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556    e. cmpt 4093   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   NN0cn0 9981   Basecbs 13164   +g cplusg 13224   0gc0g 13416   Mndcmnd 14377  .gcmg 14382   MndHom cmhm 14429  CMndccmn 15105
This theorem is referenced by:  gsummulglem  15229
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-seq 11063  df-0g 13420  df-mnd 14383  df-mhm 14431  df-mulg 14508  df-cmn 15107
  Copyright terms: Public domain W3C validator