Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulgmhm Structured version   Unicode version

Theorem mulgmhm 15452
 Description: The map from to for a fixed positive integer is a monoid homomorphism if the monoid is commutative. (Contributed by Mario Carneiro, 4-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mulgmhm.b
mulgmhm.m .g
Assertion
Ref Expression
mulgmhm CMnd MndHom
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,

Proof of Theorem mulgmhm
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cmnmnd 15429 . . . 4 CMnd
21adantr 453 . . 3 CMnd
32, 2jca 520 . 2 CMnd
4 mulgmhm.b . . . . . . 7
5 mulgmhm.m . . . . . . 7 .g
64, 5mulgnn0cl 14908 . . . . . 6
71, 6syl3an1 1218 . . . . 5 CMnd
873expa 1154 . . . 4 CMnd
9 eqid 2438 . . . 4
108, 9fmptd 5895 . . 3 CMnd
11 3anass 941 . . . . . . 7
12 eqid 2438 . . . . . . . 8
134, 5, 12mulgnn0di 15450 . . . . . . 7 CMnd
1411, 13sylan2br 464 . . . . . 6 CMnd
1514anassrs 631 . . . . 5 CMnd
164, 12mndcl 14697 . . . . . . . 8
17163expb 1155 . . . . . . 7
182, 17sylan 459 . . . . . 6 CMnd
19 oveq2 6091 . . . . . . 7
20 ovex 6108 . . . . . . 7
2119, 9, 20fvmpt 5808 . . . . . 6
2218, 21syl 16 . . . . 5 CMnd
23 oveq2 6091 . . . . . . . 8
24 ovex 6108 . . . . . . . 8
2523, 9, 24fvmpt 5808 . . . . . . 7
26 oveq2 6091 . . . . . . . 8
27 ovex 6108 . . . . . . . 8
2826, 9, 27fvmpt 5808 . . . . . . 7
2925, 28oveqan12d 6102 . . . . . 6
3029adantl 454 . . . . 5 CMnd
3115, 22, 303eqtr4d 2480 . . . 4 CMnd
3231ralrimivva 2800 . . 3 CMnd
33 eqid 2438 . . . . . 6
344, 33mndidcl 14716 . . . . 5
35 oveq2 6091 . . . . . 6
36 ovex 6108 . . . . . 6
3735, 9, 36fvmpt 5808 . . . . 5
382, 34, 373syl 19 . . . 4 CMnd
394, 5, 33mulgnn0z 14912 . . . . 5
401, 39sylan 459 . . . 4 CMnd
4138, 40eqtrd 2470 . . 3 CMnd
4210, 32, 413jca 1135 . 2 CMnd
434, 4, 12, 12, 33, 33ismhm 14742 . 2 MndHom
443, 42, 43sylanbrc 647 1 CMnd MndHom
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 360   w3a 937   wceq 1653   wcel 1726  wral 2707   cmpt 4268  wf 5452  cfv 5456  (class class class)co 6083  cn0 10223  cbs 13471   cplusg 13531  c0g 13725  cmnd 14686  .gcmg 14691   MndHom cmhm 14738  CMndccmn 15414 This theorem is referenced by:  gsummulglem  15538 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-inf2 7598  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-er 6907  df-map 7022  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-nn 10003  df-n0 10224  df-z 10285  df-uz 10491  df-fz 11046  df-fzo 11138  df-seq 11326  df-0g 13729  df-mnd 14692  df-mhm 14740  df-mulg 14817  df-cmn 15416
 Copyright terms: Public domain W3C validator