MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulgnn Structured version   Unicode version

Theorem mulgnn 14888
Description: Group multiple (exponentiation) operation at a positive integer. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mulgnn.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
mulgnn.p  |-  .+  =  ( +g  `  G )
mulgnn.t  |-  .x.  =  (.g
`  G )
mulgnn.s  |-  S  =  seq  1 (  .+  ,  ( NN  X.  { X } ) )
Assertion
Ref Expression
mulgnn  |-  ( ( N  e.  NN  /\  X  e.  B )  ->  ( N  .x.  X
)  =  ( S `
 N ) )

Proof of Theorem mulgnn
StepHypRef Expression
1 nnz 10295 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  ZZ )
2 mulgnn.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  G
)
3 mulgnn.p . . . 4  |-  .+  =  ( +g  `  G )
4 eqid 2435 . . . 4  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
5 eqid 2435 . . . 4  |-  ( inv g `  G )  =  ( inv g `  G )
6 mulgnn.t . . . 4  |-  .x.  =  (.g
`  G )
7 mulgnn.s . . . 4  |-  S  =  seq  1 (  .+  ,  ( NN  X.  { X } ) )
82, 3, 4, 5, 6, 7mulgval 14884 . . 3  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  ->  ( N  .x.  X
)  =  if ( N  =  0 ,  ( 0g `  G
) ,  if ( 0  <  N , 
( S `  N
) ,  ( ( inv g `  G
) `  ( S `  -u N ) ) ) ) )
91, 8sylan 458 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  X  e.  B )  ->  ( N  .x.  X
)  =  if ( N  =  0 ,  ( 0g `  G
) ,  if ( 0  <  N , 
( S `  N
) ,  ( ( inv g `  G
) `  ( S `  -u N ) ) ) ) )
10 nnne0 10024 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  N  =/=  0 )
1110neneqd 2614 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  -.  N  =  0 )
12 iffalse 3738 . . . . 5  |-  ( -.  N  =  0  ->  if ( N  =  0 ,  ( 0g `  G ) ,  if ( 0  <  N ,  ( S `  N ) ,  ( ( inv g `  G ) `  ( S `  -u N ) ) ) )  =  if ( 0  < 
N ,  ( S `
 N ) ,  ( ( inv g `  G ) `  ( S `  -u N ) ) ) )
1311, 12syl 16 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  if ( N  =  0 ,  ( 0g `  G ) ,  if ( 0  <  N ,  ( S `  N ) ,  ( ( inv g `  G ) `  ( S `  -u N ) ) ) )  =  if ( 0  < 
N ,  ( S `
 N ) ,  ( ( inv g `  G ) `  ( S `  -u N ) ) ) )
14 nngt0 10021 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <  N )
15 iftrue 3737 . . . . 5  |-  ( 0  <  N  ->  if ( 0  <  N ,  ( S `  N ) ,  ( ( inv g `  G ) `  ( S `  -u N ) ) )  =  ( S `  N ) )
1614, 15syl 16 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  if ( 0  <  N ,  ( S `  N ) ,  ( ( inv g `  G ) `  ( S `  -u N ) ) )  =  ( S `  N ) )
1713, 16eqtrd 2467 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  if ( N  =  0 ,  ( 0g `  G ) ,  if ( 0  <  N ,  ( S `  N ) ,  ( ( inv g `  G ) `  ( S `  -u N ) ) ) )  =  ( S `  N
) )
1817adantr 452 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  X  e.  B )  ->  if ( N  =  0 ,  ( 0g
`  G ) ,  if ( 0  < 
N ,  ( S `
 N ) ,  ( ( inv g `  G ) `  ( S `  -u N ) ) ) )  =  ( S `  N
) )
199, 18eqtrd 2467 1  |-  ( ( N  e.  NN  /\  X  e.  B )  ->  ( N  .x.  X
)  =  ( S `
 N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   ifcif 3731   {csn 3806   class class class wbr 4204    X. cxp 4868   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   0cc0 8982   1c1 8983    < clt 9112   -ucneg 9284   NNcn 9992   ZZcz 10274    seq cseq 11315   Basecbs 13461   +g cplusg 13521   0gc0g 13715   inv gcminusg 14678  .gcmg 14681
This theorem is referenced by:  mulg1  14889  mulgnnp1  14890  mulgnegnn  14892  mulgnnsubcl  14894  mulgnn0z  14902  mulgnndir  14904  submmulg  14917  subgmulg  14950  mulgnn0di  15440  gsumconst  15524  ressmulgnn  24197
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7588  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-z 10275  df-seq 11316  df-mulg 14807
  Copyright terms: Public domain W3C validator